Félcsoport

A matematikában az asszociatív grupoidokat félcsoportoknak nevezzük. Részletesebben ez azt jelenti, hogy a félcsoport egy olyan egyműveletes algebrai struktúra, amelyben definiálva van egy kétváltozós, asszociatív művelet.

Ha az adott műveletet $(A; + )$ módon jelöltük, akkor általában összeadásként, ha pedig $(A; \cdot )$ módon jelöltük, akkor általában szorzásként beszélünk róla, de ez nem jelenti azt, hogy a számok összeadásáról vagy szorzásáról van szó, hiszen a definícióban ezt nem követeltük meg.

Definíció

Legyen $(A; \cdot )$ tetszőleges grupoid. Azt mondjuk, hogy $(A; \cdot )$ félcsoport, ha tetszőleges $a, b, c \in A$ elemekre

$a\cdot (b\cdot c) = (a \cdot b)\cdot c$

teljesül.

Tulajdonságok

• Tetszőleges félcsoportban teljesül az általános asszociativitás tétele, ami azt jelenti, hogy asszociativitás kiterjeszthető $n \in N$ elemre, azaz egy n-változós szorzatban sem függ végeredmény a zárójelezés sorrendjétől, ezért a zárójelezés elhagyható.
• Tetszőleges $(A; \cdot )$ félcsoportban teljesül, hogy reguláris elemek szorzata reguláris elem, azaz tetszőleges félcsoport reguláris elemei (ha léteznek) félcsoportot alkotnak.
• Tetszőleges félcsoport bármely reguláris elemének vagy van inverze, vagy pedig nincs balinverze. (Illetve ennek az állításnak természetesen a duálisa is teljesül.)
• Bármely $(A; \cdot )$ félcsoport tetszőleges $a \in A$ idempotens elemére akkor és csak akkor teljesül a bal oldali egyszerűsítési szabály, ha $a$ balegységelem.
• Félcsoportban a reguláris és idempotens elem egységelem.
• Ha $(A; \cdot )$ véges félcsoport és van reguláris eleme, akkor van egységeleme.

Példák

• A természetes számok halmaza az összeadás művelettel.
• A természetes számok halmaza a szorzás művelettel.

Lásd még

• Monoidok
• Növelő részfélcsoportok

Hivatkozások

• Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
• Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

Források

• félcsoport a PlanetMath-on.