Skaláris szorzat

A skaláris szorzat, más néven belső szorzat a lineáris algebrában egy vektortér két vektorához hozzárendelt skalár. Jelölése: a·b, ab, (a,b) vagy $\langle {\mathbf a},{\mathbf b}\rangle$. Műveletnek csak annyiban nem nevezhetjük, hogy elemekhez más típusú elemeket rendel.

Általában két értelmezés használatos, az egyik az euklideszi térben levő vektorokra, a másik általánosabb, bármely vektortérre vonatkozik.

Két geometriai vektor skaláris szorzatát megkapjuk, ha összeszorozzuk abszolútértéküket (hosszukat) és az általuk közbezárt szög koszinuszát.

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \;$

Háromdimenziós vektorok esetén, ha a vektorok derékszögű koordinátáival számolunk, a következőképp kapjuk meg:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \;$

Ez akárhány dimenzióra általánosítható.

Két vektor skaláris szorzatának előjelét meghatározza a közrezárt szögük. Ha ez hegyesszög, akkor a szorzat pozitív, ha tompaszög, akkor negatív. Ha két vektor merőleges egymásra, akkor skaláris szorzatuk 0. Az állítás megfordítható, ha a skalárszorzat nulla, akkor merőleges a két vektor (a zérusvektort minden vektorra merőlegesnek tekintjük).

Definíció

Két tetszőleges a = [a₁, a₂, ... , a_n] és b = [b₁, b₂, ... , b_n] vektor skaláris szorzata alatt a következőt értjük:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$

ahol Σ az összegzést és n a vektortér dimenzióját jelöli.

2 dimenzióban, az [a,b] és [c,d] vektorok skaláris szorzata ac + bd. Hasonlóan 3 dimenzióban: az [a,b,c] és [d,e,f] skaláris szorzata ad + be + cf. Például két konkrét vektorral:

$[1, 3, -5] \cdot [4, -2, -1] = 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-5) \cdot (-1) = 4 - 6 + 5 = 3.$

A skaláris szorzás eredménye megkapható transzponálással és mátrixszorzással:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^\mathrm{T}\,\mathbf{b},$

ahol mindkét vektort oszlopvektorként értelmezzük és a^T jelöli a transzponáltját, más szóval sorvektorát.

Tulajdonságai

A skalárszorzatra érvényesek a következő tulajdonságok, amelyek az általános értelemben vett skalárszorzatra is teljesülnek, pontosabban definiálják azt.

• kommutatív: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \;$
• bilineáris: $\mathbf{a} \cdot (\lambda\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \lambda(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) +(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \;$
• pozitív definit: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} \geq 0$ , és $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}= 0$ akkor és csak akkor ha $\mathbf{a}= \mathbf{0}$

Geometriai vektorok esetén $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2$, azaz önmagával való skalárszorzat a vektor hosszának, másképpen normájának négyzetét adja meg.

Általánosítás

Általában bármely vektortér felett értelmezhetünk skalárszorzatot (belső szorzatot). Általános értelemben egy adott vektortér felett bármely kétváltozós leképezést belső szorzatnak nevezünk, ha a fenti tulajdonságokat teljesíti. Egy vektortér felett akár több különböző belső szorzat is definiálható. Ilyenkor inkább szokásos a $<a,b>$ jelölés.

Példák

• Az az $\left[a,b\right]$ intervallumon folytonos $\mathbb{R}$-be képező, négyzetesen integrálható függvények terén értelmezett belső szorzat:

$\langle f,g\rangle=\int\limits_a^b f(t) g(t) dt.$

Komplex értékű függvények esetén az integrandus $f(t)\overline{g(t)}$-ra módosul.

• Bármely lineáris térben értelmezhető egy adott A bázishoz tartozó skalárszorzat a következőképp. Ha két vektor x és y a bázisban felírható:

$\mathbf{x}=x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2+ \dots + x_N \mathbf{a}_N$

$\mathbf{y}=y_1 \mathbf{a}_1 + y_2 \mathbf{a}_2+ \dots + y_N \mathbf{a}_N$

akkor az ezen bázis által meghatározott skalárszorzat:

$\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle_A = x_1 y_1 + x_2 y_2+ \dots +x_N y_N$

Geometriai vonatkozások

A • B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) az A vetülete B-re.

Az euklidészi geometriában szoros összefüggés áll fenn a skalárszorzat és a hosszak, valamint a szögek között. Egy a vektorra a•a a hosszának (abszolút értékének) négyzete, és ha b egy másik vektor, akkor

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \,$

ahol |a| és |b| jelöli az a és b vektor hosszát, θ pedig az általuk bezárt szög.

Mivel |a|•cos(θ) a vektornak b-re való vetülete, a skalárszorzatot geometriailag úgy lehet értelmezni, mint a-nak b irányába eső komponensének és bnek a szorzatát.

Mivel cos 90° nullával egyenlő, két egymásra merőleges vektor szorzata mindig nulla. Ha a és b vektor hossza egységnyi (vagyis egységvektorok), skalárszorzatuk egyszerűen közbezárt szögük koszinuszát adja.

Így a két vektor közötti szög:

$\theta = \arccos \left( \frac {\bold{a}\cdot\bold{b}} {|\bold{a}||\bold{b}|}\right).$

A fenti tulajdonságokat időnként a skalárszorzat definíciójaként is használják, különösen 2 és 3 dimenziós vektorok esetében. Több dimenziós esetben a képletet a szög értelmezéseként lehet használni.

Geometriai vonatkozás bizonyítása

Vegyük Rⁿ tetszőleges elemét

$\mathbf{v} = v_1 \mathbf{\hat{e}}_1 + v_2 \mathbf{\hat{e}}_2 + ... + v_n \mathbf{\hat{e}}_n. \,$

A Pitagorasz-tétel egymást követő alkalmazásával |v|-re (a hosszra) a következőt kapjuk

$|\mathbf{v}|^2 = v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2. \,$

De ez ugyanaz, mint a

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2, \,$

ebből arra a következtetésre jutunk, hogy egy v vektor önmagával vett skaláris szorzata a vektor hosszának a négyzetét adja.

Lemma:

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{v}|^2. \,$

Most vegyünk két vektort az origóban: a-t és b-t, melyek θ szöget zárnak közre. Definiáljunk egy harmadik, c vektort

$\mathbf{c} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{a} - \mathbf{b}. \,$

ezzel alkottunk egy háromszöget a, b és c oldalakkal. A koszinusztételt felírva:

$|\mathbf{c}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta \,$

A Lemma alapján a hosszak négyzetének helyébe skaláris szorzást helyettesítve kapjuk, hogy

$\mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta. \,$                   (1)

De mivel c ≡ a − b, azt is tudjuk, hogy

$\mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \,$,

ami a disztributív tulajdonság miatt

$\mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} -2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}). \,$                     (2)

A két c • c egyenletet - (1) és (2) - egyenlővé téve

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} -2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta. \,$

Kivonunk mindkét oldalról "a • a + b • b"-t és osztunk "−2"-vel. Marad

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta. \,$

Q.E.D.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Dot product című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

További információk

• Interaktív Java szimuláció két vektor skaláris szorzatának geometriai jelentéséről. Szerző: Wolfgang Bauer
• Egyszerű Flash szimuláció két vektor skalárszorzatának kapcsolatáról a koszinuszos formulával. Szerző: David M. Harrison

Kapcsolódó szócikkek

• Vektoriális szorzat