Grupoid

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az algebrában grupoid [1] [m 1] – más néven magma[m 2] – alatt egy olyan egyműveletes algebrai struktúrát értünk, amelyben az egyetlen definiált művelet egy kétváltozós művelet.

A grupoid a lehető legáltalánosabb és legegyszerűbb algebraistruktúra-típus, amely még nem teljesen üres, jelentősége ebben nagyjából ki is merül.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Formálisan a grupoid egy  G = \left( U , * \right) pár, ahol  U tetszőleges halmaz,  * : U \times U \mapsto U pedig egy kétváltozós művelet.

Általában az  *(a,b) \in U elemet infix jelölésmóddal,  a*b módon jelöljük.

A  * műveletet sokszor  + vagy  \times szimbólummal jelöljük, az első jelölésmódot különösen akkor alkalmazzuk, ha a művelet kommutatív (tetszőleges  x,y \in U elemekre  x*y = y*x ), a másodikat pedig, ha asszociatív ( tetszőleges  x,y,z \in U elemekre  (x*y)*z = x*(y*z) ).

  • Az első esetben a grupoid összeadó vagy additív írásmódjáról beszélünk, és a műveletet összeadásnak nevezzük,
  • a második esetben a grupoid szorzó vagy multiplikatív írásmódjáról, és a művelet neve szorzás.

Az (U, *) grupoid U tartóhalmazának vagy univerzumának számosságát (elemeinek számát) a grupoid rendjének nevezzük. Kiszámolható, hogy véges, n-edrendű grupoid (az izomorf példányokat egynek számítva) pontosan  n^{n^{2}} db. van.

Speciális grupoidok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fontosabb típusok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A grupoid fogalmának önmagában nem sok értelme van (külön róluk szóló jelentős cikkek, kutatási irányok stb. nem igazán lelhetőek fel). Különféle, kevésbé általános alesetei azonban nagyon fontosak:

Speciális, kitüntetett elemekkel bíró grupoidféleségek:

  • neutrális elemes vagy unitér grupoidban van egy neutrális elem, azaz olyan U-beli n elem, melyre tetszőleges U-beli x esetén x*n = n*x = x. Belátható, hogy legfeljebb egy neutrális elem létezik egy grupoidban, ezt összeadó írásmód esetén nullelemnek, szorzó írásmód esetén egységelemnek nevezzük;
  • zéruselemes grupoidban van egy zéruselem, azaz olyan U-beli z elem, melyre tetszőleges U-beli x esetén x*z = z*x = z. Belátható, hogy legfeljebb egy zéruselem létezik egy grupoidban.

Azonosságokkal definiált grupoidosztályok:

  • idempotens, ha tetszőleges U-beli x elemre x*x = x;
  • kommutatív egy grupoid, ha * kommutatív művelet, azaz tetszőleges U-beli x, y elemekre x*y = y*x;
  • asszociatív egy grupoid, ha * asszociatív művelet, azaz tetszőleges U-beli x, y, z elemekre (x*y)*z = x*(y*z); az asszociatív grupoidokat félcsoportnak szokás nevezni.
  • monoidnak a neutrális elemes asszociatív grupoidokat, azaz a neutrális elemes félcsoportokat nevezzük.
  • reguláris grupoid vagy egyszerűsíthető grupoid: tetszőleges U-beli x, y, z elemekre x*y = x*z esetén x zéruselem vagy y = z (balregularitás); és x*y = z*y esetén y zéruselem vagy x = z (jobbregularitás).
  • invertálható a grupoid – más néven kvázicsoport – ha tetszőleges U\{0}-beli x, y elemekre (0 a zéruselem, ha van) az ?*x = y és az x*? = y egyenleteknek (? az „ismeretlen”) is van egy és csak egy megoldásuk, azaz egyértelműen vannak olyan a, b U-beli elemek, hogy a*x = y és x*b = y teljesüljön. Megjegyzés: fel szoktuk tenni még azt is, hogy U nem üres.
  • hurok: a neutrális elemes kvázicsoportokat nevezzük így – azaz olyan grupoidokat, melyek egyszerre monoidok és kvázicsoportok. Ha egy kvázicsoport asszociatív (azaz félcsoport is, tehát csoport is), akkor automatikusan neutrális elemes.
  • Csoporton olyan grupoidot értünk, mely egyszerre monoid, félcsoport és kvázicsoport; azaz a * műveletre nézve van neutrális elem, továbbá a művelet asszociatív és invertálható. Be lehet látni (ld. a példákat), hogy elegendő csak azt megkövetelni, hogy fél- és kvázicsoport legyen (azaz * asszociativitását és invertálhatóságát), mert az invertálhatóságból és az asszociativitásból együtt a neutrális elem léte következik.
  • Megjegyzések:
    • Egy kommutatív grupoid nem szükségszerűen asszociatív, például a nemnegatív számok  \mathbb{R}_{0}^{+} halmaza a számtani közép képzésének műveletére ( a*b := \frac{a+b}{2} ) kommutatív (  \frac{a+b}{2} = \frac{b+a}{2} ), de nem asszociatív (  (1*2)*3 = \frac { \frac{1+2}{2}+3 }{2} = \frac{9}{4} \ne \frac{7}{4} = \frac{1+ \frac{2+3}{2} } {2} = 1*(2*3) ).
    • Fordítva, egy asszociatív grupoid sem mindig kommutatív, például az összes  f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} valós-valós függvény a kompozíció műveletével egy asszociatív grupoid (a függvénykompozíció mindig asszociatív, bármilyen halmaz felett), de az  f: x \mapsto 2x és  g: x \mapsto x^{2} függvények (a kétszerezés és a négyzetre emelés) nem cserélhetőek fel (fg[x] = g(f(x)) = (2x)(2x) = 4x2, de gf[x] = f(g(x)) = 2(xx) = 2x2, azaz  fg[x] \ne gf[x] ).
    • Egy invertálható grupoid, azaz egy kvázicsoport mindig reguláris. Biztosan balreguláris: ha ab=ac=d, akkor d=ab és d=ac. Az invertálhatóság miatt ekkor a d=a*? egyenlet két b,c megoldása egyenlő (hiszen egyértelműen kell hogy létezzenek a megoldások), azaz b=c. Hasonlóan belátható, hogy * jobbreguláris; összességében tehát reguláris.
    • Fordítva azonban nem igaz:  \left( \mathbb{N} , + \right) reguláris grupoid ugyan (a+z = b+z esetén a = b); de nem invertálható (az a+x = b egyenletnek ugyanis nem mindig van megoldása, csak ha ab – pontosan ez a ≤ reláció definíciója).

Továbbiak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • balról neutrális elemes grupoid: van olyan bU, hogy b*x = x (bármely xU-ra);
  • jobbról neutrális elemes grupoid: van olyan jU, hogy x*j = x (bármely xU-ra)

Egy grupoid akkor és csak akkor neutrális elemes, ha balról is és jobbról is az (nyilvánvaló, hogy ha van neutrális elem, akkor az bal- és jobbneutrális egyszerre, fordítva pedig ha van bal- és jobbneutrális elem, könnyű belátni, hogy egyenlőek, így neutrálisak is – ld. még itt).

  • balról reguláris (vagy balról egyszerűsíthető) egy grupoid, ha * balról reguláris (-egyszerűsíthető) művelet, azaz tetszőleges U-beli x,y,z elemekre x*y = x*z esetén x zéruselem vagy y = z;
  • jobbról reguláris (vagy jobbról egyszerűsíthető) egy grupoid, ha * jobbról reguláris ( -egyszerűsíthető) művelet, azaz tetszőleges U-beli x,y,z elemekre x*y = z*y esetén y zéruselem vagy x = z (jobbregularitás).

Természetesen a grupoid akkor és csak akkor reguláris, ha balról és jobbról is reguláris.

  • unipotens grupoid: érvényes x*x = y*y tetszőleges x,'y U -ra;
  • zérópotens grupoid: érvényes (x*x)*y = x*(y*y) = x*x;
  • mediális gruipoid: érvényes (x*y)*(u*z) = (x*u)*(y*z) tetszőleges x,'y,'u,'z U-beli elemekre;
  • balról szemimediális grupoid: érvényes az (x*x) * (y*z) = (x*y) * (x*z) azonosság;
  • jobbról szemimediális grupoid: érvényes az (y*z) * (x*x) = (y*x) * (z*x) azonosság,
  • szemimediális grupoid: balról és jobbról is szemimediális;
  • balról öndisztributív: érvényes az (x)*(y*z) = (x*y) * (x*z) azonosság,
  • jobbról öndisztributív: érvényes az (y*z)*x = (y*x)*(z*x),
  • auto- (ön-) disztributív grupoid: balról és jobbról is disztributív.
  • alternatív grupoid: érvényesek az (x*x) * y = x * (x*y) és az x * (y*y) = (x*y) * y azonosságok,
  • Steiner-kvázicsoport: Idempotens, kommutatív grupoid az x(xy)=y azonossággal [2].

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mivel gyakorlatilag bármilyen algebrai struktúra egyben grupoid is, példákat hozunk az egyes speciális grupoidokra:

Idempotens grupoidok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Az egész számok  \mathbb{Z} halmaza vagy a nemnulla egész számok halmaza a legnagyobb közös osztó, vagy akár a legkisebb közös többszörös műveletével (ez tehát négy grupoid);
  • egy U halmaz hatványhalmaza az unió, ill. a metszet műveletével;
  • … ellenpélda, ha mondjuk a szimmetrikus differencia  A \Delta B := (A-B) \cup (B-A) műveletét vesszük (amely nem idempotens); mellesleg ez a grupoid unipotens, ha  X,Y \subseteq U , akkor  X \Delta X = Y \Delta Y ( = \empty ) ;

Neutrális elemes és zéruselemes grupoidok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Az egész számok a legnagyobb közös osztó műveletével, neutrális elem a 0, zéruselem az 1.
  • Az egész számok a legkisebb közös többszörös műveletével, neutrális elem az 1, zéruselem a 0.
  • egy U halmaz hatványhalmaza az unió műveletével, a neutrális elem az  \empty üres halmaz; a zéruselem maga az U;
  • egy U halmaz hatványhalmaza a metszet műveletével, a neutrális elem maga az U; a zéruselem az üres halmaz;
  • Egy U halmaz hatványhalmaza a szimmetrikus differencia műveletével, neutrális elem az  \empty üres halmaz; zéruselem viszont általában nincs ;
  • neutrális elemes grupoid továbbá a valós számok  \mathbb{R} halmaza az összeadás műveletével, a neutrális elem a nulla, zéruselem nincs; ez már nem idempotens;
  • … továbbá szintén  \mathbb{R} a szorzás műveletével, a neutrális elem ekkor az 1; zéruselem a 0; ez sem idempotens.

Lásd még a neutrális elem és zéruselem cikkeket.

Kommutatív grupoidok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • egy U halmaz hatványhalmaza akár az unió, akár a metszet, akár a szimmetrikus differencia műveletével;
  • Az egész számok  \mathbb{Z} halmaza a legnagyobb közös osztó, vagy akár a legkisebb közös többszörös műveletével;
  •  \mathbb{R} az összeadás vagy a szorzás műveletével,
  • A legfontosabb ellenpéldák: Egy adott A halmazt önmagára leképező függvények halmaza a függvénykompozíció (összetettfüggvény-képzés) műveletével; amely nem kommutatív (de asszociatív), vagy egy halmaz hatványhalmaza a különbségképzés műveletével, vagy a valós számok halmaza a kivonás műveletével; valamely test feletti n×n-es mátrixok halmaza a mátrixszorzás műveletével.

Asszociatív grupoidok (félcsoportok) és monoidok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • egy U halmaz hatványhalmaza akár az unió, akár a metszet, akár a szimmetrikus differencia műveletével; mindegyik kommutatív, idempotens és neutrális elemes; azaz mind monoid is;
  • Az egész számok  \mathbb{Z} halmaza a legnagyobb közös osztó, vagy akár a legkisebb közös többszörös műveletével;
  •  \mathbb{R} az összeadás vagy a szorzás műveletével,
  • Egy adott A halmazt önmagára leképező függvények halmaza a függvénykompozíció (összetettfüggvény-képzés) műveletével; ez asszociatív és neutrális elemes, de nem kommutatív grupoid;
  • valamely test feletti n×n-es mátrixok halmaza a mátrixszorzás műveletével, amely zéruselemes és neutrális elemes félcsoport (zéruselemes monoid);
  • A neutrális elem szócikk 10. példája olyan (G, *b) és (G, *j) grupoidokra ad példát, melyek könnyen beláthatóan asszociatívak, de nem neutrális elemesek. Például a ×=*b műveletre nézve minden elem valódi bal oldali neutrális elem (bal oldali neutrális, de nem kétoldali neutrális), ezért neutrális elem nincs, tehát × nem monoid-művelet, de asszociatív, ugyanis (x×y)×z = y×z = z, és x×(y×z) = x×z=z, tehát az asszociativitás érvényes.
  • Sokkal fontosabb ellenpélda nem-neutrális elemes félcsoportra: legyen a tartóhalmaz a pozitív valós számok  R^{+} halmaza, a művelet pedig a következő: xy = max{x, y}. Ez asszociatív művelet, de sem bal oldali, sem jobb oldali neutrális eleme nincs (ugyanis ez azt jelentené, hogy lenne egy pozitív szám, amely az összes többinél kisebb, illetve egy, amelyik nagyobb).
  • További példákat a félcsoportokról szóló cikkben lehet találni; a legfontosabb ellenpéldák pedig: az egész számok halmaza a kivonással, ez nem idempotens (ámde unipotens), jobb oldali neutrális elemes, de nem neutrális elemes, nem zéruselemes, nem kommutatív és nem asszociatív kvázicsoport.

Reguláris és invertálható grupoidok, hurkok és csoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • az  \left( \mathbb{N} , + \right) neutrális elemes kommutatív asszociatív grupoid (kommutatív félcsoport) reguláris, de nem invertálható.
  • Egy A halmazt önmagára képező szürjektív függvények (a halmaz minden eleme előáll bármelyik függvény valamely helyen felvett értékeként, azaz bármelyik f függvényre R(f)=A ) neutrális elemes, általában nem kommutatív (de asszociatív) félcsoportot alkotnak. Ez a grupoid beláthatóan reguláris, noha általában nem invertálható.
  • Egy halmazt önmagára képező kölcsönösen egyértelmű, bijektív függvények (permutációk) halmaza a függvénykompozícióval invertálható (tehát reguláris) grupoid az identitás függvénnyel mint neutrális elemmel – tehát hurok. Mivel a kompozíció művelete asszociatív is, ezért csoport is. Ez egy nem-kommutatív csoport.
  •  \left( \mathbb{R} , + \right) kommutatív csoport (Abel-csoport);
  •  \left( \mathbb{R} - {0} , \cdot \right) a valós számok szorzásával kommutatív csoport;
  • További példák a kvázicsoport, a hurok és a csoport cikkben találhatóak: ellenpéldák egy halmaz hatványhalmaza az unió, a metszet halmazműveletekkel;

Kapcsolódó fogalmak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Részgrupoid[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen adott két (A,*) és (B,×) grupoid. Ha  A \subseteq B , és a * művelet a × művelet leszűkítése A-ra (* = ×|A), akkor az első grupoidot a második részgrupoidjának nevezzük. Azt is mondhatjuk, a részgrupoidot a grupouid egy olyan részhalmazán lehet értelmezni, mely szintén grupoid a nagyobb grupoidon értelmezett művelettel ellátva.

Homomorfia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két (A,*) és (B,×) grupoid homomorf, ha létezik köztük egy művelettartó leképezés, azaz olyan f:A→B függvény, melyre érvényes tetszőleges a,b ∈ A -ra f(a*b) = f(a)×f(b). Ez esetben a grupoidokat homomorfnak, magát a függvényt homomorfizmusnak nevezzük. A homomorfia egy előrendezési reláció grupoidok egy tetszőleges halmaza felett. Ugyanakkor általában nem szimmetrikus (így nem ekvivalenciareláció) és nem is antiszimmetrikus (így nem rendezési reláció).

Néhány példa homomorf grupoidpárokra:

  •  \left( \mathbb{Z} , + \right) -nak  \left( \mathbb{Z} , + \right) -ba, önmagába való homomorfizmusa bármely  m \in \mathbb{N} ^{+} esetén az  f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{N} ; f(n)= a \ mod \ m függvény (azaz amely egy számhoz az m számmal való osztási maradékát rendeli), hiszen f(a+b)= (a+b) mod m = (a mod m + b mod m) = f(a)+f(b) érvényes, két szám adott m-mel való osztási maradéka a számok maradékainak összege.
  •  \left( \mathbb{R} , + \right) és  \left( \mathbb{R} ^{+} _{0} , \cdot \right) , sőt köztük végtelen sok homomorfizmus található, minden  a \in \mathbb{R} ^{+} - {1} -re ugyanis a  x \mapsto log _{a} (x) logaritmusfüggvény homomorfizmus.
  •  \left( \mathbb{C} , \cdot \right) és  \left( \mathbb{R} ^{+} _{0} , \cdot \right) is homomorfak; például a komplex szám abszolút értékének képzése egy homomorfizmus, hisz  \left| z_{1} \cdot z_{2} \right| = \left| z_{1} \right| \cdot \left| z_{2} \right|
  • Legyen mindkét grupoid univerzuma egy A halmaz P(A) hatványhalmaza, és az egyikben a művelet a metszet, a másikban az egyesítés. Ez a két grupoid is homomorf. A homomorfizmus a komplementerképzés művelete (a DeMorgan-törvény biztosítja, hogy ez valóban homomorfizmus).

Izomorfia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két homomorf grupoid izomorf, ha van bijektív homomorfizmusuk, azaz izomorfizmusuk. A grupoidok izomorfiája szemléletesen azt jelenti, hogy tulajdonképpen (bár nem szó szerint) „ugyanarról” a grupoidról van szó, csak másféleképp jelöltük az elemeket. Az izomorfia ekvivalenciareláció grupoidok tetszőleges halmaza felett.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Megjegyzések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. A grupoidokat egyes szerzők néha monoidoknak is nevezték, újabban azonban ezt a megnevezést inkább csak az úgynevezett egységelemes asszociatív grupoidra alkalmazzák.
  2. A bourbakisták a „magma” terminust vezették be eredetileg a grupoidokra. A „grupoid” név talán az angol „group-oid”, azaz „csoport-szerű” kifejezésből ered, és valószínűleg arra utal, hogy a grupoidok „olyanok, mint a csoportok (csak jóval kevesebbet tudnak)”. A csoport nevű matematikai struktúra valóban a grupoid egy specializációja. Egyébként a grupoid nem csak a csoportok, hanem az összes egyműveletes struktúra primitív „prototípusát” is jelenti, de az egyműveletes struktúrák közül a csoport a legfontosabb és – úgy látszik – „legmagasabbrendűnek” tartott (és ezt fedezték fel elsőként az ilyen struktúrák között): a többi fontos egyműveletes struktúra (félcsoport, kvázicsoport) is a csoportról lett elkeresztelve.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Maurer Gyula, Virág Imre: Bevezetés a struktúrák elméletébe. Dacia könyvkiadó (Ko1ozsvár, 1976).
  2. Burris, S. - Sankappanavar, H. P.: Bevezetés az univ. algebrába. Tankönyvkiad., Bp., 1988. ISBN 963-18-0673-1 .
  • Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]