Csoportelmélet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában és az absztrakt algebrában, a csoportelmélet a csoport nevű algebrai struktúrával foglalkozik. A csoport fogalma központi szerepet játszik az absztrakt algebrában: más fontos algebrai struktúrák, mint a gyűrűk vagy a vektorterek, mind felfoghatóak mint műveletekkel és axiómákkal kiegészített csoportok.

Különböző fizikai rendszerek, mint a kristályok vagy a hidrogénatom, modellezhetőek szimmetriacsoportokkal. Ezért a csoportelméletnek és az azzal közeli kapcsolatban álló ábrázoláselméletnek rengeteg alkalmazása van a fizikában és a kémiában.

Történet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tudománytörténeti szempontból a csoportelméletnek két fő ágát vagy irányát különböztethetjük meg: egy „elméletit” és egy „alkalmazottat”. A csoportfogalom felfedezése elsősorban „elméleti” okoknak, az algebrai egyenletek vizsgálatának köszönhető. Csoportok elméletének alapjait az 1830-as években rakta le Évariste Galois francia matematikus, és halála miatt 1846-ban publikálta Joseph Liouville).

Már Lagrange észrevette, hogy a gyökök permutálásának egymás utáni elvégzése ismét a gyökök egy permutációját eredményezi, sőt vannak az összes permutáción belül olyan még kisebb csoportok, melyek „együtt maradnak” (azaz a csoport elemeinek permutálása csoportbeli elemmel nem ad a csoporton kívüli elemet). Az ez irányuló vizsgálatokat Augustin Cauchy, Niels Henrik Abel és Évariste Galois folytatta. Így alakult ki az első fontos csoportelméleti fogalom, a permutációcsoport fogalma. Galois ezek segítségével oldott meg egy régi és nagyon nehéz problémát, az algebrai egyenletek gyökképlettel való megoldhatóságának problémáját. A „csoport” elnevezés is tőle származik.

A csoportaxiómáknak megfelelő tulajdonságok (kommutativitás, asszociativitás stb.) bevezetését az angol algebrai iskola már korábban megtette; erre alapozva Arthur Cayley vezette be a csoport absztrakt fogalmát, s ezzel a csoportelmélet meghaladta a puszta permutációcsoportok elméletét (lehetővé téve a másféle, igen fontos alkalmazásokat). Cayley nevéhez fűződik annak az egyszerű tételnek a bizonyítása, hogy „lényegében minden csoport egy permutációcsoport” (reprezentációs tétel). Ő vezette be a művelettábla (Cayley-tábla)), a Cayley-gráf és a hasonló, a szemléltetést könnyítő hasznos fogalmakat. Richard Dedekind kiterjesztette a csoport fogalmát kommutatív csoportokra is.

Az első komoly alkalmazások (már ha Galois eredményét szintén elméletinek tekintjük) Felix Klein (ld. erlangeni program) és Sophus Lie nevéhez fűződnek.

A csoportelméletnek ma különösen nagy szerepe van más tudományokban is: a „kristályosodási csoportok” a kémiában és geológiában, bizonyos transzformációk szimmetriacsoportjai pedig az elméleti fizikában központi jelentőségűek.

A csoport definíciói, alapfogalmak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A csoport olyan (G, ·) egyműveletes algebrai struktúra, ahol G tetszőleges nemüres halmaz, · pedig egy ·(x,y): G×G → G, azaz a G-beli elempárokhoz G-beli elemeket rendelő függvény, melyekre teljesülnek az alábbi tulajdonságok (csoportaxiómák):

A1). Az a,b,c eleme G elemre (a·b)·c = a·(b·c) (asszociativitás);
A2). Az e eleme G, amelyre a eleme G esetén: e·a = a·e = a (neutrális elem létezése);
A3). Az a eleme G elemhez minden, az A2). tulajdonságot teljesítő e eleme G esetén
található olyan a^-1 , amelyre a·a^- = a^-·a = e
(inverzelemek létezése).

Belátható, hogy bármely csoportban a neutrális elem egyértelmű, és minden elemnek pontosan egy inverze létezik.

A neutrális elemet az egyszerűség és a könnyebb szemléltethetőség kedvéért gyakran egységelemnek vagy nullelemnek nevezik.

Belátható, hogy egy (G,·) algebrai struktúra akkor és csak akkor csoport, ha teljesül A1). és a következő A2'). tulajdonság:

A2'). Tetszőleges a,b eleme G esetén léteznek olyan x,y eleme G elemek,
melyekre a·x = b és y·a = b teljesül
(az a·x = b és y·a = b egyenletek
megoldhatóak G-ben x-re és y-ra)
T1. tétel: Bármely csoportban legfeljebb egy egységelem létezik, az egységelem egyértelmű.
Biz.: Legyen e,f eleme G egységelem G-ben, ekkor tetszőleges a eleme G-re a·e = e·a = a és a·f = f·a = a is teljesül A1). szerint. Ekkor persze f-re is teljesül az a·e = e·a = a egyenlőség miatt f·e = e·f = f, e-re pedig az a·f = f·a = a egyenlőség alapján e·f = f·e = e. Minthogy az egyenlőség tranzitív reláció, e·f = f és e·f = e alapján f = e, azaz bármely két egységelem egyenlő, tehát tényleg nincs két különböző egységelem.
T2. következmény: Bármely (G,·) csoportnak pontosan egy egységeleme van.
Biz.: A2) alapján létezik egységelem, T1) alapján pedig ha létezik, akkor pontosan egy létezik, ebből következően létezik is, és pontosan egy létezik.

Egy csoport rendjén elemeinek számát értjük, és |G|-vel jelöljük.

Hatványozás. Az általánosított asszociativitási tétel (GAT).[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Részcsoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a (G,*) csoport egy H részhalmaza maga is csoportot alkot a H\times H-ra leszűkített * művelettel, akkor (H,*')-t a (G,*) részcsoportjának v. alcsoportjának nevezzük (*':H\times H\to H a * leszűkítése). A részcsoport jelölése: H<G. Részcsoportok metszete maga is részcsoport; részcsoportok uniója általában nem az.

Ha H\ne G, akkor H-t G valódi részcsoportjának nevezzük.

Megjegyzések:

  • H nem lehet üres, hiszen legalább az egységelemet tartalmazza.
  • H rendje osztja G rendjét.

Mellékosztályok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen H<G és x\in G. Ekkor

  • az xH=\{xa|a\in H\}\subseteq G halmazt H x szerinti bal oldali mellékosztályának, illetve
  • a Hx=\{ax|a\in H\}\subseteq G halmazt H x szerinti jobb oldali mellékosztályának nevezzük.

Megjegyzések:

  • Általános esetben a bal- és jobb oldali mellékosztályok különböznek.
  • Két bal oldali (ill. jobb oldali) mellékosztály vagy megegyezik vagy nincs közös elemük, és a bal oldali (ill. jobb oldali) mellékosztályok lefedik a teljes G-t (azaz uniójuk előállítja G-t).
  • Az egyes mellékosztályok számossága megegyezik (megegyezik tehát H rendjével).

Lagrange tétele[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az előző szakasz megjegyzései alapján: véges csoport tetszőleges részcsoportjához tartozó mellékosztályok száma (amit a részcsoport indexének nevezünk és így jelölünk: |G:H| ) osztója a csoport rendjének. H rendje maga is osztója G rendjének, és |G:H|.|H|=|G|. Ez Lagrange tétele.

Normálosztó, faktorcsoport[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy G csoport N részcsoportja normálosztó ha jobb oldali és bal oldali mellékosztályai megegyeznek, azaz G minden g elemére g^{-1}Ng\subseteq N teljesül. Jelben N\triangleleft G.

Ekkor az N mellékosztályai által alkotott csoportot faktorcsoportnak nevezzük és G/N-el jelöljük.

Homomorfizmus és izomorfizmus. Homomorfizmus-tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen G és H két csoport és legyen \phi : G → H olyan leképezés, hogy tetszőleges g, h\in G elemekre \phi(gh)=\phi(g)\phi(h). Az ilyen \phi leképezést homomorfizmusnak nevezzük. Speciálisan, ha \phi bijektív, akkor a homomorfizmust izomorfizmusnak hívjuk, és azt mondjuk, hogy G és H izomorf csoportok.

Ha G=H, azaz \phi G-t önmagára képező izomorfizmus, akkor speciálisan azt mondjuk, hogy \phi a G csoport automorfizmusa. Tetszőleges G csoport automorfizmusai csoportot alkotnak a függvénykompozícióra mint műveletre nézve. Ennek a csoportnak a jele Aut(G), egységeleme az identikus leképezés.

Legyen \phi G-t H-ba képező homomorfizmus. Azoknak a g \in G elemeknek a halmazát, amelyekre \phi(g)=1, a \phi homomorfizmus magjának nevezzük és \ker \phi-vel jelöljük. \ker \phi elemei csoportot alkotnak, méghozzá \ker \phi normálosztó G-ben.

A G/\ker\phi faktorcsoport izomorf \phi(G)-vel. Ez az állítás homomorfizmus-tétel néven ismert.

Centrum, centralizátor[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen G tetszőleges csoport. Azoknak a g elemeknek a halmazát, amelyekre igaz az, hogy gx=xg minden x \in G-re, G centrumának nevezzük és (a német Zentrum szóból eredően, hagyományosan) Z(G)-vel jelöljük. Z(G) sohasem üres halmaz, mert 1 \in Z(G), Z(G) elemei csoportot alkotnak, mi több Z(G)\triangleleft G. G akkor és csak akkor kommutatív, ha G=Z(G).

Legyen a \in G. Azoknak az x \in G csoportelemeknek a halmazát, amelyekre igaz az, hogy ax=xa, a centralizátorának nevezzük és C(a)-val jelöljük. C(a) sohasem üres halmaz, mert 1 \in C(a), sőt C(a) csoport. C(a) az a – tartalmazást tekintve – legbővebb csoport, amelyben a még centrumelem; a \in Z(G)C(a)= G. Z(G) az összes elem centralizátorának a metszete.

Konjugálás, konjugáltosztályok, osztályegyenlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen (G,*) csoport. Egy a\in G csoportelemnek egy x\in G csoportelemmel vett konjugáltját az a^x=x^{-1}ax kifejezéssel definiáljuk.

Megjegyzések:

  • A fönti definícióval (ab)^x=a^x b^x, (a^x)^y=a^{xy}, e^x=e és a^e=a (e a G egységeleme, a,b,x,y\in G tetszőlegesek).
  • Egyes szerzők a konjugáltat az xax^{-1} kifejezéssel definiálják (akkor az előző megjegyzés 2. egyenlete helyett az (a^x)^y=a^{yx} teljesül), illetve az \tilde{a} jelölést is használják (amiből nem derül ki, hogy melyik elemmel konjugáltak).

Vezessük be G elemei között a \sim relációt a következőképpen: az a,b\in G csoportelemekre a\sim b \iff \exists x\in G : a^x=b. Könnyen belátható, hogy \sim\subseteq G\times G ekvivalenciareláció, tehát \sim szerint G diszjunkt elemosztályokra bontható, amelyeket konjugáltosztályoknak nevezünk. Két csoportelem pontosan akkor van ugyanabban a konjugáltosztályban, ha azok egymás konjugáltjaiként előállíthatók.

A konjugáltosztályok általában nem részcsoportok. Egy részcsoport éppen akkor normálosztó, ha előáll teljes konjugáltosztályok uniójaként. Speciálisan a csoport centruma épp az egyelemű konjugáltosztályok uniója.

Az a-t tartalmazó konjugáltosztály rendje megegyezik C(a) indexével. Ezért véges csoportban a konjugáltoszályok rendje osztója a csoport rendjének. Jelölje K_1, K_2,..., K_n a G csoport egynél több elemű konjugáltosztályait. Mivel a konjugáltosztályok G-nek partícióját alkotják, felírható az alábbi, osztályegyenletnek nevezett egyenlőség:

|G|=|Z(G)|+|K_1|+|K_2|+...+|K_n|

Itt jobb oldalon minden tag osztója G rendjének.

Megjegyzés. Az osztályegyenletből egyszerű számolással következik, hogy ha |G|=p^n, ahol p prím, akkor Z(G) nem egyelemű. Valóban, a K_i-k mind oszthatók p-vel, csakúgy mint |G|, ezért Z(G) is osztható p-vel.

Abel-csoportok. Bázis[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Abel-csoportnak a kommutatív csoportokat nevezzük. Ilyenek például az egy elem hatványaiból álló ciklikus csoportok. Ezekből direkt szorzással újabb Abel-csoportokat kapunk.

Ha Abel-csoportokról van szó, akkor az asszociatív műveletet sokszor összeadásnak hívják, és additív jelölést használnak.

További példák Abel-csoportokra:

Véges Abel-csoportok alaptétele (VAT)[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy véges Abel-csoport prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt szorzatával izomorf. A prímhatvány rendek és a tényezők multiplicitása egyértelműen meghatározottak.

Egyszerű csoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy csoport egyszerű, ha csak triviális normálosztója van (az egész csoport és az egységelemből álló csoport). Szokás szerint nem számítjuk az egyszerű csoportok közé a kommutatívakat, tehát az egyelemű, illetve prímrendű ciklikus csoportokat. A csoportelmélet egyik nevezetes problémája a véges egyszerű csoportok leírása, azzal a (kissé leegyszerűsített) meggondolással, hogy a véges csoportok amúgy is egyszerű csoportokból, csoportbővítéssel, állnak elő, ezért bármilyen probléma megoldható, ha megoldjuk véges egyszerű csoportokra és leírjuk a bővítéseken való viselkedését.

A véges egyszerű csoportok leírása a matematika leghosszabb bizonyítása, sokáig kb 10.000 oldal volt, de 1982-ben sikerült lerövidíteni a bizonyítást kb. 5000 oldalra. Sok matematikus dolgozott rajta sok évig, és ez a bizonyítás nem egy könyvben van leírva, hanem rengeteg egymásra hivatkozó cikk formájában matematikai folyóiratokban, amit lehetetlen teljes egészében áttekinteni, és többen kételkednek a „bizonyítás” bizonyítás voltában az olyan jellegű kereszthivatkozások miatt, hogy: „amennyiben igaz az A tétel, akkor abból következik, hogy…”.

Sylow-csoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen p prím. A P részcsoport p-Sylow-csoport, ha rendje p^h, ahol p^{h+1} nem osztója a G csoport rendjének.

A Sylow-csoportokról szólnak a Sylow-tételek.

I. Tétel - Legyen a G véges csoport rendje n=m*p^h, ahol p prím, h>=1, p nem osztója m-nek. Ekkor minden k<=h van G-nek p^k rendű részcsoportja, amit normálosztóként tartalmaz egy p^(k+1) rendű részcsoport.

Meg kell még említeni a Cauchy-tételt, amit egyes felépítésekben lemmaként használnak a tételhez, míg más felépítésekben következményként adódik.

Tétel - minden olyan p prímre, amely osztja a G csoport rendjét, van p rendű elem G-ben.

II. Tétel - Adott p prímre, amely osztója a G csoport rendjének, G összes P-Sylowja konjugált. Sőt, az összes p^k rendű részcsoport konjugált egymással, ahol 1<=k<=h

Következmény - G összes P-Sylowja izomorf

Következmény - a p-Sylowok száma osztója m-nek

III. Tétel - A p-Sylowok száma p-vel osztva 1-et ad maradékul.

Számos alkalmazásuk van, erős eszközt adnak.

Nilpotens csoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Normállánc[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy G csoport normálláncának azokat a G részcsoportjaiból alkotott sorozatokat nevezzük, ahol minden egyes tag normálosztója az előzőnek. G=N_0 \triangleright N_1 \triangleright N_2 \triangleright \dots \triangleright N_r=1.

Itt r akár 0 is lehet.

A normállánc faktorai az N_i/N_{i+1} faktorcsoportok. Két normállánc izomorf, ha faktoraik ugyanazok.

Az L_1 lánc az L finomítása, ha L összes elemét tatalmazza, és hosszabb.

A normállánc kompozíciólánc, ha tovább nem finomítható. Nem minden csoportnak van ilyen, de a végeseknek van.

Honnan ismerjük fel, hogy valóban kompozícióláncot kaptunk?

Állítás - Egy normállánc akkor és csak akkor kompozíciólánc, ha minden faktora egyszerű csoport.

Véges csoportokra van még a Jordan–Hölder-tétel a kompozícióláncokról

Tétel - Véges csoport bármely két kompozíciólánca izomorf.

Feloldható csoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A G csoporot feloldhatónak nevezzük ha van olyan normállánca;amelynek minden faktora Abel-csoport. Feloldható csoport minden részcsoportja és faktorcsoportja is feloldható. Legyen H G-nek normális részcsoportja. Ha G/H és H feloldható csoportok; akkor G is feloldható.

Példák:

  • Sn akkor és csak akkor felodható ha n<5.
  • Speciálisan, S4 negyedfokú szimmetrikus csoport feloldható.
  • Minden Abel-csoport feloldható.

Szabad csoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen X adott halmaz. Képezzük X elemeinek formális inverzét, ezek alkotják az X^-1 halmazt. Az X fölötti szabad csoport azokból a szavakból áll, amelyeket X és X^-1 elemeiből képezhetünk. Egyenlőnek tekintjük azokat a szavakat, amelyek xx^-1 és x^-1x alakú szavak beírásával és törlésével egymásba alakíthatók.

Állítás - ha két szó egymásba alakítható, akkor elég törölni az xx^-1 és x^-1x-eket.

A szabad csoport művelete a konkatenáció, vagyis a szavak egymás után írása. A csoport egységeleme az üres szó, amit sokszor 1 -gyel jelölnek. Egy szó inverzében ugyanazok a betűk szerepelnek, mint az adott szóban, csak megfordítva és invertálva. Belátható, hogy a csoportaxiómák teljesülnek.

Gráfreprezentáció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Permutációcsoport[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az S_n részcsoportjait valamilyen n pozitív egészre permutációcsoportoknak nevezzük.

Cayley tétele szerint minden véges csoport reprezentálható permutációcsoportként.

Reguláris reprezentáció: feleltessük meg h eleme G-nek a következő permutációt:


f_h = \begin{pmatrix} 1 & g_2 & g_3 & \ldots & g_{n-1} \\ h & hg_2 & hg_3 & \ldots & hg_n \end{pmatrix} . \ ,

ahol  1, g_2, g_3, \dots , g_n a G csoport összes eleme felsorolva.

Példák permutációcsoportokra: különféle alakzatok szimmetriái: sokszögek, kocka,…

Orbit és stabilizátor[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen most G permutációcsoport \Omega fölött.

\Omega egy x elemének orbitja, más néven pályája azokat az \Omega -beli elemeket tartalmazza, amelyekbe átvihető valamely g eleme G vel. x stabilizátora azokból a g eleme G -kből áll, amik x -et fixen hagyják. Ez részcsoport G-ben.

Tétel - Orbit-stabilizátor tétel: x orbitjának elemszáma egyenlő x stabilizátorának indexével G -ben. (Következésképpen az orbitok elemszáma osztja a csoport rendjét.)

A G csoport tranzitív, ha \Omega bármely két i,j eleméhez van g eleme G, ami átviszi i-t j -be. G n-szeresen tranzitív, ha bárhogy is írunk elő két n - est \Omega elemei közül, akkor van g eleme G, ami átviszi az első n -est a másodikba. Ha G tranzitív, akkor \Omega valamennyi eleme egyetlen orbithoz tartozik.

Példa - kocka szimmetriacsoportja

Legyen A a kocka egyik csúcsa. Átvihető a szomszédos csúcsokba forgatással vagy élsíkra tükrözéssel. Több lépésben akárhova. Orbitja az összes csúcs, ez 8 elem. Stabilizátorának rendjét 8-cal szorozva a kocka szimmetriacsoportjának rendjét kapjuk.

Hatás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen G csoport. G hat az X halmazon, ha teljesülnek a következők:

  • ha g elemeG, x eleme X, akkor gx eleme X,
  • gh*x=g*(h*x)
  • 1 egységeleme G-nek, 1*x=x

Példák

  • a G csoport hat önmagán balról vagy jobbról szorzással
  • a G csoport hat önmagán konjugálással
  • a kocka permutációcsoportja hat a kocka élein, lapjain

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
  • Fried Ervin: Algebra I.
  • Pelikán József: Algebra I.