Egész számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Ez a szócikk a matematikai értelemben vett egész számokról szól. Hasonló címmel lásd még: Egész (informatika).

Egész számoknak nevezzük a 0,1,2, … és −1,−2, … számokat. Az egész számok halmazának tehát részhalmaza a természetes számok halmaza.

Az egész számok halmazát Z-vel (általában tipográfiailag kiemelve, mint Z vagy ) jelöljük. Az egész számok halmaza végtelen, hisz a természetes számok halmazát tartalmazza. Sokkal meglepőbb, hogy az egész számok halmazának számossága megegyezik a természetes számok halmazának számosságával. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy matematikai értelemben ugyanannyi elemük van, holott az egyik halmaz tartalmazza a másikat.

[szerkesztés] Matematikai definíció

A természetes számok halmazán a kivonást nem definiáljuk mindig, mert ez a művelet kivezethet a természetes számok halmazából. Igazi szükség tehát a negatív tartományt is magában foglaló egész számoknál van rá. Tekintsük az N×N-en a természetes számok Descartes szorzatát. Definiáljuk a kivonást, illetve az egész számokat, ezen párokon alkalmazott tulajdonságokkal. Tekintsük ezeken a párokon a (m,n)~(m',n'), ha m+n'=m'+n relációt, az (m,n)+(m',n')=(m+m',n+n') összeadást, és az (m,n)*(m'n')=(m*m'+n*n',m*n'+m'n) szorzást, valamint az (m,n)≤(m'n')-t, ha m+n'≤m'+n relációt. A ~ reláció ekvivalenciareláció. Az ekvivalenciaosztályok halmaza ha jól megfigyeljük nem más, mint pontosan az egész számok halmaza. A fenti leírás ugyanis pontosan akkor teljesül ha m egy pozitív, n egy negatív szám. Az (a,b) pár additív inverze tehát nem más mint (b,a).

Algebrai tulajdonságok: Az egész számok halmaza az összeadással Abel-csoportot (kommutatív csoportot), a szorzással kommutatív félcsoportot képez. A disztributivitás miatt az egész számok halmaza az összeadással és a szorzással gyűrűt (egész pontosan euklideszi gyűrűt) alkot.

Az egész számok halmaza zárt (a négy alapművelet közül) az összeadásra, a kivonásra és a szorzásra.

Rendezési tulajdonságok: Az egész számok halmaza (a szokásos rendezéssel) lineárisan rendezett.