Vektortér

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A vektortér, más néven lineáris tér a lineáris algebra egyik legalapvetőbb fogalma, amelyhez a geometriában (is) használt vektor fogalmának általánosítása vezet. A vektorokkal végezhető műveletek legelemibb tulajdonságait axiomatikusan definiálja, ezáltal egy algebrai struktúra-típus keletkezik. A lineáris tér a mi szokásos síkunk és terünk általánosítása többdimenziós terekre. Jelentősége nem csupán elméleti, a fizikában, informatikában, a komputergrafikában, számos más elméleti és alkalmazott tudományágban; nemkülönben a matematika számos területén fontos szerepet játszik.

Formális definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen F egy test. Egy V nemüres halmazt vektortérnek nevezünk az F test felett, ha

  • V halmazon értelmezve van egy összeadás nevű művelet, V × VV függvény, ∀ u, vV elempárhoz hozzárendel egy és csak egy V-beli elemet (u+v), valamint
  • F és V között értelmezve van egy skalárral való szorzás nevű művelet, F × VV függvény, ∀ λ ∈ F és vV elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy V-beli elemet (λv),

úgy, hogy az alábbi azonosságok, úgynevezett vektortér-axiómák teljesülnek:

  1. V az összeadásra nézve kommutatív csoportot, Abel-csoportot alkot, azaz az összeadás:
  2. Skalárral való szorzás disztributivitási szabályai:
    • ∀ λ ∈ F és u, vV: λ(u + v) = λu + λv.
    • ∀ λ, μ ∈ F és vV: (λ + μ)v = λv + μv.
    • ∀ λ, μ ∈ F és vV: λ(μv) = (λμ)v.
    • vV: 1v = v, ahol 1 az F test egységeleme.

Formálisan tehát úgy definiálhatjuk a vektortereket, figyelembe véve, hogy \mathbf{F} = \langle F,+,-,0,\cdot,1 \rangle egy test,
az F feletti vektortér egy algebrai struktúra, a következő formában

\mathbf{V} = \langle V,\oplus,-\!\!-,\mathbf{0},F,+,-,0,\cdot,1,\star \rangle

úgy, hogy

 \langle V,\oplus,-\!\!-,\mathbf{0}\rangle Abel-csoport,
 \star : F \times V \mapsto V skalárral való szorzás, melyre teljesülnek a fent említett disztributivitási szabályok.

Ekkor a V vektortér struktúráját a következőképpen is jelölhetjük

\langle V,\oplus,-\!\!-,\mathbf{0},\mathbf{F},\star \rangle

V elemeit vektoroknak, F elemeit skalároknak nevezzük.
Megkülönböztetünk úgynevezett speciális vektortereket is, amelyeken még egyfajta szorzás is értelmezett.
Ilyenek például a skaláris szorzattal ellátott euklideszi terek.

Elemi tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

V Abel-csoport[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • nullvektor és az additív inverz unicitása,
  • bármely u,v,w,tV: az u+x = v, és y+w = t egyenletek egyértelműen megoldhatók V-ben x és y-ra,
  • összeadás asszociativitása és kommutativitása miatt többtagú összegek esetén a zárójelezés és a tagok sorrendje is tetszőlegesen megváltoztatható.

További következmények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • bármely λ ∈ F: λ0 = 0,
  • bármely vV: 0v = 0, ahol 0 az F test nulleleme,
  • bármely vV: (-1)v = -v, ahol -1 az F test egységelemének additív inverze,
  • ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A lineáris tér egy nagyon általános fogalom, rengeteg példa van rá a matematikában. Nagyon sok olyan matematikai fejezetben is megjelenik, amit szerteágazóan alkalmaznak a fizika számos területén, például a funkcionálanalízis vagy éppen a differenciálgeometria, hogy csak néhányat említsünk.

  • a közönséges síkbeli és térbeli, origóból kiinduló vektorok a valós test felett a szokásos vektorösszeadásra és skalárral való szorzásra nézve,
  • a valós szám n-esek   \mathbb{R} felett, a komplex szám n-esek  \mathbb{C} felett, és
  • általában F n, F felett ( F tetszőleges test ), a szokásos módon értelmezett, komponensenként végzett műveletekre,
  • F n × k, F felett, azaz az n×k-as mátrixok F test felett, a mátrixok szokásos, komponensenkénti összeadására és skalárral való szorzására nézve.
  • F [x], azaz az F feletti polinomok, F felett, a polinomok összeadására és skalárral való szorzására nézve,
  • a legfeljebb n-edfokú polinomok F felett,
  • valós számsorozatok a valós test felett a szokásos műveletekre,
  • az  \left[a,b\right] intervallumon folytonos  \mathbb{R} -be képező függvények a valós test felett, a szokásos pontonkénti összeadásra, és skalárral való szorzásra nézve,
  • az  \left[a,b\right] intervallumon Riemann-integrálható  \mathbb{R} -be képező függvények a valós számok teste felett, a szokásos pontonkénti összeadásra, valamint a skalárral való szorzásra nézve,
  • a komplex számok a valós test felett, a komplex számok körében értelmezett műveletekre,
  • a komplex számok a komplex számok teste felett,
  • a valós számok a valós számok teste felett,
  • a valószínűségi változók a szokásos összeadásra és skalárral való szorzásra nézve.

Lineáris altér[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy F test feletti V vektortér egy nemüres WV részhalmazát altérnek nevezzük V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon F test felett ugyanazokra a V-beli vektorműveletekre, precízebben ezeknek a műveleteknek W-re történő megszorításaira nézve. Jelölése WV.

Lineáris kombináció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

V vektortér v1, v2, …, vk tetszőleges vektorai és λ1, λ2, …, λkF skalárok.
Ekkor a  \lambda_1\mathbf{v}_1 +\ldots + \lambda_k \mathbf{v}_k V vektort a vi vektorok, λi skalárokkal képzett lineáris kombinációjának nevezzük.

Lineáris függetlenség[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy V vektortér véges sok vektoráról akkor mondjuk, hogy lineárisan függetlenek, ha lineáris kombinációjuk csak úgy lehet a nullvektor, ha mindegyik skalár szükségképpen 0. Végtelen sok vektor lineáris függetlenségén azt értjük, hogy közülük bármely véges sok lineárisan független. A v1,…,vnV vektorok lineárisan összefüggőek, ha lineárisan nem függetlenek, tehát

\exists\ \lambda_1,\ldots, \lambda_n \in \mathbf{F}

nem mind nulla skalár, azaz közülük legalább egy nem nulla, hogy

\lambda_1\mathbf{v}_1 +\ldots +\lambda_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0}.

Bázis[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A bázis a lineáris algebrában egy olyan vektorhalmazt jelent, mely vektorainak lineáris kombinációi reprezentálják egy megadott vektortér valamennyi vektorát, valamint e vektorhalmaz semelyik eleme sem fejezhető ki a többi elem lineáris kombinációjával.
Tehát bázison lineárisan független generátorrendszert értünk.

Dimenzió[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy V vektortér dimenzióján egy bázisának elemszámát, számosságát értjük.
Ha a vektortérnek nincs véges generátorrendszere, akkor dimenziója végtelen. A 0 tér dimenziója: 0.

Vektorterek izomorfizmusa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két vektortér, V1 és V2 izomorf egymással, ha létezik egy kölcsönösen egyértelmű, injektív lineáris (homogén) leképezés V1-ből V2-re.
Azaz

 V_1 \cong V_2\ \Leftrightarrow\ \varphi: V_1 \rightarrow V_2\ lineáris leképezés bijektív.

A vektorterek halmazán az izomorfia meghatároz egy osztályozást. Ez az osztályozás a halmazt diszjunkt részhalamzok uniójára bontja fel. Két vektortér akkor és csak akkor kerül ugyanabba az osztályba, ha izomorf.
E reláció reflexív, szimmetrikus és tranzitív, vagyis az izomorfia ekvivalenciareláció.

Magtér, Képtér[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha  \varphi: V \rightarrow W tetszőleges lineáris leképezés, akkor a magtér és a képtér

\mathrm{Ker}\,\varphi=\{\,\mathbf{v}\in V\,|\,\varphi(\mathbf{v})=0\,\}
\mathrm{Im}\,\varphi=\{\mathbf{w} \in W\,|\,\exists\ \mathbf{v} \in V:\ \varphi(\mathbf{v})=\mathbf{w}\}

Megjegyzés: a magtér a V, a képtér a W vektortér altere.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Véges dimenziós vektorterek tulajdonságai

  • Egy  \varphi: V \rightarrow W lineáris leképezés akkor és csak akkor izomorfizmus, ha
 \mathrm{Ker}\,\varphi=\mathbf{0}\ \wedge\ \mathrm{Im}\,\varphi= W
  • Ha V vektortér F felett, valamint
\mathrm{dim}\,V=n,\ n\in\mathbb{N}^+ \Rightarrow V\cong\mathbf{F}^n
  • Ugyanazon F test feletti véges dimenziós vektorterekre fennáll:
V \cong W \Leftrightarrow \mathrm{dim}\,V=\mathrm{dim}\,W

Dimenziótétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A dimenziótétel azt állítja, hogy tetszőleges lineáris leképezés képterében illetve magterében lévő bármely lineáris független generátorrendszer összelemszáma a kiindulási vektortér dimenziójával egyenlő. Formálisan

V1 és V2, két tetszőleges, véges dimenziós vektortér ugyanazon F test felett, továbbá  \varphi\ tetszőleges lineáris leképezés V1-ből V2-be. Ekkor

\mathrm{dim\,Ker}\,\varphi+\mathrm{dim\,Im}\,\varphi=\mathrm{dim}\,V_1

Faktortér[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

V egy tetszőleges vektortér F felett, és U egy tetszőleges altere V-nek. A

[\mathbf{v}]=\mathbf{v}+U=\{\mathbf{v}+\mathbf{u}\,|\,\mathbf{u}\in\,U\}

halmazok, ahol v befutja az egész vektorteret, diszjunkt részhalmazok uniójára bontják V-t, ugyanis ha
 \mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2 \notin U akkor  [\mathbf{v}_1] és  [\mathbf{v}_2] diszjunkt, ha  \mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2 \in U akkor  [\mathbf{v}_1]=[\mathbf{v}_2].
Definiálunk két műveletet e halmazok körében

[\mathbf{v}_1]+[\mathbf{v}_2]=[\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2]
\alpha[\mathbf{v}_1]=[\alpha\mathbf{v}_1],\ \alpha \in \mathbf{F}

Az ily módon definiált műveletek egyértelműek, mivel

[\mathbf{v}]=[\mathbf{v}']\ \Leftrightarrow\ \mathbf{v}-\mathbf{v}'=(\mathbf{v}+\mathbf{w})-(\mathbf{v}'+\mathbf{w}) \in U\ \Leftrightarrow\ [\mathbf{v}+\mathbf{w}]=[\mathbf{v}'+\mathbf{w}],
\alpha[\mathbf{v}]=\alpha[\mathbf{v}']\ \Leftrightarrow\ \alpha(\mathbf{v}-\mathbf{v}')=\alpha\mathbf{v}-\alpha\mathbf{v}' \in U\ \Leftrightarrow\ [\alpha\mathbf{v}]=[\alpha\mathbf{v}']

Így egy vektorteret kaptunk, melyet a V vektortér U altere szerinti faktorterének nevezünk, vagy röviden a V/U\ faktortér, szokás V\ hányadosterének is nevezni.
A faktortér elemei a \ [\mathbf{v}],\,\mathbf{v} \in V vektorhalmazok, az additív egységelem a \ [\mathbf{0}]=U.

Homomorfizmus[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Algebrai megközelítés:

Legyenek G és L a szorzásra nézve csoportok. Az f:G→L leképezést homomorfizmusnak nevezzük, ha f(ab)=f(a)f(b) teljesül; azaz a leképezés művelettartó.

Legyen f a G csopornak az L csoportba képező homomorfizmusa. És jelölje Kerf:=(f(g)=1) Kerf-et a homomorfizmus magjának nevezzük.

Homomorfia tétele:

Legyen f:G→L a G csoportnak az L csoportba képező homomorfizmusa. És jelölje Kerf e homomorfizmus magját. Ekkor G/Kerf izomorf az L csoporttal.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Freud Róbert: Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, Bp., 2004.
  • Fried Ervin: Algebra I., Elemi és lineáris algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp., 2000.
  • Kuros, A. G.: Felsőbb algebra, Tankönyvkiadó, Bp., 1975.
  • Praszolov, V. V.: Lináris algebra, TypoTeX, Bp., 2005.

További irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Könyvek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Bronstejn – Szemengyajev – Musiol: Matematikai kézikönyv, TypoTeX, Bp., 2002.
  • Dancs I. – Puskás Cs.: Vektorterek, Aula Kiadó, Bp., 2003.
  • Sain Márton: Matematikatörténeti ABC, Tankönyvkiadó, Bp., 1978.
  • Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás, Bolyai-könyvek, Műszaki Könyvkiadó, Bp., 1998.
  • Surányi László: Algebra, testek, gyűrűk, polinomok, TypoTeX, Bp., 2004.
  • Szász Gábor: Matematika II., Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp., 2000.
  • Szendrei János: Algebra és számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp., 1996.

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]