Csoport

A matematikában az asszociatív, invertálható grupoidokat csoportoknak nevezzük. Részletesebben ez azt jelenti, hogy a csoport egy olyan struktúra, amelyben definiálva van egy kétváltozós, asszociatív, invertálható művelet.

Ha az adott műveletet $(G; + )$ módon jelöltük, akkor általában összeadásként, ha pedig $(G; \cdot )$ módon jelöltük, akkor általában szorzásként beszélünk róla (additív, ill. multiplikatív írásmód), de ez nem jelenti azt, hogy a számok összeadásáról vagy szorzásáról van szó, hiszen a definícióban ezt nem követeltük meg.

Ha egy csoportban a művelet kommutatív, akkor a csoportot kommutatív csoportnak (vagy más szóval Niels Henrik Abel matematikusról elnevezve Abel-csoportnak) nevezzük.

A matematikán, illetve az algebrán belül a csoportelmélet foglalkozik a csoportok vizsgálatával. A csoportelméletet széleskörűen alkalmazzák a matematikában, tudományokban, gépészetben/mérnöki tudományokban. A csoportelmélet fontos eszközt nyújt a szimmetria tanulmányozásához, hiszen bármilyen struktúra szimmetriái (a struktúrát önmagába vivő leképezései) csoportot alkotnak. A csoportok ily módon nagyon jól alkalmazható elvont fogalmak/absztrakciók a fizika olyan ágaiban, mint a relativitáselmélet, a kvantummechanika, illetve a kémiában, a számítógépes grafikában és más területeken.

A matematikában vizsgált több struktúra nyilvánvalóan csoport. Ezek közt vannak ismerős számkörök, mint az egész számok, a racionális számok, a valós számok és egy adott valós szám egész számszorosai az összeadással mint csoportművelettel, csakúgy mint a nem nulla racionálisok, vagy a nem nulla valós számok a szorzással mint csoportművelettel. Más fontos példák a nem-szinguláris (invertálható) mátrixok csoportja a mátrixszorzással és az invertálható függvények az összetétel (kompozíció) műveletével.

Definíció

Megjegyzés. a fő szócikk precíz és teljes; ezért itt egy „olvasmányosabb” megközelítés szerepel; a [3] forrásban minden itt (csak) említett bizonyítás szerepel.

A fő szócikkben található első definíció a legfontosabb; érdemes az ÁMEN betűszóval megjegyezni a három csoportaxiómát:

• a művelet asszociatív (A)
• minden elemnek létezik inverze, ami bal és jobb inverze is (M – mind invertálható)
• létezik egységelem, ami bal és jobb oldali egységelem is (E)

(nincs több axióma, azaz N; a főcikkben ezek az axiómák precízen le vannak írva)

A csoportaxiómákból következik, hogy egy csoportban minden elem inverze és az egységelem is egyértelműen meghatározott. Például az egész számok additív csoportjánál minden elemnek egy ellentettje van, például a +3-nak a -3, és csak a 0-t adva egy számhoz kapjuk vissza önmagát, tehát egy egységelem van. Ezek a az egész számoknál „megszokott” tulajdonságok minden csoportban teljesülnek.

Ha el akarjuk dönteni egy halmazról és egy műveletről, hogy azok vajon csoportot alkotnak-e, az axiómák használata nem mindig praktikus (trivális esetekben az). A definíciót lehet „gyengíteni”: kevesebb tulajdonság teljesülését követeljük meg, úgy, hogy ezekből még következzenek a csoportaxiómák. Tehát ezek az új feltételek nem lesznek „gyengébbek”, mert ugyanahhoz a csoportfogalomhoz vezetnek; viszont ellenőrizni könnyebb lesz (lehet) őket. (Precízen írva ezek csak „átfogalmazások”, mert a „gyengeség” így értve nem matematikai tulajdonság: az átlátásban segít itt ez a pongyolaság)

Például „gyengíthetjük” úgy a feltételeinket, hogy csak a bal oldali inverz és bal oldali egységelem létezését követeljük meg:

• $\forall{}g_1,g_2,g_3\in{}G$-re: $(g_1\cdot{}g_2)\cdot{}g_3=g_1\cdot(g_2\cdot{}g_3)$, azaz a grupoid művelete asszociatív,
• $(G,\cdot)$-ben létezik $e\in{}G$ úgy, hogy $\forall{}g\in{}G$-re: $e\cdot{}g=g$, azaz létezik balegységelem,
• $\forall{}g\in{}G$-re létezik $g_1\in{}G$ úgy, hogy $g_1\cdot{}g=e$.

Bebizonyítható, hogy ezekből a feltételekből is következnek a csoportaxiómák, tehát elég egyik oldalról vizsgálni a dolgokat. A fő szócikk tartalmaz egy fontos gyengítést (amiben x és y elemeket használ; ott még a kitüntetett elemeink (inverz, egységelem) fogalma sem szerepel!).

Tulajdonságok

• Csoportban az egységelem egyértelműen meghatározott, azaz pontosan egy egységelem létezik.
• Csoportban az inverz egyértelműen meghatározott, azaz a csoport minden elemének pontosan egy inverze van.

Csoport rendje

Ha a $(G,\cdot)$ csoport alaphalmaza véges, akkor véges csoportról beszélünk. Ebben az esetben $G$ elemszáma a csoport rendje, amit így jelölünk: $|G|$. A többi esetben is egyenlő a csoport rendje a csoport elemszámával (tehát például megszámlálhatóan végtelen rendű csoportról is beszélhetünk).

Példák

A csoportokra egyszerű példákat lehet látni például a középiskolában tanult számhalmazok és a kétváltozós műveletek között (például a $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ és a +,* műveletek), de vannak egyszerű geometriai csoportok is; például egy n oldalú (számozott csúcsú) szabályos sokszögnek a középpontja körül a 360/n fok egész számú többszöröseivel történő elforgatás műveletére csoportot alkot. Az n. komplex egységgyökök is csoportot alkotnak a szorzásra nézve (ez azért szép, mert ha a komplex számokat ábrázoló vektorokat nézzük, akkor a De Moivre azonosság alapján egy komplex számmal való szorzás egy elforgatásnak és egy nyújtásnak felel meg az ábrázolásban; egy egységgyökkel való szorzás nyújtást nem végez (mert 1 hosszú), így mindig csak elforgatunk; tehát ez „izomorfia erejéig” ugyanaz a csoport, mint az n oldalú sokszöget forgató!). Részletesebben lásd a példák között.

A csoportoknak kiterjedt alkalmazásai vannak a matematikában, a tudományban és a mérnöki gyakorlatban is.

További példák csoportokra

• $G=(\mathbb{Z}, +)$ (kommutatív).
• $G=(\mathbb{Q} \setminus \{0\}, \cdot )$ (kommutatív).
• egy adott geometriai alakzatot önmagába vivő leképezések (tükrözések, elforgatások, eltolások, illetve ezek kombinációi) halmazán ezen leképezések szorzása

(megjegyzés: két leképezés definíció szerint megegyezik, ha ugyanazt a pontot ugyanarra a pontra képezik le; ez a csoport nem kommutatív).

Ellenpéldák

• $G=(\mathbb{Z}, -)$ (kommutatív):

csak jobb oldali egységelem létezik ($a-0=a$, de $0-a\ne a$), ráadásul a kivonás nem asszociatív.

• a 0 determinánsú 2x2-es mátrixok és a 2x2-es egységmátrix halmazán a mátrixszorzás:

asszociatív, létezik egységelem, de csak az egységelemnek van inverze.

Lásd még

• Gyűrű
• Test

Hivatkozások

• [1] Rédei, László: Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
• [2] Szendrei, Ágnes: Diszkrét matematika Logika, algebra, kombinatorika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged, 1994
• [3] Katona Y. Gyula – Recski András – Szabó Csaba: A számítástudomány alapjai, TypoTEX Kiadó, 2003.