Abszolútérték-függvény

Az abszolútérték-függvény grafikonja

Az abszolútérték-függvény egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden valós számhoz az abszolút értékét rendeli, azaz önmagát, ha a szám nemnegatív, és az ellentettjét, ha a szám negatív.

Egy x szám abszolút értékét így jelölik:

$|x|\,$.

Magát az abszolútérték-függvényt, vagyis az

$x \mapsto |x|\,$

hozzárendelést vagy sehogy se jelölik, vagy az abs szimbólummal, esetleg az analízisben használatos $\scriptstyle{|\,.\,|}$ jelöléssel, ahol a pont a változó helyét jelöli.

Ekvivalens definíciók

Az abszolútérték-függvény tehát nem más, mint az

$\mathrm{abs}(x): \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};\;\;x\mapsto |x|$

függvény. Tekintve, hogy az abszolút értéknek sokféle ekvivalens megfogalmazása van, az abszolútértéket-függvényt is több alakban adhatjuk meg. Tetszőleges x valós szám esetén:

$\mathrm{abs}(x) \ = \ |x| \ = \ \begin{cases} \ x, & \mbox{ha }x \ge 0, \\ -x, & \mbox{ha }x<0 \end{cases}$ $\mathrm{abs}(x) \ = \ |x| \ = \ x\cdot \sgn (x)$ $\mathrm{abs}(x) \ = \ |x| \ = \ \max\{x,-x\}\,$

ahol sgn(x) az ún. szignumfüggvény vagy előjelfüggvény, max pedig a mellette álló rendezetlen párból választja ki a nem kisebbet.

Ezen definíciók teljességgel ekvivalensek.

Analitikus tulajdonságok

Nemnegativitás

A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga. Tehát minden x valós számra

$|\,|x|\,| = |x|$

Ugyanis a nemnegatív számokon identikus, azaz értéke a független változó (argumentum) értékével egyenlő, míg a negatív számokon a független változó értékének ellentettjét, azaz nemnegatív számot vesz föl.

Szubadditivitás

Rendkívül fontos mind a matematikai, mind a fizikai alkalmazások számára az a tulajdonsága, hogy szubadditív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:

$|x+y| \leq |x|+|y|$

amely kijelentés lényegében a valós számokra vonatkozó háromszög-egyenlőtlenség.

Folytonosság

Az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos, tehát az R-en folytonos függvények C(-∞, +∞) osztályába tartozik.

Derivált

R\{0}-en differenciálható és a deriváltja a szignumfüggvény. A 0-ban nem deriválható, ott töréspontja van (balról deriválva -1-et, jobbról deriválva 1-et kapunk, holott a deriválhatóság feltétele, hogy a jobb és bal oldali derivált megegyezzen).

$\mathrm{abs}'(x)=\mathrm{sgn}(x)\quad\quad x\ne 0$

Definíciója első alakjából és a szignumfüggvény megfelelő definíciójával összehasonlítva, következik; ha x<0, akkor |x| = -x, ezen a tartományon deriválva -1 adódik, ami épp a szignumfüggvény értéke. Hasonlóan ha x>0, akkor |x| = x, tehát deriváltja 1; szintén a szignumfüggvény értékével egyezik.

Algebrai tulajdonságok

Multiplikativitás

„Erős” értelemben multiplikatív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:

$|x\cdot y|=|x||y|\,$

Iteráció-invariancia

Nemnegativitásából következően az iteráció (önmagára alkalmazás) műveletére nézve fixpontként viselkedik a függvény, azaz bármely pozitív (n-ed) rendű iteráltja önmaga:

$\underset{n\;\mathrm{db}}{\underbrace{|\,|...|}}x\underset{n\;\mathrm{db}}{\underbrace{|...|\,|}}=|x|\,$

vagy az analízis formalizmusában

$\underset{n\;\mathrm{db}}{\underbrace{\mathrm{abs}\circ\mathrm{abs}\circ ...\circ\mathrm{abs}}}=\mathrm{abs}\,$

Általánosítás

Komplex számok, kvaterniók sőt, bizonyos más algebrák esetén is értelmezik az abszolút érték fogalmát. Ha z = a + b i komplex szám, akkor abszolút értéke a

$|z |= \sqrt{a^2+b^2}\,$

valós szám, mely lényegében a komplex számot reprezentáló síkvektor hossza.

Általában egy algebrában az abszolútérték olyan norma, mely teljesíti a fent említett erős multiplikatív tulajdonságot.

Lásd még

• szignumfüggvény
• norma (matematika)

Hivatkozások

• Absolute value in Mathworld