Természetes számok

Természetes számoknak nevezzük

• a pozitív egész számokat, tehát az 1, 2, 3, 4, … számtani sorozat tagjait,
• újabb értelmezés szerint a nemnegatív egész számokat, tehát a 0, 1, 2, 3, … számtani sorozat tagjait.

A sorozat lépésköze 1, tehát a sorozat következő tagját mindig úgy kapjuk, hogy az utolsó taghoz hozzáadunk 1-et. Végtelen sok természetes szám van, mivel bármilyen nagy számhoz is hozzá tudunk adni 1-et, újabb tagot képezve a sorozatba.

A természetes számok halmazát a matematikában egy tipográfiailag kiemelt félkövér $\mathbf{N}$ vagy „blackboard bold” (kontúros) $\mathbb{N}$ betűvel jelölik (a latin naturalis, azaz 'természetes' szó nyomán). A természetes számok halmazának megszámlálhatóan végtelen számú eleme van.

Történelmi vonatkozások

A "természetes" elnevezés eredete

Az ókorban a természetes számokat egyszerűen csak számoknak nevezték (a görögök még az 1-et sem értették közéjük); más nevezetes számosztályokat nem tartottak számon (a racionális számokat pl. számok arányainak tekintették, nem pedig önálló számosztálynak).

A "természetes" elnevezés valószínűleg csak a XVIII. század végén alakult ki. R. Dedekind, akitől a nevezetes számosztályok (természetes, egész, valós stb.) betűs jelöléseinek egy része származik (ezek szintén ebben az időben alakultak ki), egy 1872-es cikkében a természetes számokról még mint „úgynevezett természetes számokról” beszél (vagyis a kifejezés még nem rögzült teljesen). Grosschmid Lajos magyar matematikus egy 1911-es számelméleti cikkében (egy lábjegyzetben) Dedekindnek tulajdonította a „természetes” kifejezést („Természetes szám alatt - Dedekind nyomán - értek bármely pozitív raczionális egész számot. V. ö. : naturliche Zahl; Dirichlet-Dedekind i.m. XI. Suppl. 436. l.”).

Természetes szám-e a nulla?

Időnként vita tárgya, hogy a 0 számot a természetes számok közé sorolják-e. Mivel a kifejezés csak egy név, így definíció, megállapodás kérdése, hogy mi tartozik a névvel jelölt csoporthoz. A kérdés azért nem érdektelen, mert a feladatok, állítások, tételek rendszeresen hivatkoznak a természetes számok halmazára, és a feladat megoldhatóságát, a tétel érvényességét vagy bizonyíthatóságát döntheti el a fogalom értelmezése.

Régebben a nulla nem tartozott a természetes számokhoz. A klasszikus, ösztönszerű számfogalom megformálódásakor sem vesszük a számok közé a „semmit”, a nulla Európába csak arab közvetítéssel jutott el a középkorban, a nullával nem lehet osztani. Ennek az értelmezésnek az alátámasztására következzenek idézetek:

„természetes számok: pozitív egész számok;”

„A természetes számok pozitív számok. ... A 0 nem tartozik sem a negatív, sem a pozitív számokhoz, hanem azokat szétválasztja.”

„Tegyük fel, hogy $A\subset\mathbb{N}$, és

i) $1\in\mathbb{N}$,

ii) minden $n\in\mathbb{N}$ esetében $(n+1)\subset A$.

Ekkor $A=\mathbb{N}$.

...

... vezessük be a későbbiekben is gyakran előforduló

$\mathbb{N}^*:=\mathbb{N}\cup\{0\}$   jelölést.”

A 19. században, halmazelméleti levezetésekben vették először a nullát, mint üres halmazt a természetes számok közé, a definíciót „nem-negatív egész számok”-ra módosítva. Az egyértelműség keresésének szándékával született az a szokás, hogy a nem-negatív egészeket $\mathbb{N}_0$, a pozitív egészeket, tehát a nulla nélküli értelmezést pedig $\mathbb{N}_1$ vagy $\mathbb{N}^+$ szimbólummal jelölik; az $\mathbb{N}$ jel önmagában bizonytalanságban hagyja az olvasót. Az $\mathbb{N}^*$ jelöléssel is lehet találkozni, de ennek értelmezése nem egységes.

A természetes számok formális-axiomatikus elmélete – a Peano-aritmetika

Minden matematikai természetű témakör akkor tehető tudományos vizsgálódás tárgyává, ha rögzítjük azt az axiomatikus elméletet, melyben a témakör összes állítása formális kijelentés alakjában megfogalmazható. A természetes számok matematikájának axiomatikus elmélete, mint elsőrendű elmélet a Peano-aritmetika, jelben: PA (Giuseppe Peano olasz matematikus tiszteletére).

PA alapfogalmai a 0 konstansjel (individuumnév), melyet nullának nevezünk, a ' egyváltozós függvényjel(egybemenetű névfunktor), melyet rákövetkezés vagy szukszceszor operátornak mondunk (szemléletesen n' az n számot pontosan eggyel követő szám), a + kétváltozós függvényjel, azaz az összeadás és a $\cdot$ függvényjel, ami a szorzás.

PA axiómái a következők (az n, m, k, … jelek olyan változók, melyek természetes számokat szimbolizálnak):

(P1) n' $\neq$ 0

(azaz a nulla semminek sem rákövetkezője)

(P2) n' = m' $\Rightarrow$ n = m

(ha két szám rákövetkezője egyenlő, akkor a számok is egyenlők)

(P3) n + 0 = n

(a nulla alaptulajdonsága)

(P4) n + m' = (n + m)'

(összeg rákövetkezője)

(P5) n $\cdot$ 0 = 0

(nullával való szorzás)

(P6) n $\cdot$ m' = (n $\cdot$ m) + n

("elődisztributivitás")

(P7) ( F(0) & (F(n) $\Rightarrow$ F( n' ) ) ) $\Rightarrow$ F(n)

(a teljes indukció formulasémája, F tetszőleges a Peano-aritmetika nyelvén megfogalmazható tulajdonság (predikátum))

A 0 rákövetkezőjét, 0'-t 1-gyel jelöljük. A (P1) axiómába n helyére 0-t helyettesítve ekkor kapjuk, hogy

$0\neq 1$

Ezzel természetesen semmi újat nem tudtunk meg a számokról, mint ahogy a formális elméletek nem mondhatanak olyat tárgyukról, amit az informális elméletben ne tudtunk volna. Ám nem is ez a céljuk. A formális tárgyalásmód az elmélet egészéről állít valamit. (Például, hogy ellentmondásmentes-e, vagy axiómái függetlenek-e.)

A természetes számok a halmazelméletben

A Peano-aritmetika halmazelméleti modelljének nevezzük az olyan (N, 0,' ,+ ,$\cdot$) rendezett 5-öst, ahol N halmaz, 0 ∈ N, ' :N$\rightarrow$ N függvény, +:N $\times$ N $\rightarrow$ N, és $\cdot$:N $\times$ N $\rightarrow$ N pedig művelet, melyekre teljesülnek a PA rendszer axiómái.

Standard modell

A természetes számok halmazelméleti modelljeként kiválóan megfelel a

$\{ \emptyset, \;\{\emptyset\}, \;\{\emptyset, \{\emptyset\} \},\; \{\emptyset, \{\emptyset\},\{\emptyset, \{\emptyset\} \} \}, \ldots \}$

halmaz. Itt rendre

$0:=\emptyset$

$1:=\{\emptyset\}=\{0\}$

$2:=\{\emptyset, \{\emptyset\} \}=\{0,1\}$

$3:=\{\emptyset, \{\emptyset\},\{\emptyset, \{\emptyset\} \} \}=\{0,1,2\}$

$\ldots\,$

A természetes számok halmaza végtelen (mégpedig megszámlálhatóan végtelen), számosságát az

$\aleph_0$

(alef null – itt $\mbox{ }_\aleph$ a héber abc első betűje) szimbólummal jelöljük. Ha mint rendszámra gondolunk rá, akkor az

$\omega\,$

jelet használjuk.

A természetes számok halmaza a legkisebb számosságú végtelen halmaz.

Rendezési tulajdonságok: A természetes számok halmazának egy nagyon fontos tulajdonsága, hogy (a szokásos rendezéssel) jólrendezett, azaz akárhány (de legalább egy) természetes számot kiválasztva azok közt van egy legkisebb.

Algebrai tulajdonságok

Algebrai tulajdonságok: A természetes számok halmaza az összeadással kommutatív félcsoport, a szorzással szintúgy. Az (N,+) egyműveletes struktúrát a természetes számok additív félcsoportjának, míg az (N, ·) egyműveletes struktúrát a természetes számok multiplikatív félcsoportjának nevezzük.

A természetes számok halmaza zárt (a négy alapművelet közül) az összeadásra és a szorzásra.

Lásd még

• A természetes számok összeadása
• Számok