Cayley-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Cayley-tétel a csoportelmélet egy jelentős eredménye, mely azt mondja ki, hogy minden G csoport izomorf a Sym(G) szimmetrikus csoport valamely részcsoportjával. A G csoport Sym(G) szimmetrikus csoportja nem más, mint a G halmaz önmagára vett összes bijekciójának (tehát permutációjának) csoportja a függvénykompozícióval mint művelettel ellátva.

Az összes G → Sym(G) csoporthomomorfizmus meghatároz egy G-hatást a G-n, de a tétel szerint van egy kitüntetett T: G → Sym(G) homomorfizmus, mely izomorfizmus és amit a csoport reguláris- vagy Cayley-reprezentációjának nevezünk.

A Cayley-tétel következménye, hogy minden tétel, ami permutációcsoportokra igaz, az csoportokra is igaz, mivel minden csoport ábrázolható permutációcsoportként. Az elnevezés Arthur Cayley nevét őrzi.

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Burnside[1] szerint a bizonyítás Jordan[2] érdeme, viszont Eric Nummela[3] úgy érvel, hogy bizony a Cayley-tétel megnevezés a helytálló. Cayley abban az 1854 évi cikkében, ahol az algebrai csoport fogalmát is bevezette [4] megmutatta a bijekció létezését, de nem bizonyította, hogy az homomorfizmus is. Nummela megjegyzi azonban, hogy Cayley ezt az eredményt közölte a kor matematikai közösségével, így megelőzte Jordant mintegy 16 évvel.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

(1) Tekintsük minden g ∈ G elemre az

lg: GG, lg(x) = gx (x ∈ G)

úgy nevezett g-vel történő baleltolást. Rögzített g-re lg bijekció (sőt, automorfizmus) G-n. Egyfelől injektív, ugyanis ha minden x,yG-re

lg(x) = lg(y)

azaz gx = gy, akkor g-1gx = g-1gy, tehát

x = y

Másrészt minden G-belit felvesz képként, ugyanis ha hG, akkor

lg(g-1h) = gg-1h= h.

(2) Belátjuk, hogy az összes baleltolásokat indexelő

T: G → Sym(G), T'(g)=lg, (gG)

leképezés injektív homomorfizmus (azaz monomorfizmus).

Egyrészt minden x,g,hG-re

(lg o lh)(x) = lg(lh(x)) = lg(hx) = ghx= lgh(x)

tehát

T'(g) o T'(h) = T'(gh)

azaz T művelettartó.

Másrészt minden g,hG-re, ha

T'(g) = T'(h)

azaz lg = lh, akkor az eG egységelemen is ugyanazt veszik föl, azaz

ge = he

azaz g = h.

(3) A T homomorfizmus képe részcsoport Sym(G)-ben, és T injektív, így a Im(T) izomorf G-vel és Im(G) a G csoportreprezentációja Sym(G)-ben.

Megjegyzések a reguláris reprezentációhoz[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A csoport egységeleme az identitás permutációnak felel meg. A csoport minden más eleme olyan permutációhoz tartozik, amely nem hagy egyetlen elemet sem helyben. Igaz ez olyan hatványokra is, amelyeknek a kitevője kisebb az alap rendjénél, ezért minden elemhez olyan permutáció tartozik, amely azonos hosszúságú körökből áll: ez a hossz az elem rendje. Egy-egy kör elemei az elem által generált részcsoport egy-egy bal kohalmazait alkotják.

Példák a reguláris reprezentációra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Z2 = {0,1} a modulo 2 összeadással; a 0 elem rendelődik az identitás permutációhoz, az 1 elem pedig az (12) permutációhoz.

Z3 = {0,1,2} a modulo 3 összeadással; a 0 elem rendelődik az identitás permutációhoz, az 1 elem az (123) permutációhoz, a 2 elem pedig az (132) permutációhoz. Például 1 + 1 = 2 megfelel a (123)(123)=(132) kifejezésnek a permutációcsoportban.

Z4 = {0,1,2,3} a modulo 4 összeadással; az elemek rendre az id, (1234), (13)(24), (1432) permutációknak felelnek meg.

A Klein-féle négyes csoport {e, a, b, c} elemeihez rendre az id, (12)(34), (13)(24) és (14)(23) permutációk tartoznak.

Az S3 (hatodrendű diédercsoport) egy háromelemű halmaz összes permutációjának a csoportja, de izomorf a 6 elem egy permutációcsoportjával is.

* e a b c d f permutation
e e a b c d f e
a a e d f b c (12)(35)(46)
b b f e d c a (13)(26)(45)
c c d f e a b (14)(25)(36)
d d c a b f e (156)(243)
f f b c a e d (165)(234)

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Burnside, William (1911.). „Theory of Groups of Finite Order”, Cambridge.  
  2. Jordan, Camille (1870.). „Traite des substitutions et des equations algebriques”, Paris, Kiadó: Gauther-Villars.  
  3. Nummela, Eric (1980.). „Cayley's Theorem for Topological Groups”. American Mathematical Monthly 87 (3), 202-203. o.  
  4. Cayley, Arthur (1854.). „On the theory of groups as depending on the symbolic equation θn=1”. Phil. Mag. 7 (4), 40-47. o.  

Ez a szócikk részben vagy egészben a Cayley theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.