Csoportelmélet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A csoportelmélet a csoport algebrai struktúrával foglalkozik.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Történet

Tudománytörténeti szempontból a csoportelméletnek két fő ágát vagy irányát különböztethetjük meg: egy „elméletit” és egy „alkalmazottat”. A csoportfogalom felfedezése elsősorban „elméleti” okoknak, az algebrai egyenletek vizsgálatának köszönhető. Csoportok elméletének alapjait az 1830-as években rakta le Evariste Galois francia matematikus, és halála miatt 1846-ban publikálta Joseph Liouville).

Már Lagrange észrevette, hogy a gyökök permutálásának egymás utáni elvégzése ismét a gyökök egy permutációját eredményezi, sőt vannak az összes permutáción belül olyan még kisebb csoportok, melyek „együtt maradnak” (azaz a csoport elemeinek permutálása csoportbeli elemmel nem ad a csoporton kívüli elemet). Az ez irányuló vizsgálatokat Augustin Cauchy, Niels Henrik Abel és Evariste Galois folytatta. Így alakult ki az első fontos csoportelméleti fogalom, a permutációcsoport fogalma. Galois ezek segítségével oldott meg egy régi és nagyon nehéz problémát, az algebrai egyenletek gyökképlettel való megoldhatóságának problémáját. A „csoport” elnevezés is tőle származik.

A csoportaxiómáknak megfelelő tulajdonságok (kommutativitás, asszociativitás stb.) bevezetését az angol algebrai iskola már korábban megtette; erre alapozva Arthur Cayley vezette be a csoport absztrakt fogalmát, s ezzel a csoportelmélet meghaladta a puszta permutációcsoportok elméletét (lehetővé téve a másféle, igen fontos alkalmazásokat). Cayley nevéhez fűződik annak az egyszerű tételnek a bizonyítása, hogy „lényegében minden csoport egy permutációcsoport” (reprezentációs tétel). Ő vezette be a művelettábla (Cayley-tábla)), a Cayley-gráf és a hasonló, a szemléltetést könnyítő hasznos fogalmakat. Richard Dedekind kiterjesztette a csoport fogalmát kommutatív csoportokra is.

Az első komoly alkalmazások (már ha Galois eredményét szintén elméletinek tekintjük) Felix Klein (ld. erlangeni program) és Sophus Lie nevéhez fűződnek.

A csoportelméletnek ma különösen nagy szerepe van más tudományokban is: a „kristályosodási csoportok” a kémiában és geológiában, bizonyos transzformációk szimmetriacsoportjai pedig az elméleti fizikában központi jelentőségűek.

[szerkesztés] A csoport definíciói, alapfogalmak

A csoport olyan (G, ·) egyműveletes algebrai struktúra, ahol G tetszőleges halmaz, · pedig egy ·(x,y): G×G → G, azaz a G-beli elempárokhoz G-beli elemeket rendelő függvény, melyekre teljesülnek az alábbi tulajdonságok (csoportaxiómák):

A1). Az a,b,c eleme G elemre (a·b)·c = a·(b·c) (asszociativitás);
A2). Az e eleme G, amelyre a eleme G esetén: e·a = a·e = a (neutrális elem létezése);
A3). Az a eleme G elemhez minden, az A2). tulajdonságot teljesítő e eleme G esetén
található olyan a^1 , amelyre a·a^- = a^-·a = e		 (inverzelemek létezése).

Belátható, hogy bármely csoportban a neutrális elem egyértelmű, és minden elemnek pontosan egy inverze létezik.

A neutrális elemet az egyszerűség és a könnyebb szemléltethetőség kedvéért gyakran egységelemnek vagy nullelemnek nevezik.

Belátható, hogy egy (G,·) algebrai struktúra akkor és csak akkor csoport, ha teljesül A1). és a következő A2'). tulajdonság:

A2'). Tetszőleges a,b eleme G esetén léteznek olyan x,y eleme G elemek,
melyekre a·x = b és y·a = b teljesül		 (az a·x = b és y·a = b egyenletek
megoldhatóak G-ben x-re és y-ra)
T1. tétel: Bármely csoportban legfeljebb egy egységelem létezik, az egységelem egyértelmű.
Biz.: Legyen e,f eleme G egységelem G-ben, ekkor tetszőleges a eleme G-re a·e = e·a = a és a·f = f·a = a is teljesül A1). szerint. Ekkor persze f-re is teljesül az a·e = e·a = a egyenlőség miatt f·e = e·f = f, e-re pedig az a·f = f·a = a egyenlőség alapján e·f = f·e = e. Minthogy az egyenlőség tranzitív reláció, e·f = f és e·f = e alapján f = e, azaz bármely két egységelem egyenlő, tehát tényleg nincs két különböző egységelem.
T2. következmény: Bármely (G,·) csoportnak pontosan egy egységeleme van.
Biz.: A1) alapján létezik egységelem, T1) alapján pedig ha létezik, akkor pontosan egy létezik, ebből következően létezik is, és pontosan egy létezik.

Egy csoport rendjén elemeinek számát értjük, és |G|-vel jelöljük.

[szerkesztés] Hatványozás. Az általánosított asszociativitási tétel (GAT).

[szerkesztés] Részcsoportok

Ha a (G, * ) csoport egy H részhalmaza maga is csoportot alkot a H\times H-ra leszűkített * művelettel, akkor (H, * ')-t a (G, * ) részcsoportjának v. alcsoportjának nevezzük (*':H\times H\to H a * leszűkítése). A részcsoport jelölése: H < G.

Ha H\ne G, akkor H-t G valódi részcsoportjának nevezzük.

Megjegyzések:

  • H nem lehet üres, hiszen legalább az egységelemet tartalmazza.
  • H rendje osztja G rendjét.

[szerkesztés] Konjugálás, mellékosztályok

Legyen (G, * ) csoport. Egy a\in G csoportelemnek egy x\in G csoportelemmel vett konjugáltját az ax = x − 1ax kifejezéssel definiáljuk.

Megjegyzések:

  • A fönti definícióval (ab)x = axbx, (ax)y = axy, ex = e és ae = a (e a G egységeleme, a,b,x,y\in G tetszőlegesek).
  • Egyes szerzők a konjugáltat az xax − 1 kifejezéssel definiálják (akkor az előző megjegyés 2. egyenlete nem teljesül), illetve az \tilde{a} jelölést is használják (amiből nem derül ki, hogy melyik elemmel konjugáltak).

Vezessük be G elemei között a \sim relációt a következőképpen: az a,b\in G csoportelemekre a\sim b \iff \exists x\in G : a^x=b. Könnyen belátható, hogy \sim\subseteq G\times G ekvivalenciareláció, tehát \sim szerint G diszjunkt elemosztályokra bontható, amelyeket konjugált elemosztályoknak nevezünk. Két csoportelem pontosan akkor van ugyanabban a konjugált elemosztályban, ha azok egymás konjugáltjaiként előállíthatók.

Legyen H < G és x\in G. Ekkor

  • az xH=\{xa|a\in H\}\subseteq G halmazt H x szerinti baloldali mellékosztályának, illetve
  • a Hx=\{ax|a\in H\}\subseteq G halmazt H x szerinti jobboldali mellékosztályának nevezzük.

Megjegyzések:

  • Általános esetben a bal- és jobboldali mellékosztályok különböznek.
  • Két baloldali (ill. jobboldali) mellékosztály vagy megegyezik vagy nincs közös elemük, és a baloldali (ill. jobboldali) mellékosztályok lefedik a teljes G-t (azaz uniójuk előállítja G-t).
  • Az egyes mellékosztályok számossága megegyezik (megegyezik tehát H rendjével).
  • Az előző két megjegyzés alapján: véges csoport tetszőleges részcsoportjához tartozó mellékosztályok száma (amit a részcsoport indexének nevezünk) osztója a csoport rendjének.

[szerkesztés] Lagrange tétele

 Ezt a szakaszt át kellene olvasni, ellenőrizni a szövegét, tartalmát. További részleteket a cikk vitalapján találhatsz.

Ha H a G csoport egy részcsoportja, akkor H rendjét és H indexét összeszorozva G rendjét kapjuk, ahol H indexe a H szerinti bal mellékosztályok száma.

[szerkesztés] Normálosztó, faktorcsoport

Egy G csoport N részcsoportja normálosztó ha jobboldali és baloldali mellékosztályai megegyeznek, azaz G minden g elemére g^{-1}Ng\subseteq N teljesül. Jelben N\triangleleft G.

Ekkor az N mellékosztályai által alkotott csoportot faktorcsoportnak nevezzük és G/N-el jelöljük.

[szerkesztés] Homomorfizmus és izomorfizmus. Homomorfizmustétel

Legyenek G, H halmazokon értelmezve egy-egy binér művelet. φ : G → H művelettartó leképezés homomorfizmus. Ha φ bijektív, akkor a homomorfizmust izomorfizmusnak hívjuk.

φ homomorfizmus G-n, a homomorfizmus magja normálósztó. G/kerφ faktorcsoport izomorf φ(G)-vel.

(fixme)

[szerkesztés] Abel-csoportok. Bázis

Abel-csoportnak a kommutatív csoportokat nevezzük. Ilyenek például az egy elem hatványaiból álló ciklikus csoportok. Ezekből direkt szorzással újabb Abel-csoportokat kapunk.

Ha Abel-csoportokról van szó, akkor az asszociatív műveletet sokszor összeadásnak hívják, és additív jelölést használnak.

További példák Abel-csoportokra:

[szerkesztés] Véges Abel-csoportok alaptétele (VAT)

Egy véges Abel-csoport prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt szorzatával izomorf. A prímhatvány rendek és a tényezők multiplicitása egyértelműen meghatározottak.

[szerkesztés] Egyszerű csoportok

Egy csoport egyszerű, ha csak triviális normálosztója van (az egész csoport és az egységelemből álló csoport). Szokás szerint nem számítjuk az egyszerű csoportok közé a kommutatívakat, tehát az egyelemű, illetve prímrendű ciklikus csoportokat. A csoportelmélet egyik nevezetes problémája a véges egyszerű csoportok leírása, azzal a (kissé leegyszerűsített) meggondolással, hogy a véges csoportok amúgy is egyszerű csoportokból, csoportbővítéssel, állnak elő, ezért bármilyen probléma megoldható, ha megoldjuk véges egyszerű csoportokra és leírjuk a bővítéseken való viselkedését.

A véges egyszerű csoportok leírása a matematika leghosszabb bizonyítása, sokáig kb 10.000 oldal volt, de 1982 - ben sikerült lerövidíteni a bizonyítást kb. 5000 oldalra. Sok matematikus dolgozott rajta sok évig, és ez a bizonyítás nem egy könyvben van leírva, hanem rengeteg egymásra hivatkozó cikk formájában matematikai folyóiratokban, amit lehetetlen teljes egészében áttekinteni, és többen kételkednek a „bizonyítás” bizonyítás voltában az olyan jellegű kereszthivatkozások miatt, hogy: „amennyiben igaz az A tétel, akkor abból következik hogy,...”.

[szerkesztés] Sylow-csoportok

Legyen p prím. A P részcsoport p-Sylow-csoport, ha rendje p^h, ahol p^(h+1) nem osztója a G csoport rendjének.

A Sylow-csoportokról szólnak a Sylow-tételek.

I. Tétel - Legyen a G véges csoport rendje n=m*p^h, ahol p prím, h>=1, p nem osztója m-nek. Ekkor minden k<=h van G-nek p^k rendű részcsoportja, amit normálosztóként tartalmaz egy p^(k+1) rendű részcsoport.

Meg kell még említeni a Chauchy-tételt, amit egyes felépítésekben lemmaként használnak a tételhez, míg más felépítésekben következményként adódik.

Tétel - minden olyan p prímre, amely osztja a G csoport rendjét, van p rendű elem G-ben.

II. Tétel - Adott p prímre, amely osztója a G csoport rendjének, G összes P-Sylowja konjugált. Sőt, az összes p^k rendű részcsoport konjugált egymással, ahol 1<=k<=h

Következmény - G összes P-Sylowja izomorf

Következmény - a p-Sylowok száma osztója m-nek

III. Tétel - A p-Sylowok száma p-vel osztva 1-et ad maradékul.

Számos alkalmazásuk van, erős eszközt adnak.

[szerkesztés] Nilpotens csoportok

[szerkesztés] Normállánc

Egy G csoport normálláncának azokat a G részcsoportjaiból alkotott sorozatokat nevezzük, ahol minden egyes tag normálosztója az előzőnek. G=N_0 \triangleright N_1 \triangleright N_2 \triangleright \dots \triangleright N_r=1.

Itt r akár 0 is lehet.

A normállánc faktorai az Ni/Ni + 1 faktorcsoportok. Két normállánc izomorf, ha faktoraik ugyanazok.

Az L1 lánc az L finomítása, ha L összes elemét tatalmazza, és hosszabb.

A normállánc kompozíciólánc, ha tovább nem finomítható. Nem minden csoportnak van ilyen, de a végeseknek van.

Honnan ismerjük fel, hogy valóban kompozícióláncot kaptunk?

Állítás - Egy normállánc akkor és csak akkor kompozíciólánc, ha minden faktora egyszerű csoport.

Véges csoportokra van még a Jordan-Hölder tétel a kompozícióláncokról

Tétel - Véges csoport bármely két kompozíciólánca izomorf.

[szerkesztés] Feloldható csoportok

A G csoporot feloldhatónak nevezzük ha van olyan normállánca;amelynek minden faktora Abel-csoport. Feloldható csoport minden részcsoportja és faktorcsoportja is feloldható. Legyen H G-nek normális részcsoportja. Ha G/H és H feloldható csoportok; akkor G is feloldható.

Példák:

  • Sn akkor és csak akkor felodható ha n<5.
  • Speciálisan, S4 negyedfokú szimmetrikus csoport feloldható.
  • Minden Abel-csoport feloldható.

[szerkesztés] Szabad csoportok

Bővebben: Szabad csoport

Legyen X adott halmaz. Képezzük X elemeinek formális inverzét, ezek alkotják az X^-1 halmazt. Az X fölötti szabad csoport azokból a szavakból áll, amelyeket X és X^-1 elemeiből képezhetünk. Egyenlőnek tekintjük azokat a szavakat, amelyek xx^-1 és x^-1x alakú szavak beírásával és törlésével egymásba alakíthatók.

Állítás - ha két szó egymásba alakítható, akkor elég törölni az xx^-1 és x^-1x -eket.

A szabad csoport művelete a konkatenáció, vagyis a szavak egymás után írása. A csoport egységeleme az üres szó, amit sokszor 1 -gyel jelölnek. Egy szó inverzében ugyanazok a betűk szerepelnek, mint az adott szóban, csak megfordítva és invertálva. Belátható, hogy a csoportaxiómák teljesülnek.

[szerkesztés] Gráfreprezentáció

[szerkesztés] Permutációcsoport

Az Sn részcsoportjait valamilyen n pozitív egészre permutációcsoportoknak nevezzük.

Cayley tétele szerint minden véges csoport reprezentálható permutációcsoportként.

Reguláris reprezentáció: feleltessük meg h eleme G-nek a következő permutációt:

f_h = \begin{pmatrix} 1 & g_2 & g_3 & \ldots & g_{n-1} \\ h & hg_2 & hg_3 & \ldots & hg_n \end{pmatrix} . \ ,

ahol 1, g_2, g_3, \dots , g_n a G csoport összes eleme felsorolva.

Példák permutációcsoportokra: különféle alakzatok szimmetriái: sokszögek, kocka,...

[szerkesztés] Orbit és stabilizátor

Legyen most G permutációcsoport Ω fölött. A G csoport tranzitív, ha Ω bármely két i,j eleméhez van g eleme G, ami átviszi i-t j -be. G n-szeresen tranzitív, ha bárhogy is írunk elő két n - est Ω elemei közül, akkor van g eleme G, ami átviszi az első n -est a másodikba.

Ω egy x elemének orbitja, más néven pályája azokat az Ω -beli elemeket tartalmazza, amelyekbe átvihető valamely g eleme G vel. x stabilizátora azokból a g eleme G -kből áll, amik x -et fixen hagyják. Ez részcsoport G-ben.

Tétel - Orbit-stabilizátor tétel: x orbitjának elemszáma egyenlő x stabilizátorának indexével G -ben.

Példa - kocka szimmetriacsoportja

Legyen A a kocka egyik csúcsa. Átvihető a szomszédos csúcsokba forgatással vagy élsíkra tükrözéssel. Több lépésben akárhova. Orbitja az összes csúcs, ez 8 elem. Stabilizátorának rendjét 8-cal szorozva a kocka szimmetriacsoportjának rendjét kapjuk.

Tovább folytatva felhasználhatjuk az orbit-stabilizátor tételt csoport rendjének meghatározására.

[szerkesztés] Hatás

Legyen G csoport. G hat az X halmazon, ha teljesülnek a következők:

  • ha g elemeG, x eleme X, akkor gx eleme X,
  • gh*x=g*(h*x)
  • 1 egységeleme G-nek, 1*x=x

Példák

  • a G csoport hat önmagán balról vagy jobbról szorzással
  • a G csoport hat önmagán konjugálással
  • a kocka permutációcsoportja hat a kocka élein, lapjain

[szerkesztés] Források

  • Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
  • Fried Ervin: Algebra I.
  • Pelikán József: Algebra I.
Ez a matematikai tárgyú lap még csak csonk (azaz erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!
A lap eredeti címe: „http://hu.wikipedia.org/wiki/Csoportelm%C3%A9let”
Személyes eszközök