A matematika története

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A matematika története avagy matematikatörténet tudományága elsősorban a matematikában történt új felfedezések eredetét és történetét kutatja, kisebb mértékben pedig a múltbeli standard matematikai módszereket és fogalmakat.

A matematika szó maga a görög μάθημα (mathéma) szóból származik, amely a „tudomány, tudás, tanulás” jelentésekkel bír. A μαθηματικός (mathématikosz) jelentése: „tanulni szerető”. Ma a szó jelentése ettől kissé eltérő tudományterületre utal – a mennyiség, szerkezet, tér és a változás deduktív tudományára.

A legújabb kor előtt a világban összegyűlt tudást és az új matematikai fejlemények írásos levezetéseit néhány kiváltságos helyen lehetett csak tanulmányozni. A legkorábbi ókori matematikai szövegek Mezopotámiából (Plimpton 322 i. e. 1900 körül), az ókori Egyiptomból (Rhind-papirusz i. e. 1800 körül), a Középbirodalom idejéről (Berlini papirusz i. e. 1300 – i. e. 1200 körül) és az ókori Indiából (Sulba szútrák i. e. 800 körül) kerültek elő. Ezen szövegek mindegyike a Pitagorasz-tétellel foglalkozik, amely a jelek szerint az egyik legkorábi és legelterjedtebb matematikai jelenség volt az alapvető aritmetika és geometria után.

Az ókori görögök matematikai munkáit sokan a legfontosabbak közé sorolják, mert azok nagyban bővítették a matematika módszereit és tárgykörét is.^[1]

Egy érdekes jelenség az ókori és középkori matematikatörténetben, hogy a fejlődésbeni fellángolásokat gyakorta több évszázadon át tartó stagnálás követte. Az itáliai reneszánsszal kezdődően (16. század) az újabb fejlődések a matematikán belül – melyek kölcsönösen hatottak más természettudományok fejlődésére is – egyre nagyobb ütemben követték egymást és ez a jelenség ma is megfigyelhető.

Tartalomjegyzék 1 Korai matematika 2 Ókori Közel-Kelet (i. e. 1800 – i. e. 500) 2.1 Mezopotámia 2.2 Egyiptom 3 Ókori indiai matematika (i. e. 900 – i. sz. 200) 4 Görög és hellén matematika (i. e. 550 – i. sz. 300) 5 Klasszikus kínai matematika (i. e. 200 – i. sz. 1300) 6 Klasszikus indiai matematika (400 – 1600) 7 Arab és muzulmán matematika (800 – 1500) 8 Középkori európai matematika (300 – 1400) 8.1 Kora középkor (300 – 1100) 8.2 A matematika reneszánsza Európában (1100 – 1400) 9 Korai modern európai matematika (1400 – 1600) 10 17. század 11 18. század 12 19. század 13 20. század 14 21. század 15 Jegyzetek 16 Lásd még 17 Irodalom 17.1 Magyar nyelvű irodalom 18 Külső hivatkozások

[szerkesztés] Korai matematika

Jóval a legkorábbi írott dokumentumok előtti időkből is találhatunk rajzokat, melyek matematikai tudásra vagy csillagok mozgásán alapuló időmérésre utalnak. A paleontológusok például i. e. 70 000 körülre datálható okkerkövekre vésett geometriai alakzatokat találtak egy dél-afrikai barlangban. ^[2]

I. e. 35 000 és i. e. 20 000^[3] közötti időre datálható történelem előtti tárgyakat találtak Afrikában és Franciaországban is, melyek az idő számszerű mérésére utalnak.^[4]

Tárgyi bizonyítékot találtak arra is, hogy az ősi időmérésben a nők havi ciklusának napjait számlálták: pl. 28, 29 és 30 vonás csontokon és köveken, melyet egy a többitől eltérő vonás követ. Ezen kívül a vadászok már ismerték az 1, 2 és a „sok” valamint a 0 vagy semmi fogalmát is, amely állatcsordáik számolásánál volt szükséges. ^[5][6]

Az Ishango csontot a Nílus forrásának környékén találták a Kongói Demokratikus Köztársaságban. Ez i. e. 20 000 környékéről származik. Egy gyakori értelmezés szerint ez a kő az egyik legkorábbról ismert példája ^[7] a prímszámok sorozatának és az ókori egyiptomi szorzásnak. Az i. e. 5. évezred predinasztikus egyiptomi korszakában már megfigyelhetjük geometriai térformák képszerű ábrázolásait. Egyesek szerint az Angliában és Skóciában található megalit építmények (az i. e 3. évezredből) tervezésénél is használtak már köröket, ellipsziseket, és Pitagoraszi számhármasokat. ^[8]

A legkorábbról ismert matematikusokat az ókori Indiából ismerjük az i. e. 3000 és 2600 közötti indus-völgyi civilizációból (Harappai civilizáció), a mai Észak-India és Pakisztán területéről. Itt kifejlesztettek egy olyan mértékrendszert, amely már tizes számrendszert használt és téglagyártásuk meglepően fejlett volt, mivel arányokat használt és az utcákat is derékszögűnek tervezték. Sok geometriai alakot ismertek már, köztük a kockát, a hengert, a kúpot és rajzaikon találunk koncentrikus valamint egymást metsző köröket és háromszögeket is.

A felfedezett matematikai eszközök közé tartozik egy pontos tizes beosztású vonalzó, melyen apró és precíz beosztás látszik; egy kagyló-műszer, melyet iránytűnek használtak és síkon tudtak vele szöget mérni vagy a horizonton a 40–360 °-ok többszöröseit. Egy másik kagyló-eszközzel 8–12 részre osztották a horizontot és az égboltot és egy harmadik műszerrel a csillagok helyzetét tudták mérni navigációs célból.

Mivel az indus írást egyelőre nem sikerült megfejteni, alig tudunk valami biztosat az írásos harappai matematikáról. Régészeti leletek alapján egyes történészek úgy véltik, hogy 8-as számrendszert használtak, és ismerték a π-t vagyis a kör kerületének és átmérőjének arányát. ^[9]

A kínai matematika legkorábbi példája a Sang-korból maradt ránk (i. e. 1600–i. e. 1046), ahol egy teknőcpáncélra karcoltak számokat találtak [1] [2]. Ezek a számok is tízes számrendszert használnak: a 123-as számot felülről lefelé írták, oly módon, hogy az 1-es jelet egy százasjel, a 2-es jelet egy tizesjel majd egy 3-as jel követ.

Ez volt a világ legfejlettebb rendszere abban az időben és lehetővé tette, hogy számításokat végezzenek a kínai abakuszon (suan pan). Az abakusz feltalálásának pontos időpontja nem ismert, de a rá való első írásos hivatkozást Xu Yue Kiegészítő jegyzetek a számok művészetéhez című írásában találjuk.

[szerkesztés] Ókori Közel-Kelet (i. e. 1800 – i. e. 500)

[szerkesztés] Mezopotámia

Babilóniai matematika alatt azt a rendszert értjük, melyet Mezopotámiában (mai Irak területe) használtak a korai sumerektől a hellenisztikus kor kezdetéig. Azért nevezik babilóniai matematikának, mert Babilonnak, mint tudományos központnak központi szerepe volt benne, ezt a szerepét azonban a hellenisztikus korban elvesztette. Ekkortól kezdve a babilóniai matematika egyesült a görög és egyiptomi rendszerekkel, amely a hellenisztikus matematika kialakulásához vezetett. Később az arab birodalom uralma alatt Mezopotámia, különösképpen Bagdad ismét fontos szerepet kapott, mint a muzulmán matematika tudományos központja.

Az egyiptomi matematikával szemben – ahonnan ma kevés forrás áll rendelkezésre – a babilóni matematikával kapcsolatos tudásunkat arról a 400 agyagtábláról szereztük, amelyet az 1850-es évek óta fedeztek fel. Ezeket ékírással írták nedves agyagtáblákra, majd kiégették őket kemencében vagy a napon.

A legkorábbi fennmaradt írott matematikai emlék az ókori sumerektől származik, akik az első mezopotámai civilizáció létrehozói voltak. Összetett mérési rendszerük volt már i. e. 3000-ben is. A sumerek már i. e. 2500-tól kezdődően szorzótáblákat írtak agyagtáblákra valamint geometriai és osztási problémákon dolgoztak. A babiloni számok legkorábbi nyomai is ebből a korból származnak.^[10]

A feltárt agyagtáblák többsége az i. e. 1800 és i. e. 1600 közötti időszakból származik és olyan témákat érint, mint a törtek, az algebra, a másodfokú és harmadfokú egyenletek és a Pitagoraszi számhármasok számítása (lásd Plimpton 322).^[11] A táblák között találunk szorzótáblákat, trigonometriai táblákat valamint első- és másodfokú egyenletek megoldási módszereit is. Az YBC 7289 babiloni tábla a √2 értékét öt tizedes pontossággal közelíti meg.

A babiloni matematika 60-as számrendszert használt. Innen ered a mai időmérés percenként 60 másodperce, az óra 60 perce és a kör 360 °-a (6 × 60°) is. A babiloni matematika fejlődését segítette, hogy a 60-nak sok osztója van. Az egyiptomiak, a görögök és a rómaiak szokásától eltérően a babiloniak valódi helyiértékes rendszert használtak, ahol a bal oszlopba írt számjegyek nagyobb értéket képviseltek – a tízes számrendszerhez hasonlóan. Nem használták még azonban a tizedesvessző megfelelőjét, ezért a szimbólumok helyiértékét gyakran a szövegből kellett kikövetkeztetni.

[szerkesztés] Egyiptom

Az egyiptomi matematika alatt azt a matematikát értjük, melyet óegyiptomi nyelven írtak. A hellenisztikus korban az egyiptomi nyelvet a görög váltotta fel az egyiptomi tudósok körében, ezért ettől kezdve az egyiptomi, a babiloni és a görög matematika egyesült és belőlük alakult ki a hellenisztikus matematika. A matematika tudományának művelését Egyiptomban később az arabok folyatatták a muzulmán matematika részeként, ekkor az arab lett az egyiptomi tudósok nyelve.

A máig felfedezett legrégebbi matematikai szöveg – a Moszkvai papirusz – egy óegyiptomi (középbirodalomból származó i. e. 2000 – i. e. 1800) papirusz. Ez a legtöbb ókori matematikai szöveghez hasonlóan „szöveges feladatokat” tartalmaz, melyeket látszólag szórakoztatási célból írtak.

Az egyik feladatot különösen nagy jelentőségűnek tartják, mivel megad egy módszert a csonka testek (frustum) térfogatának számítására.

„Ha azt mondják neked: Egy csonka gúla, melynek 6 a magassága, 4 az alapja és 2 a csúcsa. Emeld négyzetre a 4-et, az eredmény: 16. Duplázd a 4-et, az eredmény: 8. Emeld négyzetre a 2-t, az eredmény: 4. Add össze a 16-ot, a 8-at és a 4-et, az eredmény: 28. Vedd a 6 harmadát: 2. Vedd 2-szer a 28-at, az eredmény: 56. Látod: 56. Helyesnek találod majd.”

A Rhind-papirusz (i. e. 1650 [3]) mely egy másik fontos óegyiptomi matematikai szöveg, egy útmutató kézikönyv az aritmetikához és a geometriához.

A terület-képletek, szorzási, osztási módszerek és törtműveletek ismertetésén kívül még más ismeretek meglétére is bizonyítékul szolgál (lásd [4]), többek között az összetett számok, a prímszámok ismeretére valamint a számtani, a geometriai és a harmonikus közép számítására. Egyszerűsítve leírja Eratoszthenész szitáját és a tökéletes szám elméletét is (nevezetesen a 6-ét)[5]. Azt is megmutatja, hogyan oldhatunk meg lineráris egyenleteket, [6] valamint számtani és mértani sorozatokat. [7].

A Rhind-papiruszon szereplő három mértani alakzat arra utal, hogy ismertek volt számukra az analitikus geometria alapelvei: (1) hogy határozzuk meg a π értékét egy százalékon belüli hibahatárral. (2) a kör négyzetesítésére való korai próbálkozás (3) a kotangens legkorábbi használata.

Végül a Berlini papirusz (i. e. 1300 [8] [9]) azt bizonyítja, hogy az ókori egyiptomiak számára ismert volt a másodrendű algebrai egyenletek megoldása is. [10]

[szerkesztés] Ókori indiai matematika (i. e. 900 – i. sz. 200)

A védikus matematika a korai vaskorban indult fejlődések és az első fennmaradt írás a Satapatha-bráhmana (i. e. 9. század körül), melyben 2 tizedesjegy pontossággal megközelítik a π értékét.^[11]

A Sulba szútrák (i. e. 800 – i. e. 500 körül) mértani szövegek, melyekben irracionális számokat, prímszámokat, a hármasszabályt, és köbgyököt is használtak már, kiszámították a 2 négyzetgyökét 5 tizedesjegy pontossággal és módszereket mutattak be a kör négyszögesítésére, az első- és másodfokú egyenletek megoldására, algabrailag levezették a pitagoraszi számhármasokat valamint numerikus módszerekkel bebizonyították a Pithagorasz-tételt.

Pánini (i. e. 5. század) lefektette a szanszkrit nyelv nyelvtani szabályait. Jelölési rendszere hasonlít a modern matematikai jelöléshez, a metaszabályokat, a transzformációkat és a rekurziókat olyan kifinomultan használta, hogy nyelvtana a Turing-gépével ekvivalens számítási erővel rendelkezett. Pánini műve a modern formális nyelvtanok elméletének előfutára is, a legtöbb mai programozási nyelv által használt Pánini-Backus forma szintén jelentős hasonlóságokat mutat Pánini nyelvtani szabályaival.

Pingala (i. e. 3. század – i. e. 1. század között) prozódiáról írt értekezésében a kettes számrendszerhez hasonló eszközt használ. A metrika kombinatorikájáról szóló írásában a binomiális tételnek megefelelő állítások szerepelnek. Pingala művei a Fibonacci-számokról is tartamlaznak alapvető gondolatokat (mátrámeru-nak nevezi őket).

A bráhmi írást már legalább a Maurja-dinasztia korától kezdődően fejleszteni kezdték (i. e. 4. század), de a legújabb régészeti leletek szerint ez a dátum inkább i. e. 600 körüli időre tehető. A Brahmi számok az i. e. 3. századból származnak.

I. e. 400 és i. e. 200 között a dzsaina matematikusok elkezdték a matematikát önmagért tanulmányozni. Ők vezették be elsőként a transzfinit számok, a halmazelmélet, a logaritmus és az indexek alaptörvényeit, a harmad- és negyedfokú egyenletek, szekvenciák és progressziók permutációk és kombinációk, négyzetre emelés és négyzetgyökvonás, valamint a véges és végtelen hatványok fogalmát.

A Bakshali kézirat, melyet i. e. 200 és i. sz. 200 közötti időben írtak, tartalmazza a elsőfokú egyenlet megoldását egészen 5 ismeretlennel, a másodfokú egyenlet, a számtani és mértani sorozatok, összetett sorozatok, másodfokú határozatlan egyenletek, egyenletrendszerek tárgyalását és használja a nullát (0) valamint a negatív számokat is.

Találtak pontos számításokat irracionális számokról is, köztük milliós nagyságrendú számok 11 számjegyű számok négyzetgyökének számításait legalább 11 számjegynyi pontossággal.

[szerkesztés] Görög és hellén matematika (i. e. 550 – i. sz. 300)

A görög matematika alatt azt a matematikát értjük, melyet görög nyelven írtak i. e. 600 és i. sz. 450 között.^[12] A görög matematikusok a Földközi-tenger térségének keleti részében elszórt városokban éltek Itáliától egészen Észak-Afrikáig, de mégis egységet alkottak közös kultúrájuk és nyelvük miatt. A görög matematikusokat helleniszikus matematikusoknak is nevezik.

A görög matematika sokkalta kifinomultabb volt, mint bármely korábbi kultúra matematikája. A görögök előtti időkből fennmaradt matematikai emlékekben mindenütt az induktív érvelés módszerét használták, azaz ismételt megfigyelések alapján állították fel szabályaikat. A görög matematikusok ezzel szemben a deduktív érvelés módszerét használták. A görögök a logika segítségével vezették le a következtetéseket a definíciókból és az axiómákból.^[13]

A görög matematika kezdeteit Thalész (i. e. 624 – i. e. 546 körül) és Püthagorasz (i. e. 582 – i. e. 507 körül) fellépésétől számítják. Feltehetőleg nagy hatással voltak rájuk az egyiptomi, babiloni és – talán – az indiai matematikusok, bár a hatás nagyságát vitatják. Legendák szerint Pitagorasz ezért utazott Egyiptomba, hogy az ottani papoktól matematikát, geometriát és csillagászatot tanuljon. Thalész a geometria segítségével oldott meg olyan feladatokat, mint a piramisok magasságának és a hajók parttól való távolságának kiszámítása. A Pitagorasz-tétel első bizonyítását Pitagorasz nevéhez fűzik, az elmélet története azonban ennél jóval korábbi időkre nyúlik vissza. Euklidészről írott kommentárjában Proklusz azt írja, hogy Pithagorasz a róla elnevezett Pitagoraszi számhármasok elméletét algebrai és nem mértani módszerrel állította fel. Platón akadémiájának a következő volt a mottója: „senki ne lépjen be ide, aki nem képzett a geometriában”.

A pithagoreusok fedezték fel az irracionális számokat. Eudoxosz (i. e. 408 – i. e. 355) vezette be a sokszöges közelítési módszert, amely a mai integrálás elődjének tekinthető. Arisztotelész (i. e. 384 – i. e. 322) írta le elsőként a logika törvényeit. Euklidesz (i. e. 300) használta elsőként a matematika ma is eleterjedt módszerét, vagyis a definíciókat, axiómákat, tételeket és a bizonyításokat. Ezen kívül a kúpszeleteket is tanulmányozta. Könyvét, melynek az Elemek címet adta, jól ismerték a nyugati világ műveltebb köreiben egészen a huszadik század közepéig.^[14] A geometriából ismerős tételek mellett, (mint a Pithagorasz-tétel) az Elemek már tartalmaz bizonyításokat arra, hogy 2 négyzetgyöke irracionális és hogy a prímszámok száma végtelen. A prímszámok felfedezésénél az Eratoszthenész szitája (i. e. 230) elnevezést kapott módszert használták.

Egyesek szerint a görögök (ha nem minden idők) legnagyobb matematikusa a szürakuszai Arkhimédész volt (i. e. 287 – i. e. 212). Plutarkhosz szerint 75 éves volt, amikor egy római katona lándzsájával leszúrta, amint éppen matematikai képleteket rajzolt a homokba. A rómaiak kevés érdeklődést mutattak a tiszta matematika iránt.

[szerkesztés] Klasszikus kínai matematika (i. e. 200 – i. sz. 1300)

Kínában i. e. 212-ben Qin Shi Huangdi császár megparancsolta, hogy minden könyvet égessenek el. Bár a parancsot nem mindenhol hajtották végre, következményeként nem sok bizonyosat tudunk az ókori kínai matematikáról.

A nyugati Zhou dinasztia idejéről (i. e. 1046-ből) maradt fenn a legkorábbi matematikai könyv, amely túlélte a könyvégetést, ez pedig a Ji King (Változások könyve) volt. Ebben 64 bináris hatos egységet írnak le filózófiai vagy misztikus célból. Az egységeket hexagrammákkal ábrázolják, melyek törött vagy folytonos vonalakból állnak és a jint és a jangot jelképezik.

A könyvégetés után a Han-dinasztia (i. e. 202–i. sz. 220) idején megjelent néhány matematikai témájú könyv, melyek feltehetőleg a korábban elveszett könyek tudásán alapultak. Ezek közül a legfontosabb – amely a Kilenc fejezet a matematika művészetéről címet viselte – teljes egészében csak i. sz. 179-ben látott napvilágot, de a benne foglaltak más címmel már korábban is megjelentek. 246 szöveges feladatot tartalmaz, melyek felölelik a mezőgazdaság, a munkaadás, a geometria tárgykörétől kezdve a kínai pagodák toronymagasságának és hosszának arányait, a mérnöki tudományokat, a statisztikai adatgyűjtés területét és a derékszögű háromszögekről és a π-ről is tartalmaz anyagot. Használják benne a Cavalieri-elvet is több mint ezer évvel azelőtt, hogy Cavalieri színre lépett volna a nyugati világban. Matematikailag bizonyítja a Pithagorasz-tételt és képletet tartalmaz a Gauss-eliminációhoz is. A műhöz Liu Hui írt magyarázatot az i. sz. 3. században.

Zhang Heng korábban élt (i. sz. 78 – i. sz. 139) csillagász és feltaláló matematikai munkáiban is találunk képletet a π kiszámítására, de ez eltér a Liu Hui-féle számítástól. Zhang Heng π-képletével gömbök térfogatát határozta meg.

A kínaiak használták a mágikus négyzet elnevezésű kombinatorikai ábrát is, amelyet már igen régen leírtak és Yang Hui (i. sz. 1238 – 1398) tökéletesített.

Zu Chongzhi (5. század, a déli és északi dinasztiák kora) hét tizedesjegy pontosságig számolta ki π értékét; ez volt a legpontosabb érték majdnem 1000 éven keresztül.

A Han-dinasztia korát követő 1000 évben, amely a Tang-dinasztia-val kezdődött és a Szung-dinasztia-val zárult, a kínai matematika virágkorát élte, míg Európában alig foglalkoztak vele akkoriban. Ebben az időszakban számos új ismeretet fedeztek fel, melyek közül sok csak jóval később vált ismertté a nyugati világ számára, köztük a negatív számok, a binomiális tétel elsőfokú egyenletek mátrix-módszerekkel való megoldása és a kínai maradéktétel. A kínaiak az európaiaknál sokkal korábban felfedezték a Pascal-háromszöget és a hármasszabályt. Zu Chongzhi mellett ebben a korban számos fontos matematikus működött Kínában, köztük: Yi Xing, Shen Kuo, Ch'in Chiu-Shao, Zhu Shijie, és mások. Shen Kuo a differenciál- és integrálszámítás, a trigonometria, a metrológia és a permutációk módszereit is használta már a problémamegoldásoknál és egy alkalommal kiszámította mekkora földterületre lehet szükség bizonyos harci alakzatokban a katonák számára, valamint a lehető leghosszabb hadjárat idejét, adott élelemszállítási kapacitás mellett.

Bár a reneszánsz korában az európai matematika ismét virágzásnak indult, az európai és kínai matamatikai hagyományok külön ágon futottak, egészen a jezsuita misszionáriusok megjelenéséig (16.-18. század), akik közvetíteni kezdték a matematikai elméleteket a két kultúra között.

[szerkesztés] Klasszikus indiai matematika (400 – 1600)

A Szúrja sziddhanta című mű (i. sz. 400 körül) bevezette a trigonometrikus függvények közül a szinuszt, a koszinuszt és az inverz szinuszt és lefektette az égitestek valódi mozgásának szabályait, amely megfelel az égbolton való aktuális helyzetüknek. A szövegben leírt kozmológiai időciklus meghatározását egy korábbi műből másolták és megfelel az átlagos csillagászati évnek (365,2563627 nap), amely csak 1,4 másodperccel hosszabb a modern értéknél (365,25636305 nap). Ezt a művet a középkorban arab és latin nyelvre is lefordították.

499-ben Árjabhata bevezette a sinus versus függvényt és elkészítette az első szinusztáblázatokat. Ezen kívül fejlesztette az algebrai algoritmusokat, az infinitezimális számításokat, a differenciálegyenleteket és egész számú megoldásokat talált elsőfokú egyenletekre a ma is használt módszerrel, valamint napközpontú gravitációs rendszeren alapuló pontos csillagászati számításokat végzett.

Árjabhatija című művének arab fordítása a 8. században jelent meg, melyet a 13. században latin fordítás követett. A π értékét négy tizedesjegy pontossággal 3,1416-nek találta. Mádhava később, a 14. században a π értékét 11 tizedesjegy pontossággal 3,14159265359-ben határozta meg.

A 7. században Brahmagupta bevezette a Brahmagupta-tételt, a Brahmagupta-azonosságot és a Brahmagupta-képletet, a Brahma-sphuta-siddhanta című műben pedig leírta a nulla helyiértékként és a tizes számrendszer számjegyeként való használatát, illetve megmagyarázza a hindu-arab számrendszer használatát is. A muzulmán tudósok 770 körül ismerték meg ezt a számrendszert egy indiai matematikai szöveg fordításából és hamarosan átvették azt. A muzulmán tudósok közvetítése révén a 12. században ez a számrendszer Európába is eljutott – ahol arab számok néven vált ismertté – innen mára már világszerte elterjedt és minden korábban használt számrendszert felváltott. Halajudha a 10. században Pingala műveihez írt kommentárjában a Fibonacci-sorozatot és a Pascal-háromszöget tanulmányozza és leírja a mátrixok képzésének módját is.

A 12. században Bhászkara fedezte fel a differenciálszámítást valamint bevezette a differenciálhányados, a differenciálegyüttható és a differenciálás fogalmakat. Bebizonyította a Rolle-tételt (amely a középértéktétel speciális esete), tanulmányozta a Pell-egyenletet, és foglalkozott a szinuszfüggvény deriváltjával is.

A 14. századtól Mádhava és a keralai iskola többi matematikusa továbbfejlesztették ezeket az elméleteket. Ők vezették be a matematikai analízis és a lebegőpontos számok fogalmait, ezen kívül még számos olyan fogalmat, melyek alapvető fontosságúak voltak a differenciálszámítás fejlődése szempontjából, pl. középértéktétel, tagonkénti integrálás, a görbe alatti terület és a görbe integráljának viszonya, integrálkritérium, hatványsor, Taylor-sor és a trigonometriai sorok fogalmait.

A 16. században Jyeshtadeva a Yuktibhasa című műben rögzítette a keralai iskola felfedezéseit és tételeit. Ez volt a világ első differenciálszámításról írott műve és tartalmazott fogalmakat az integrálszámítás területéről is. A 16. század végétől kezdődően a matematika fejlődése Indiában stagnálni kezd az akkor kialakult politikai zűrzavar miatt.

[szerkesztés] Arab és muzulmán matematika (800 – 1500)

A muzulmán vallású arab birodalom – amely a 8. században alakult ki a Közel-Kelet, Közép-Ázsia, Észak-Afrika, az Ibériai-félsziget és India egyes részein – jelentősen hozzájárult a matematika fejlődéséhez. A legtöbb, bár nem az összes, muzulmán tudós arab nyelven írt a matematikáról, mivel ebben a korban az arab nyelv összekötő szerepet (lingua franca) töltött be a muzulmán világ nem arab nyelvű tudósai körében, hasonlóan a görög nyelv hellén világban betöltött szerepéhez. A legfontosabb muzulmán tudósok között sok perzsa is volt.

Abú Abdalláh Muhammad bin Múszá al-Hvárizmí 9. századi perzsa matematikus, a bagdadi kalifa udvari csillagásza számos könyvet írt a hindu-arab számokról és az egyenletmegoldás módszereiről. A hindu számokkal való műveletekről című könyve, melyet 852-ben írt valamint Al-Kindi arab matematikus művei kulcsszerepet játszottak az indiai matematika és az indiai (arab) számok nyugati világban való elterjedésében. Az algoritmus szó al-Hvárizmí nevének latinosított változatából (Algoritmi) ered, az algebra szó pedig egyik művének címéből: Hisab al-dzsabr walmukabala (szó szerint A rövidítés és törlés tudománya). Al-Hvárizmí-t gyakran nevezik az algebra atyjának, mivel az ősi módszereket megtartva sok eredeti ismerettel bővítette ezt a tudományágat.^[15]

Az algebra Abu Bakr al-Karadzsi (953 – 1029) al-Fakhri című értekezésével tovább fejlődött, ahol úgy bővíti ki a módszertant, hogy használható legyen ismeretlen mennyiségek egész számú hatványainál és egész számú gyökeinél is. A 10. században Abul Vafa arabra fordította Diophantosz műveit és kifejlesztette a tangensfüggvényt.

Az első matematikai indukció módszerével végzett bizonyítás Al-Karadzsi egy könyvében jelent meg i. sz. 1000 körül, aki a binomiális tételt, a Pascal-háromszöget és a kockák integrálösszegét bizonyította ezzel a módszerrel.^[16] F. Woepcke matematikatörténész szerint ^[17]Al-Karadzsi használt először algebrai jelölést a számításoknál.

Ibn al-Hajtham arab matematikus vezette le elsőként a negyedik hatványok összegének képletét és indukcióval kifejlesztett egy módszert bármilyen hatványon lévő integrál összegének számításához szükséges képlet meghatározására, amely alapvető volt az integrálszámítás fejlődése szempontjából.^[18]

Omar Khajjám 12. században élt perzsa költő egyben matematikus is volt és ő írta a Vita Euklidész hibáiról című könyvet, melyben Euklidesz Elemek című művének hibáit elemzi, különösen a párhuzamossági posztulátumot, ezzel lefektette az analitikus geometria és a nem-euklideszi geometria alapjait. Ő talált elsőként általános mértani megoldást a harmadfokú egyenletekhez és nagy hatása volt a naptárreformra is. Nasir al-Din Tusi (Naszireddin al-Túszi) 13. századi perzsa matematikus új felfedezéseket tett a gömb-trigonometria területén. Írt egy nagyhatású művet Euklidesz párhuzamossági posztulátumáról is. A 15. században Dzsamsid Gijászaddin Al-Kási π értékét 16 tizedesjegy pontossággal számította ki. Kashinak volt egy algoritmusa az n-edik gyök kiszámításához is, amely a Ruffini és Horner által évszázadokkal később megadott módszerek speciális esete volt. Fontos muzulmán matematikusok voltak még: al-Samawal, Abu'l-Hasan al-Uqlidisi, Jamshid al-Kashi, Thabit ibn Qurra, Abu Kamil és Abu Sahl al-Kuhi is.

Az Oszmán Birodalom ideje alatt (15. századtól) a muzulmán matematika fejlődése megtorpant. Ez ahhoz hasonlítható, amikor a hellén világ a rómaiak uralma alá került: akkor a matematika fejlődése szintén megállt.

John J. O'Connor és Edmund F. Robertson a következőket írja a MacTutor History of Mathematics archive-ban[12]:

	A legújabb kutatások új képet tárnak elénk arról, milyen mértékben maradtunk adósai a muzulmán matematikusoknak. Mára nyilvánvalóvá vált, hogy azon felfedezések nagy részét, melyeket korábban a zseniális 16.-17.-18. századi európai matematikusainknak tulajdonítottunk, muzulmán matemamatikusok már századokkal korábban kifejlesztették. Sok tekintetben a ma tanult matematika stílusában sokkalta közelebb áll a muzulmán matematikához, mint a hellenisztikushoz.

[szerkesztés] Középkori európai matematika (300 – 1400)

A középkori Európában a mai matematikusokéitől jelentősen eltérő problémák hajtották a matematika fejlődését. Az egyik hajtóerő az a hit volt, hogy a matematika kulcsfonosságú a teremtett természet megértéséhez, amit gyakran Platón Timaeus-ával és azzal a deuterokanonikus bibliai passzussal támasztottak alá, mely szerint Isten mindent mérték, szám és súly szerint rendezett el.

„De ezek nélkül is, egyetlen lehelet is elsöpörhette volna őket, ha a bosszúló igazságosság üldözőbe veszi és hatalmad lehelete megszeleli őket. De te mindent mérték, szám és súly szerint rendeztél el.” (Salamon bölcsessége 11:21).

[szerkesztés] Kora középkor (300 – 1100)

Boethius helyet biztosított a matematikának is az oktatásban, mikor megalkotta a „quadrivium” kifejezést, amely a számtan (aritmetika), a mértan (geometria), a csillagászat és a zene tudományának összefoglaló neve volt (a hét szabad művészet részeként). Ő írta a De institutione arithmetica című írást, amely a görög Nikomakhosz által írott Bevezetés az aritmetikába című mű szabad fordítása volt; valamint a De institutione musica című művet, amely szintén görög forrásokat használt; ezen kívül írt még egy sor kivonatot Euklidesz geometriájából is (Elemek). Művei sokkal inkább elméletiek voltak, mint gyakorlatiak, és az európai matematikai tanulmányok alapjául szolgáltak, amíg fel nem fedezték a görög és arab matematikai műveket. ^[19][20]

[szerkesztés] A matematika reneszánsza Európában (1100 – 1400)

A 12. századi európai tudósok Spanyolországba és Szicíliába utaztak arab tudományos iratok után kutatva; többek között megtalálták al-Hvárizmí Hisab al-dzsabr walmukabala (A rövidítés és törlés tudománya) című művét is, amelyet Robertus Castrensis fordított latinra, valamint Euklidesz Geometriájának teljes szövegét (Elemek), melyet többen is lefordítottak például: Adelardus Bathensis, Herman Dalmatin és Gerardo da Cremona (Gerardus Cremonensis). ^[21][22]

Az új források hatására felélénkült a matematika iránti érdeklődés. A 13. század elején Fibonacci produkálta az első jelentős matematikai eredményeket Európában Eratoszthenész óta, amely több mint ezer éves űrt jelent. A 14. században problémák széles körét kutatva születtek az újabb és újabb matematikai fogalmak. ^[23] Az egyik olyan terület, amely nagy hatással volt a matematika fejlődésére a helyi mozgás analízise volt.

Thomas Bradwardine felvetette, hogy a sebesség (V) úgy növekszik számtani arányban, ahogy az erő (F) ellenálláshoz (R) való aránya nő mértani arányban. Bradwardine ezt specifikus példák sorával fejezte ki és – bár abban az időben még nem ismerték a logaritmus fogalmát – állítását anakronisztikusan felírhatjuk a következőképpen:

V = log (F/R). ^[24]

Bradwardine analízise arra példa, hogyan ültették át azt a matematikai technikát, melyet al-Kindi és Arnaldus de Villa Nova az összetett gyógyszerek természetének mennyiségi meghatározására használtak, egy másik fizikai probléma megoldására.^[25]

A 14. században William Heytesbury, az „oxfordi kalkulátorok” egyike, mivel nem ismerte a differenciálszámítás és a határérték fogalmát, azt javasolta, hogy a pillanatnyi sebességet oly módon mérjék, hogy „azt az utat mérik, melyet akkor tett volna meg, ha ... végig azzal a sebességgel mozgott volna, amellyel az adott pillanatban mozgott”.^[26]

Heytesbury és mások matematikai módszerrel határozták meg egy olyan test által megtett utat, amelynek gyorsulása állandó mértékű (ezt ma egyszerű integrálással számolnánk). Állításuk szerint ugyanis: „egy mozgó test amelynek sebessége egyenletesen nő vagy csökken, adott idő alatt ugyanakkora távolságot tesz meg, mintha végig az átlagos sebességgel mozgott volna.” ^[27]

Nicolas d’Oresme a párizsi egyetemen és az Itáliai Giovanni di Casali egymástól függetlenül grafikusan bizonyították ezt a viszonyt, és ezzel megerősítették, hogy a konstans gyorsulást jelölő egyenes alatti terület a teljes bejárt útnak felel meg.^[28] Oresme Euklidész Elemek című művéhez írt későbbi kommentárjában egy még részletesebb általános elemzést készített, melyben bemutatja, hogy a testnek minden egymást követő időnövekményben megnő minden olyan tulajdonsága, amely páratlan számonként növekszik. Mivel Euklidész már bizonyította, hogy a páratlan számok összegei a négyzetszámok, a test növekvő jellemzője az idő négyzetével nő.^[29]

[szerkesztés] Korai modern európai matematika (1400 – 1600)

Európában a reneszánsz hajnalán a matematika fejlődését még mindig korlátozta az akkoriban használt nehézkes jelölésmód, melyben római számokkal dolgoztak és a viszonyokat jelek helyett inkább szavakkal fejezték ki: nem volt még pluszjel, sem egyenlőségjel és az x-et sem használták még az ismeretlen jelölésére.

A 16. században az európai matematikusok olyan mértékű fejlődésnek lehettek tanúi, melyre még nem volt példa korábban sehol mai tudásunk szerint. Az egyik jelentős felfedezés ebből a korszakból a harmadfokú egyenlet általános megoldása volt, melyet Scipione del Ferronak tulajdonítanak 1510 körül, de elsőként Johannes Petreius publikálta Nürnbergben Gerolamo Cardano Ars magna című munkájában, amely tartalmazta a másodfokú egyenlet általános megoldását is Cardano tanítványától, Lodovico Ferraritól.

Ettől kezdve a matematikai felfedezések már gyors ütemben követték egymást és kölcsönös hatással voltak az élettelen fizikai tudományok területein tett legújabb felfedezésekre is. A folyamathoz nagyban hozzájárult a nyomtatás fejlődése. A legkorábbi nyomtatásban megjelent matematikai témájú könyv Peurbach Theoricae nova planetarum-ja volt 1472-ben, melyet egy keredkedelmi számításokat tárgyaló könyv, az 1478-as Treviso Arithmetic követett, majd az első valódi matematikai könyv, Euklidész Elemei, melyet Ratdolt nyomtatott és adott ki 1482-ben.

A tengeri hajózás és navigáció valamint a nagy területeket ábrázoló pontos térképekkel szemben támasztott növekvő igények miatt a trigonometria lett a matematika egyik legfejlettebb ága. Bartholomaeus Pitiscus használta először a szót az 1595-ben megjelent Trigonometria című munkájában. A Regiomontanus-féle szinusz- és koszinusztáblázatokat 1533-ban adták ki.^[30]

A század végére – hála Regiomontanusnak (1436 – 1476) és François Viète-nek (1540 – 1603) (többek között) – a matematikát már a hindu-arab számokkal írták olyan formában amely már nem sokban különbözött a ma használt alaktól.

[szerkesztés] 17. század

A 17. században sose látott mértékben és robbanásszerűen fejlődtek a matematikai és tudományos ismeretek Európa-szerte.

Az itáliai Galileo Galilei teleszkópjával megfigyelte, hogy a Jupiter bolygó körül holdak keringenek. A dán Tycho Brahe hatalmas mennyiségű matematikai adatot gyűjtött össze a bolygók helyzetének tanulmányozása során. Tanítványa, a német Johannes Kepler elkezdte feldolgozni az összegyűlt adatokat. Részben azért, hogy segítse Kepler számításait, a skóciai John Napier tanulmányozta elsőként a természetes logaritmusokat. Keplernek végül sikerült matematikai képletekkel kifejezni a bolygók mozgását. René Descartes (1596-1650) francia matematikus-filozófus, kifejlesztette az analitikus geometriát melynek segítségével fel tudta rajzolni a bolygók pályáját a Descartes-koordinátarendszerben. Korábbi matematikusok munkájára építve az angol Isaac Newton felfedezte azokat a fizikai törvényeket, melyekkel meg tudta magyarázni Kepler törvényeit, és összefoglalta a differenciál- és az integrálszámítás alapelveit. Tőle függetelenül Gottfried Wilhelm Leibniz Németországban kifejlesztette a differenciál- és az integrálszámítást melyben ma is az ő jelölésmódját hasznájuk. A tudomány és a matematika fejlesztése nemzetközi törekvés lett és a felhalmozott ismeretanyag hamarosan világszerte elterjedt.^[31]

Azon kívül, hogy a matematikát használni kezték az égitestek tanulmányozásánál, Pierre de Fermat és Blaise Pascal levelezése során az alkalmazott matematika új területekre is behatolt. Pascal és Fermat szerencsejátékokról szóló vitáikban lefektették a valószínűségelmélet kutatásának alapjait és a kombinatorika szabályait is. Pascal fogadás-elméletében megpróbálta felhasználni az újonnan létrehozott valószínűségelméletet a vallásos élet melletti érvelésre, azon az alapon, hogy ha a siker valószínűsége kicsi, akkor a jutalom végtelen. Bizonyos értelemben ez már előrejelezte a hasznossági függvény 18-19. századi kialakulását.

[szerkesztés] 18. század

Ahogy azt a monolitikus építményeknél láthattuk, a természetes számok ismerete (1, 2, 3 ...) régebbi mint bármely fennmaradt szöveg. Már a legkorábbi civilizációkban (Mezopotámia, Egyiptom, India és Kína) is ismerték az aritmetikát.

A mai matematika különböző számrendszereinek fejlődését oly módon követhetjük nyomon, hogy megfigyeljük hogyan tanulmányozták és kutatták az új számokat abból a célból hogy a régebbi számokkal végzett aritmetikai műveletekre választ adjanak. A történelem előtti időkben a tört számokkal tudtak választ adni erre a kérdésre: melyik számot kell 3-mal szorozni, hogy eredményül 1-et kapjunk. Indiában és Kínában, majd jóval később Németországban bevezették a negatív számokat, hogy válaszolni tudjanak a kérdésre: mit kapunk, ha egy kisebb számból kivonunk egy nagyobbat. A nulla bevezetéséhez is hasonló kérdés vezethetett: mit kapunk, ha kivonunk egy számot önmagából?

Egy következő kérdés: milyen szám a 2 négyzetgyöke? Már a görögök is tudták hogy ez nem egy tört, és a kérdésnek szerepe lehetett a lánctörtek kifejlődésében is. A tizedestörtek bevezetése után azonban – melyet John Napier (1550 – 1617) talált fel, majd később Simon Stevin tökéletesített – még jobb megoldás született. A tizedesek és egy olyan fogalom használatával, amely a határérték elődjének tekinthető, Napier egy másik állandót is tanulmányozott, melyet Leonhard Euler (1707 – 1783) e-nek nevezett el.

Eulernek nagy hatása volt a matematikai fogalmak és jelölésmódok egységesítésére. A – 1 négyzetgyökét az i szimbólummal jelölte. Ő terjesztette el a görög π betű használatát is a körök kerület-átmérő arányának jelölésére. Ő vezette le a metematika egyik legjelentősebb azonosságát is:

(lásd még Euler-képlet)

[szerkesztés] 19. század

A 19. század folyamán a matematika egyre absztraktabbá vált. Ebben a században élt minden idők egyik legnagyobb matematikusa Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855). Számos más tudományos eredménye mellett forradalmi munkát végzett a tiszta matematikában – a komplex változók függvényeivel –, a geometriában és a sorozatok konvergenciájának tanulmányozásával. Ő adta az első kielégítő bizonyítást az algebra alaptételéhetz, és a kvadratikus reciprocitás tételéhez.

Ebben a században a nem-Euklideszi geometria két formája is létrejött, melyekben az euklideszi geometria párhuzamossági posztulátuma nem érvényes. Az euklideszi geometriában egy adott egyeneshez egy rajta kívüleső ponton keresztül egy és csakis egy párhuzamos húzható. Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij orosz matematikus és a magyar Bolyai János egymástól függetlenül alkották meg a hiperbolikus geometriát, ahol a párhuzamossági posztulátum nem érvényesül. Ebben a rendszerben a háromszög belső szögeinek összege kevesebb mint 180°. Az elliptikus geometriát később fedezte fel Bernhard Riemann német matematikus a 19. század során. Az ő rendszerében nincsenek párhuzamosok és a háromszög belső szögeinek összege nagyobb mint 180°. Riemann fejlesztette ki a Riemanni geometriát is, amely egyesíti és jelentősen általánosítja a három geometriatípust és ő definiálta a sokaság fogalmát is, amely a görbék és a felületek fogalmának általánosítása.

Ezek a fogalmak fontos szerepet jászottak később Albert Einstein relativitáselméletében.

A 19. században vezette be William Rowan Hamilton a nemkommutatív algebrát.

Az újabb matematikai irányok mellett a korábbi matematikai jelenségek is biztosabb logikai alapokra kerültek, különösen az integrál és differenciálszámítás Augustin-Louis Cauchy és Karl Weierstrass munkásságának köszönhetően.

A 19. században jött létre az algebra új formája, a Boole-algebra, melyet George Boole brit matematikus dolgozott ki. Ebben a rendszerben csak a 0 és az 1 számok szerepelnek és ma igen elterjedt, főleg a számítástechnikában.

Ugyanebben az időben kezdték el elsőként a matematika korlátait tanulmányozni. Paolo Ruffini olasz és Niels Henrik Abel norvég matematikus bebizonyította, hogy a négynél magasabb fokú egyenletekre nincs gyökképlet. Évariste Galois módszert adott annak eldöntésére, hogy egy adott egyenlet megoldható-e a négy alapművelettel és gyökvonásokkal.

Más 19. századi matematikusok felhasználták ezt annak bizonyítására, hogy egy körző és egy vonalzó önmagában nem elég egy tetszöleges szög három egyenlő részre való felbontásához vagy olyan kocka szerkesztéséhez, melynek térfogata egy adott kocka térfogatának kétszerese sem pedig olyan négyzet szerkesztéséhez, melynek területe megegyezik egy adott kör területével. A matematikusok már az ókori görögök ideje óta próbáltak megoldást találni ezekre a kérdésekre – mindhiába.

Abel és Galois kutatásai a különböző polinom-egyenletek megoldása területén lefektették a csoportelmélet és a kapcsolódó absztrakt algebra további fejlődésének alapjait. A 20. században fizikusok és más tudósok a csoportelméletet ideális eszköznek tekintették a szimmetria tanulmányozására.

A 19. században alakultak meg ez első matematikai társaságok is: 1865-ben a London Mathematical Society, 1872-ben a Société Mathématique de France, 1884-ben a Circolo Mathematico di Palermo, 1864-ben az Edinburgh Mathematical Society és 1888-ban az American Mathematical Society.

A Bolyai János Matematikai Társulat jogelődjét 1891-ben alapították.

A 20. század előtt egy adott időpontban csak nagyon kevés kreatív matematikus volt a világon. A legtöbb matematikus vagy gazdagnak született – Napier-hez hasonlóan –, vagy gazdag személyek támogatását élvezte, mint Gauss. Néhányuk szerény megélhetését egyetemi oktatóként szerezte, mint Fourier. Niels Henrik Abel 26 évesen elhunyt alultápláltság és tuberkulózis következtében, mivel nem kapott állást.

[szerkesztés] 20. század

A matematikusi hivatás a 20. században egyre fontosabbá vált. Minden évben többszáz új PhD fokozatot ítélnek oda matematikusoknak és számos munkalehetőség közül válogathatnak mind az oktatásban, mind az iparban. A matematika exponenciális ütemben fejlődik ezért a fejlődés szinte már alig vagy csak nagyon nehezen követhető.

Az 1900-ban rendezett nemzetközi matematikai kongresszuson David Hilbert előállt egy listával, melyen 23 megoldatlan matematikai problémát sorolt fel. Ezek a problémák a matematika számos területét érintették és a 20. századi matematika központi feladatai között voltak. Mára közülük tíz problémát már teljes mértékben megoldottak, hetet csak részlegesen és kettő még ma is megoldatlan. A maradék négy túl lazán definiált ahhoz, hogy egyértelműen dönteni lehessen megoldott voltáról.

Az 1910-es években Rámánudzsan Srínivásza (1887 – 1920) több mint 3000 tételt írt le, köztük az erősen összetett számok tulajdonságairól, a partíciók számát megadó függvényről és aszimptotikájáról és a Rámánudzsan-féle thetafüggvényekről. Jelentős felfedezéseket tett a gammafüggvények, moduláris formák, divergens sorozatok, hipergeometrikus sorozatok és a prímszámelmélet területein is.

A múlt híres sejtései újabb és erőteljesebb technikák kifejlődéséhez vezettek. Wolfgang Haken és Kenneth Appel számítógép segítségével bizonyította be 1976-ban a négyszín-tételt. Andrew Wiles évekig egyedül dolgozva irodájában 1995-ben végül bebizonyította a Fermat-sejtést.

A matematikán belül teljesen új területek jöttek létre, mint például a matematikai logika, a topológia, a komplexitáselmélet és a játékelmélet melyek kibővítették azon kérdések körét, melyeket matematikai módszerekkel meg tudunk válaszolni.

A francia Bourbaki-csoport tagjai megkísérelték a matematika minden területét egy koherens és szigorú egységgé gyúrni, és a Nicolas Bourbaki kollektív álnéven publikáltak. Hatalmas munkájuk matematikaoktatásra tett hatása vitatott.^[32]

Végeztek újabb kutatásokat a matematikai korlátai terén is. Kurt Gödel bizonyította, hogy minden olyan matematikai rendszerben, melyben vannak egész számok, van olyan igaz állítás, amit nem lehet bebizonyítani. Paul Cohen bizonyította a kontinuum-hipotézis logikai függetlenségét a halmazelmélet standard axiómáitól.

A század végére a matematika kezdett összefonódni a művészetekkel is: a fraktálgeometria például olyan gyönyörű alakzatkat hozott létre, melyekre korábban nem volt példa.

[szerkesztés] 21. század

A 21. század hajnalán egyes oktatók baljósnak tartják a szellemileg az új alsó osztályhoz tartozók társadalmi előretörését, akik mind matematikailag, mind tudományosan írástudatlanoknak tekinhetőek.^[33] Ugyanekkor a matematika, a természettudományok, a mérnöki tudomány és a technológia együtt olyan tudást, kommunikációt és jólétet hozott létre, amiről az ókori filozófusok álmodni se mertek volna.

Mindössze néhány év telt el a 21. századból, de már születtek jelentős eredmények. 2004-ben Ben Green és Terry Tao bebizonyította azt a régi sejtést hogy van akármilyen hosszú, prímszámokból álló számtani sorozat. 2006-ban Grigorij Perelman igazolta a Poincaré-sejtést.

2007 március közepén észak-amerikai és európai kutatók csoportja számítógép-hálózatok segítségével térképezték fel az E8 politópot. ^[34] Bár ma még pontosan nem tudjuk, hogyan lehet majd alkalmazni az E8-ról szerzett ismereteket, a felfedezés jelentős mind a csapatmunka, mind a modern matematikai számítási technológia fejlődése szempontjából.

[szerkesztés] Jegyzetek

[szerkesztés] Lásd még

• A geometria története

Irodalom