Skaláris szorzat

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A skaláris szorzat, más néven belső szorzat a lineáris algebrában egy vektortér két vektorához hozzárendelt skalár. Jelölése: a·b, ab, (a,b) vagy \langle {\mathbf a},{\mathbf b}\rangle . Műveletnek csak annyiban nem nevezhetjük, hogy elemekhez más típusú elemeket rendel.

Általában két értelmezés használatos, az egyik az euklideszi térben levő vektorokra, a másik általánosabb, bármely vektortérre vonatkozik.

Két geometriai vektor skaláris szorzatát megkapjuk, ha összeszorozzuk abszolútértéküket (hosszukat) és az általuk közbezárt szög koszinuszát.

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \;

Háromdimenziós vektorok esetén, ha a vektorok derékszögű koordinátáival számolunk, a következőképp kapjuk meg:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \;

Ez akárhány dimenzióra általánosítható.

Két vektor skaláris szorzatának előjelét meghatározza a közrezárt szögük. Ha ez hegyesszög, akkor a szorzat pozitív, ha tompaszög, akkor negatív. Ha két vektor merőleges egymásra, akkor skaláris szorzatuk 0. Az állítás megfordítható, ha a skalárszorzat nulla, akkor merőleges a két vektor (a zérusvektort minden vektorra merőlegesnek tekintjük).

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Tulajdonságai

A skalárszorzatra érvényesek a következő tulajdonságok, amelyek az általános értelemben vett skalárszorzatra is teljesülnek, pontosabban definiálják azt.

  • kommutatív: \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \;
  • bilineáris: \mathbf{a} \cdot (\lambda\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \lambda(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) +(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \;
  • pozitív definit: \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} \geq 0 , és \mathbf{a} \cdot \mathbf{a}= 0 akkor és csak akkor ha \mathbf{a}= \mathbf{0}

Geometriai vektorok esetén \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2 , azaz önmagával való skalárszorzat a vektor hosszának, másképpen normájának négyzetét adja meg.

[szerkesztés] Általánosítás

Általában bármely vektortér felett értelmezhetünk skalárszorzatot (belső szorzatot). Általános értelemben egy adott vektortér felett bármely kétváltozós leképezést belső szorzatnak nevezünk, ha a fenti tulajdonságokat teljesíti. Egy vektortér felett akár több különböző belső szorzat is definiálható. Ilyenkor inkább szokásos a < a,b > jelölés.

[szerkesztés] Példák

  • Az az \left[a,b\right] intervallumon folytonos \mathbb{R}-be képező, négyzetesen integrálható függvények terén értelmezett belső szorzat:

\langle f,g\rangle=\int\limits_a^b f(t) g(t) dt.

Komplex értékű függvények esetén az integrandus f(t)\overline{g(t)}-ra módosul.

  • Bármely lineáris térben értelmezhető egy adott A bázishoz tartozó skalárszorzat a következőképp. Ha két vektor x és y a bázisban felírható:

\mathbf{x}=x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2+ \dots + x_N \mathbf{a}_N

\mathbf{y}=y_1 \mathbf{a}_1 + y_2 \mathbf{a}_2+ \dots + y_N \mathbf{a}_N

akkor az ezen bázis által meghatározott skalárszorzat:

\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle_A = x_1 y_1 + x_2 y_2+ \dots +x_N y_N

[szerkesztés] Geometriai vonatkozások

Scalarproduct.gif

Az euklidészi geometriában szoros összefüggés áll fenn a skalárszorzat és a hosszak, valamint a szögek között. Egy a vektorra a•a a hosszának (abszolút értékének) négyzete, és ha b egy másik vektor, akkor

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \,

ahol |a| és |b| jelöli az a és b vektor hosszát, θ pedig az általuk bezárt szög.

Mivel |a|•cos(θ) a vektornak b-re való vetülete, a skalárszorzatot geometriailag úgy lehet értelmezni, mint a-nak b irányába eső komponensének és bnek a szorzatát.

Mivel cos 90° nullával egyenlő, két egymásra merőleges vektor szorzata mindig nulla. Ha a és b vektor hossza egységnyi (vagyis egységvektorok), skalárszorzatuk egyszerűen közbezárt szögük koszinuszát adja.

Így a két vektor közötti szög:

\theta = \arccos \left( \frac {\bold{a}\cdot\bold{b}} {|\bold{a}||\bold{b}|}\right).

A fenti tulajdonságokat időnként a skalárszorzat definíciójaként is használják, különösen 2 és 3 dimenziós vektorok esetében. Több dimenziós esetben a képletet a szög értelmezéseként lehet használni.

[szerkesztés] Lásd még

A lap eredeti címe: „http://hu.wikipedia.org/wiki/Skal%C3%A1ris_szorzat”