Természetes számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Természetes számoknak nevezzük a pozitív egész számokat, tehát az 1, 2, 3, 4, … számtani sorozat tagjait. A sorozat lépésköze 1, tehát a sorozat következő tagját mindig úgy kapjuk, hogy az utolsó taghoz hozzáadunk 1-et. Végtelen sok természetes szám van, mivel bármilyen nagy számhoz is hozzá tudunk adni 1-et, újabb tagot képezve a sorozatba.

A természetes számok halmazát a matematikában egy tipográfiailag kiemelt \mathbb{N} vagy \mathbf{N} betűvel jelölik. A halmaznak végtelen számú eleme van.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Természetes szám-e a nulla?

Matematikusok között is vita tárgya, hogy a 0 számot a természetes számok közé sorolják-e. Mivel a kifejezés csak egy név, így definíció kérdése, hogy mi tartozik a névvel jelölt csoporthoz. A kérdés azért nem érdektelen, mert a feladatok, állítások, tételek rendszeresen hivatkoznak a természetes számok halmazára, és a feladat megoldhatóságát, a tétel érvényességét vagy bizonyíthatóságát döntheti el a fogalom értelmezése.

Régebben a nulla nem tartozott a természetes számokhoz. A klasszikus, ösztönszerű számfogalom megformálódásakor sem vesszük a számok közé a „semmit”, a nulla Európába csak arab közvetítéssel jutott el a középkorban, a nullával nem lehet osztani. Ennek az értelmezésnek az alátámasztására következzenek idézetek:

„természetes számok: pozitív egész számok;”[1]
„A természetes számok pozitív számok. ... A 0 nem tartozik sem a negatív, sem a pozitív számokhoz, hanem azokat szétválasztja.”[2]
„Tegyük fel, hogy A\subset\mathbb{N}, és
i) 1\in\mathbb{N},
ii) minden n\in\mathbb{N} esetében (n+1)\subset A.
Ekkor A=\mathbb{N}.
...
... vezessük be a későbbiekben is gyakran előforduló
\mathbb{N}^*:=\mathbb{N}\cup\{0\}   jelölést.”[3]

A 19. században, halmazelméleti levezetésekben vették először a nullát, mint üres halmazt a természetes számok közé, a definíciót „nem-negatív egész számok”-ra módosítva. Ennek sajnálatos következményeként ma a fogalom már minden esetben magyarázkodást is kíván a használóitól. Az egyértelműség keresésének szándékával született az a szokás, hogy a nem-negatív egészeket \mathbb{N}_0, a pozitív egészeket, tehát a nulla nélküli értelmezést pedig \mathbb{N}_1 szimbólummal jelölik; az \mathbb{N} jel önmagában bizonytalanságban hagyja az olvasót. Az \mathbb{N}^* jelöléssel is lehet találkozni, de ennek értelmezése nem egységes.

[szerkesztés] A természetes számok formális-axiomatikus elmélete – a Peano-aritmetika

Searchtool right.svg Bővebben: Peano-aritmetika

Minden matematikai természetű témakör akkor tehető tudományos vizsgálódás tárgyává, ha rögzítjük azt az axiomatikus elméletet, melyben a témakör összes állítása formális kijelentés alakjában megfogalmazható. A természetes számok matematikájának axiomatikus elmélete, mint elsőrendű elmélet a Peano-aritmetika, jelben: PA (Giuseppe Peano olasz matematikus tiszteletére).

PA alapfogalmai a 0 konstansjel (individuumnév), melyet nullának nevezünk, a ' egyváltozós függvényjel(egybemenetű névfunktor), melyet rákövetkezés vagy szukszceszor operátornak mondunk (szemléletesen n' az n számot pontosan eggyel követő szám), a + kétváltozós függvényjel, azaz az összeadás és a \cdot függvényjel, ami a szorzás.

PA axiómái a következők (az n, m, k, … jelek olyan változók, melyek természetes számokat szimbolizálnak):

(P1) n' \neq 0
(azaz a nulla semminek sem rákövetkezője)
(P2) n' = m' \Rightarrow n = m
(ha két szám rákövetkezője egyenlő, akkor a számok is egyenlők)
(P3) n + 0 = n
(a nulla alaptulajdonsága)
(P4) n + m' = (n + m)'
(összeg rákövetkezője)
(P5) n \cdot 0 = 0
(nullával való szorzás)
(P6) n \cdot m' = (n \cdot m) + n
("elődisztributivitás")
(P7) ( F(0) & (F(n) \Rightarrow F( n' ) ) ) \Rightarrow F(n)
(a teljes indukció formulasémája, F tetszőleges a Peano-aritmetika nyelvén megfogalmazható tulajdonság (predikátum))

A 0 rákövetkezőjét, 0'-t 1-gyel jelöljük. A (P1) axiómába n helyére 0-t helyettesítve ekkor kapjuk, hogy

0\neq 1

Ezzel természetesen semmi újat nem tudtunk meg a számokról, mint ahogy a formális elméletek nem mondhatanak olyat tárgyukról, amit az informális elméletben ne tudtunk volna. Ám nem is ez a céljuk. A formális tárgyalásmód az elmélet egészéről állít valamit. (Például, hogy ellentmondásmentes-e, vagy axiómái függetlenek-e.)

[szerkesztés] A természetes számok a halmazelméletben

A Peano-aritmetika halmazelméleti modelljének nevezzük az olyan (N, 0,' ,+ ,\cdot) rendezett 5-öst, ahol N halmaz, 0 ∈ N, ' :N\rightarrow N függvény, +:N \times N \rightarrow N, és \cdot:N \times N \rightarrow N pedig művelet, melyekre teljesülnek a PA rendszer axiómái.

[szerkesztés] Standard modell

A természetes számok halmazelméleti modelljeként kiválóan megfelel a

\{ \emptyset, \;\{\emptyset\}, \;\{\emptyset, \{\emptyset\} \},\; \{\emptyset, \{\emptyset\},\{\emptyset, \{\emptyset\} \} \}, \ldots \}

halmaz. Itt rendre

0:=\emptyset
1:=\{\emptyset\}=\{0\}
2:=\{\emptyset, \{\emptyset\} \}=\{0,1\}
3:=\{\emptyset, \{\emptyset\},\{\emptyset, \{\emptyset\} \} \}=\{0,1,2\}
\ldots\,

A természetes számok halmaza végtelen (mégpedig megszámlálhatóan végtelen), számosságát az

\aleph_0

(alef null – itt \mbox{ }_\aleph a héber abc első betűje) szimbólummal jelöljük. Ha mint rendszámra gondolunk rá, akkor az

\omega\,

jelet használjuk.

A természetes számok halmaza a legkisebb számosságú végtelen halmaz.

Rendezési tulajdonságok: A természetes számok halmazának egy nagyon fontos tulajdonsága, hogy (a szokásos rendezéssel) jólrendezett, azaz akárhány (de legalább egy) természetes számot kiválasztva azok közt van egy legkisebb.

[szerkesztés] Algebrai tulajdonságok

Algebrai tulajdonságok: A természetes számok halmaza az összeadással kommutatív félcsoport, a szorzással szintúgy.

A természetes számok halmaza zárt (a négy alapművelet közül) az összeadásra és a szorzásra.

[szerkesztés] Jegyzet

  1. ^ Magyar értelmező kéziszótár (Akadémiai Kiadó, Budapest, 2003)
  2. ^ Obádovics József Gyula: Matematika (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1980), 65. oldal
  3. ^ Kósa András: Ismerkedés a matematikai analízissel (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981), 35-37. oldal

[szerkesztés] Lásd még

A lap eredeti címe: „http://hu.wikipedia.org/wiki/Term%C3%A9szetes_sz%C3%A1mok”