Természetes számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Természetes számoknak nevezzük

  • a pozitív egész számokat, tehát az 1, 2, 3, 4, … számtani sorozat tagjait[1],
  • újabb értelmezés szerint a nemnegatív egész számokat, tehát a 0, 1, 2, 3, … számtani sorozat tagjait[2][3][4].

A sorozat lépésköze 1, tehát a sorozat következő tagját mindig úgy kapjuk, hogy az utolsó taghoz hozzáadunk 1-et. Végtelen sok természetes szám van, mivel bármilyen nagy számhoz is hozzá tudunk adni 1-et, újabb tagot képezve a sorozatba.

A természetes számok halmazát a matematikában egy tipográfiailag kiemelt félkövér \mathbf{N} vagy „blackboard bold” (kontúros) \mathbb{N} betűvel jelölik (a latin naturalis, azaz 'természetes' szó nyomán). A természetes számok halmazának megszámlálhatóan végtelen számú eleme van.

Történelmi vonatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A "természetes" elnevezés eredete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ókorban a természetes számokat egyszerűen csak számoknak nevezték (a görögök még az 1-et sem értették közéjük); más nevezetes számosztályokat nem tartottak számon (a racionális számokat pl. számok arányainak tekintették, nem pedig önálló számosztálynak).

A "természetes" elnevezés valószínűleg csak a XVIII. század végén alakult ki. R. Dedekind, akitől a nevezetes számosztályok (természetes, egész, valós stb.) betűs jelöléseinek egy része származik (ezek szintén ebben az időben alakultak ki), egy 1872-es cikkében a természetes számokról még mint „úgynevezett természetes számokról” beszél (vagyis a kifejezés még nem rögzült teljesen).[5] Grosschmid Lajos magyar matematikus egy 1911-es számelméleti cikkében [6] (egy lábjegyzetben) Dedekindnek tulajdonította a „természetes” kifejezést („Természetes szám alatt - Dedekind nyomán - értek bármely pozitív raczionális egész számot. V. ö. : naturliche Zahl; Dirichlet-Dedekind i.m.[7] XI. Suppl. 436. l.”).

Természetes szám-e a nulla?[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szakirodalomban eltérések találhatóak abban, hogy a 0 számot a természetes számok közé sorolják-e; másképp szólva, hogy a "természetes szám" elnevezéssel a {0; 1; 2; 3; 4, ....} vagy az egy elemmel szűkebb {1; 2; 3; 4; ...} halmazt illessük-e. Mivel ez nem szorosabb értelemben véve matematikai probléma (nem lehet matematikai tételekből kiszámítani vagy bebizonyítani, természetes szám-e a nulla), hanem pusztán egy elnevezés tartalmáról való döntés, így definíció, megállapodás kérdése, hogy mi tartozik a névvel jelölt csoporthoz. A kérdés mégsem érdektelen, mert, bár a probléma nem matematikai jellegű, eldöntésének már vannak ilyen következményei - a feladatok, állítások, tételek rendszeresen hivatkoznak a természetes számok halmazára, és a feladat megoldhatóságát, a tétel érvényességét vagy bizonyíthatóságát döntheti el a fogalom értelmezése.

Régebben a nulla nem tartozott a természetes számokhoz. A klasszikus, ösztönszerű számfogalom megformálódásakor sem vesszük a számok közé a „semmit”, a nulla Európába csak arab közvetítéssel jutott el a középkorban, a nullával nem lehet osztani. Ennek az értelmezésnek az alátámasztására következzenek idézetek:

természetes számok: pozitív egész számok;[8]
A természetes számok pozitív számok. ... A 0 nem tartozik sem a negatív, sem a pozitív számokhoz, hanem azokat szétválasztja.[9]
Tegyük fel, hogy A\subset\mathbb{N}, és
i) 1\in\mathbb{N},
ii) minden n\in\mathbb{N} esetében (n+1)\subset A.
Ekkor A=\mathbb{N}.
...
... vezessük be a későbbiekben is gyakran előforduló
\mathbb{N}^*:=\mathbb{N}\cup\{0\}   jelölést.[10]

A 19. században, halmazelméleti levezetésekben vették először a nullát, mint üres halmazt a természetes számok közé, a definíciót „nem-negatív egész számok”-ra módosítva. Az egyértelműség keresésének szándékával született az a szokás, hogy a nem-negatív egészeket \mathbb{N}_0, a pozitív egészeket, tehát a nulla nélküli értelmezést pedig \mathbb{N}_1 vagy \mathbb{N}^+ szimbólummal jelölik; az \mathbb{N} jel önmagában bizonytalanságban hagyja az olvasót. Az \mathbb{N}^* jelöléssel is lehet találkozni, de ennek értelmezése nem egységes.

Jellemző, hogy G. Peano, akinek a természetes számok első formális matematikai jellegű elméletének lefektetését tulajdonítják, első ilyen tárgyú cikkeiben még nem sorolta a 0-t a természetes számok közé, későbbi cikkeiben (1898-tól, Formulaire de mathématiques II. c. kiadvány, 2. fej.) azonban már igen. Peano használta és vezette be (ugyanott) a fentebb említett N0 és N1 jeleket is a kétféle számhalmaz megkülönböztetésére. [11]

A természetes számok formális-axiomatikus elmélete – a Peano-aritmetika[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Minden matematikai természetű témakör akkor tehető tudományos vizsgálódás tárgyává, ha rögzítjük azt az axiomatikus elméletet, melyben a témakör összes állítása formális kijelentés alakjában megfogalmazható. A természetes számok matematikájának axiomatikus elmélete, mint elsőrendű elmélet a Peano-aritmetika, jelben: PA (Giuseppe Peano olasz matematikus tiszteletére).

PA alapfogalmai a 0 konstansjel (individuumnév), melyet nullának nevezünk, a ' egyváltozós függvényjel(egybemenetű névfunktor), melyet rákövetkezés vagy szukszceszor operátornak mondunk (szemléletesen n' az n számot pontosan eggyel követő szám), a + kétváltozós függvényjel, azaz az összeadás és a \cdot függvényjel, ami a szorzás.

PA axiómái a következők (az n, m, k, … jelek olyan változók, melyek természetes számokat szimbolizálnak):

(P1) n' \neq 0
(azaz a nulla semminek sem rákövetkezője)
(P2) n' = m' \Rightarrow n = m
(ha két szám rákövetkezője egyenlő, akkor a számok is egyenlők)
(P3) n + 0 = n
(a nulla alaptulajdonsága)
(P4) n + m' = (n + m)'
(összeg rákövetkezője)
(P5) n \cdot 0 = 0
(nullával való szorzás)
(P6) n \cdot m' = (n \cdot m) + n
("elődisztributivitás")
(P7) ( F(0) & (F(n) \Rightarrow F( n' ) ) ) \Rightarrow F(n)
(a teljes indukció formulasémája, F tetszőleges a Peano-aritmetika nyelvén megfogalmazható tulajdonság (predikátum))

A 0 rákövetkezőjét, 0'-t 1-gyel jelöljük. A (P1) axiómába n helyére 0-t helyettesítve ekkor kapjuk, hogy

0\neq 1

A természetes számok a halmazelméletben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Peano-aritmetika halmazelméleti modelljének nevezzük az olyan (N, 0,' ,+ ,\cdot) rendezett 5-öst, ahol N halmaz, 0 ∈ N, ' :N\rightarrow N függvény, +:N \times N \rightarrow N, és \cdot:N \times N \rightarrow N pedig művelet, melyekre teljesülnek a PA rendszer axiómái.

Standard modell[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A természetes számok halmazelméleti modelljeként kiválóan megfelel a

\{ \emptyset, \;\{\emptyset\}, \;\{\emptyset, \{\emptyset\} \},\; \{\emptyset, \{\emptyset\},\{\emptyset, \{\emptyset\} \} \}, \ldots \}

halmaz. Itt rendre

0:=\emptyset
1:=\{\emptyset\}=\{0\}
2:=\{\emptyset, \{\emptyset\} \}=\{0,1\}
3:=\{\emptyset, \{\emptyset\},\{\emptyset, \{\emptyset\} \} \}=\{0,1,2\}
\ldots\,

A természetes számok halmaza végtelen (mégpedig megszámlálhatóan végtelen), számosságát az

\aleph_0

(alef null – itt \mbox{ }_\aleph a héber ábécé első betűje) szimbólummal jelöljük. Ha mint rendszámra gondolunk rá, akkor az

\omega\,

jelet használjuk.

A természetes számok halmaza a legkisebb számosságú végtelen halmaz.

Rendezési tulajdonságok: A természetes számok halmazának egy nagyon fontos tulajdonsága, hogy (a szokásos rendezéssel) jólrendezett, azaz akárhány (de legalább egy) természetes számot kiválasztva azok közt van egy legkisebb.

Algebrai tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Algebrai tulajdonságok: A természetes számok halmaza az összeadással kommutatív félcsoport, a szorzással szintúgy. Az (N,+) egyműveletes struktúrát a természetes számok additív félcsoportjának, míg az (N, ·) egyműveletes struktúrát a természetes számok multiplikatív félcsoportjának nevezzük.

A természetes számok halmaza zárt (a négy alapművelet közül) az összeadásra és a szorzásra.

Jegyzet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Matematikai kislexikon, Budapest: Műszaki Könyvkiadó, 1972
  2. Hajnal Imre: Matematika I., Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó, 1987
  3. Szász Gábor: Matematika I., Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó, 1997, 21. o.
  4. Négyjegyű függvénytáblázatok – Matematikai, fizikai, kémiai összefüggések, Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó, 1997, ISBN 963-18-7970-4
  5. Richard Dedekind: A folytonosság és az irracionális számok (angol nyelven, W. W. Beman ford.); 15. old.
  6. Grosschmid Lajos: A négyzetes binóm-kongruencziák gyökeiről. Mathematikai és Physikai Lapok XX. (1911). Kiadja a Mathematikai és Physikai Társulat. Teljes cikk 4.-72. old., hivatkozások: 53. és 61. o.
  7. Dirichlet, P. G. L. - Dedekind, R.: Vorlesungen über Zahlentheorie. Druck und Verlag von Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1894.
  8. Magyar értelmező kéziszótár (Akadémiai Kiadó, Budapest, 2003)
  9. Obádovics József Gyula: Matematika (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1980), 65. oldal
  10. Kósa András: Ismerkedés a matematikai analízissel (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981), 35-37. oldal
  11. Kennedy, Hubert C.: Peano's Concept of Number. Hist. Mat. I./4. (1974. nov.). 387-408. o. Hiv. beill.: 2013-07-02.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]