Lineáris leképezés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Egy lineáris leképezés (vagy lineáris operátor) a matematikában, közelebbről a lineáris algebrában, egy azonos test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény (szakszóval, vektortér-homomorfizmus). Egy operátor bemenete tehát vektor, kimenete pedig szintén vektor, az úgy nevezett képvektor. Lineáris tehát egy ilyen vektorhoz vektort rendelő leképezés, ha

  • két vektor összegének képe a két vektor képének összege, és
  • egy vektor számszorosának képe a vektor képének ugyanezen számszorosa.

Leggyakrabban a valós, a komplex vagy a kvaternió test feletti operátorokról van szó.

A geometria szempontjából a térbeli lineáris leképezések olyan affin leképezések (például forgatás, nyújtás, merőleges affinitás), melyeknek van fixpontja. Algebrai szempontból a lineáris leképezés egy vektortér-homomorfizmus. A kategóriaelméletben a vektorterek kategóriájában az objektumok közti morfizmus. Az analízisben szintén vannak alkalmazásai, hiszen a Hilbert-terek közt ható függvények is lineáris operátorok.

Linearitás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha tehát V és U a T test feletti vektortér, akkor az \mbox{ }_\mathcal{A}: V \rightarrow U leképezést lineárisnak nevezzük, ha minden v1, v2V vektorra illetve λ ∈ T elemre és vV vektorra:

\mathcal{A}(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=\mathcal{A}(\mathbf{v}_1)+\mathcal{A}(\mathbf{v}_2) additivitás
\mathcal{A}(\lambda\mathbf{v})=\lambda\mathcal{A}(\mathbf{v}) homogenitás

Ez még úgy is megfogalmazható, hogy \mbox{ }_\mathcal{A} megtartja a lineáris kombinációt, azaz minden λ1, λ2, … , λn T-beli elemre és v1, v2, … , vnV vektorra:

\mathcal{A}(\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2+...+\lambda_n\mathbf{v}_n)=\lambda_1\mathcal{A}(\mathbf{v}_1)+\lambda_2\mathcal{A}(\mathbf{v}_2)+...+\lambda_n\mathcal{A}(\mathbf{v}_n)

Szokás az operátorokat írott betűvel jelölni, vagy kettővel aláhúzni, vagy cirkumflexet tenni fölé, vagy görög betűvel jelölni, vagy az argumentuma köré nem tenni zárójelet:

\mathcal{O}, \underline{\underline{\mathcal{A}}}, \widehat{\mathcal{B}}, \widehat{\underline{\underline{C}}},\varphi\,, \mathcal{A}\mathbf{v}

Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy \mbox{ }_\mathcal{A}: V \rightarrow U egy T feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az \mbox{ }_\mathcal{A} leképezés T-lineáris. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a C \rightarrow C, \mbox{ }_{z}\, \mapsto \mbox{ }_{\overline{z}}\, konjugálás ugyan R-lineáris, de nem C-lineáris.

A V \rightarrow T típusú lineáris leképezéseket (a térből az alaptestbe képező lineáris leképezéseket) lineáris funkcionáloknak nevezzük. Például a duális tér elemei lineáris funkcionálok.

Minden lineáris leképezés a 0 elemet a képtér 0 elemébe képezi. Ha \mbox{ }_\mathcal{A}: V \rightarrow U, akkor

\mathcal{A}\mathbf{0}_V=\mathbf{0}_U

Lineáris leképezések tere[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az azonos test feletti, V-ből U-ba képező lineáris leképezések vektorteret alkotnak a pontonként összeadással és skalárszorzással. Ezt a vektorteret általában

\mathrm{Hom}(V;U)\,-val vagy \mathrm{Lin}(V;U)\,-val jelölik.

A Hom rövidítés nyilván a vektortér homomorfizmusra utal.

A Hom(V;V) tér (V \rightarrow V vektortér automorfizmusok) ezen kívül egységelemes algebrát alkotnak, a kompozíció műveletével, mint szorzással.

A V \rightarrow V lineáris bijekciók invertálhatóak is. A kompozícióval, mint művelettel csoportot, a V-feletti lineáris csoportot, azaz \mbox{ }_{\mathrm{GL}(V)\,}-t alkotják.

Leképezések fajtái:

  • Monomorfizmus. V \rightarrow U injektív lineáris homomorfizmus.
  • Epimorfizmus. V \rightarrow U szűrjektív lineáris homomorfizmus.
  • Izomorfizmus. V \rightarrow U bijektív lineáris homomorfizmus.
  • Endomorfizmus. V \rightarrow V lineáris homomorfizmus.
  • Automorfizmus. V \rightarrow V bijektív lineáris homomorfizmus.

Koordináta reprezentáció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Előírhatósági tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha \mbox{ }_\mathcal{A} és \mbox{ }_\mathcal{B}  két V \rightarrow U véges dimenziós vektorterek között ható lineáris leképezés, (b1,b2,…,bn) bázis V-ben, és mindkét leképezés a bázis elemein ugyanazt veszik fel, azaz

\mathcal{A}(\mathbf{b}_1)=\mathcal{B}(\mathbf{b}_1),\;\mathcal{A}(\mathbf{b}_2)=\mathcal{B}(\mathbf{b}_2),\;...\;,\mathcal{A}(\mathbf{b}_n)=\mathcal{B}(\mathbf{b}_n)

akkor a két leképezés azonosan egyértelmű, azaz \mbox{ }_\mathcal{A} = \mbox{ }_\mathcal{B}.

Ez a lineáris leképezések előírhatósági tétele. Eszerint egy lineáris leképezést, ha n dimenziós térből képez véges térbe, a képtér n vektora egyértelműen meghatározza.

Leképezés mátrixa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a képtér m dimenziós, akkor ez összesen m \cdot n darab (szám)adat. Rögzített bázis (a kiindulási és az érkezési térben rögzített bázispár) esetén a lineáris leképezést egyértelműen meghatározza a koordinátamátrixa, melyen a következő m × n -es mátrixot értjük:

[\mathcal{A}]_{B,C} = \begin{bmatrix}
\begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_1 \\ \vert \\ \vert \end{matrix}& \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_2 \\ \vert \\ \vert \end{matrix} & ... & \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_n \\ \vert \\ \vert \end{matrix} 
\end{bmatrix}

ahol B = (b1,b2,…,bn) a V bázisa, C az U bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek \mbox{ }_\mathcal{A} általi képvektoraiból, mint oszlopvektorokból áll. Ha \mbox{ }_\mathcal{A} V \rightarrow V típusú, akkor csak \mbox{ }_{[\mathcal{A}]_B}-t szokás írni, ha pedig pusztán \mbox{ }_{[\mathcal{A}]}-t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a Tn vektortér (például Rn) sztenderd bázisáról van szó, azaz a

\mbox{ }_{\mbox{ }_{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\0\\1\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\dots\;,\begin{pmatrix}0\\0\\0\\ \vdots \\1 \end{pmatrix}}}

vektorrendszerről.

Ezzel a képvektorok koordinátáit a következő mátrixszorzással számíthatjuk ki:

[\mathcal{A}\mathbf{v}]_C=[\mathcal{A}]_{B,C}\cdot [\mathbf{v}]_B

Operátorműveletek és mátrixműveletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A lineáris leképezésekkel végezendő műveletek a mátrixaikkal is elvégezhetők.

[\mathcal{A}\circ\mathcal{B}]=[\mathcal{A}]\cdot [\mathcal{B}]
  • Invertálás. Injektív lineáris leképezés mátrixa reguláris, és fennáll:
[\mathcal{A}^{-1}]=[\mathcal{A}]^{-1}
  • Összeadás
[\mathcal{A}+\mathcal{B}]=[\mathcal{A}]+ [\mathcal{B}]
  • Skalárszoros
[\lambda\mathcal{A}]=\lambda\cdot[\mathcal{A}]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]