Egész számok

Ez a szócikk a matematikai értelemben vett egész számokról szól. Hasonló címmel lásd még: Egész (informatika).

Egész számoknak nevezzük a 0,1,2, … és −1,−2, … számokat. Az egész számok halmazának tehát részhalmaza a természetes számok halmaza.

Az egész számok halmazát Z-vel (általában tipográfiailag kiemelve, mint Z vagy $\mathbb {Z}$ ) jelöljük. Az utóbbi Unicode-ja U+2124. A jelölés a német Zahlen (számok) szó rövidítése.^[1] Az egész számok halmaza végtelen, hisz a természetes számok halmazát (és minden természetes szám ellentettjét) tartalmazza. Sokkal meglepőbb, hogy az egész számok halmazának számossága megegyezik a természetes számok halmazának számosságával. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy matematikai értelemben ugyanannyi elemük van, holott az egyik halmaz tartalmazza a másikat.

Az egész számok természetes rendezése növekvő sorrendben: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … A számelmélet az egész számokat vizsgálja.

Számítógépben az egész számokat rendszerint az int, integer, long, long long, BigInteger és más, hasonló nevű számtípusok ábrázolják.

Matematikai definíció[szerkesztés]

Az egész számokat az általános iskolában intuitívan vezetik be a kivonás segítségével; illetve úgy, hogy a természetes számokhoz hozzáveszik azok ellentettjeit. Azonban ez a definíció megnehezíti a különböző műveletek működésének ellenőrzését (jóldefiniáltság, megkívánt tulajdonságok), mivel esetszétválasztást igényel.^[2] Ezért a halmazelmélet absztraktabb konstrukciót használ.^[3]

A természetes számok $\mathbb {N}$ halmazát ismertnek feltételezve a következőképpen definiálhatjuk az egész számokat: Tekintsük a $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ Descartes-szorzatot, amely természetes számok rendezett párjaiból áll. Értelmezzük ezeken a párokon a (m,n)~(m',n'), ha m+n'=m'+n relációt, az (m,n)+(m',n')=(m+m',n+n') összeadást, és az $(m,n)\cdot (m'n')=(m\cdot m'+n\cdot n',m\cdot n'+m'\cdot n)$ szorzást, valamint az (m,n)≤(m'n')-t, ha m+n'≤m'+n relációt. A ~ reláció ekvivalenciareláció. Az ekvivalenciaosztályok halmazát jelöljük $\mathbb {Z}$ -vel. Az így nyert $\mathbb {Z}$ halmazt nevezzük az egész számok halmazának.^[4]

Mindegyik ekvivalenciaosztály reprezentálható az (n,0) vagy (0,n) (vagy akár egyszerre mindkettő) alakú elemével. Az n természetes számot az [(n,0)] osztály azonosítja (más szóval a természetes számok beágyazhatók $\mathbb {Z}$ -be), illetve a [(0,n)] osztályt –n-nel jelöljük (így megkaptuk az összes ekvivalenciaosztályt, a [(0,0)] osztályt kétszer, hiszen –0=0).

Így az [(a,b)]-t

{\begin{cases}a-b,&{\mbox{ha }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{ha }}a<b\end{cases}}

módon jelölhetjük.

Ez a jelölés az egész számok megszokott reprezentációját adja: {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Például:

{\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)].\end{aligned}}

$\mathbb {Z}$ elemei a szokásos műveletekkel gyűrűt alkotnak. Az (a,b) pár additív inverze a (b,a) pár.

A konstrukció hasonlóan működik, ha a természetes számok halmazába nem veszik bele a nullát. Ekkor választhatók a következő reprezentáns elemek: az $n$ természetes szám reprezentánsa $(n+1,1)$ , az $n$ negatív egészé $(1,1+n)$ , és a nulláé $(1,1)$ .

Tulajdonságok[szerkesztés]

Az egész számok halmaza zárt (a négy alapművelet közül) az összeadásra, a kivonásra és a szorzásra. Az összeadás neutrális eleme a 0. Az additív inverz az ellentett, egy $n$ egész szám ellentettje $-n$ . A szorzás egységeleme az 1.

Az egész számok halmaza (a szokásos rendezéssel) lineárisan rendezett. A rendezés segítségével definiálhatók a következő függvények:

a szignumfüggvény:

\operatorname {sgn}(x):={\begin{cases}-1&{\text{ha }}\quad x<0\\~~\,0&{\text{ha }}\quad x=0\\~~\,1&{\text{ha }}\quad x>0\end{cases}}

és az abszolútértékfüggvény:

|x|=\operatorname {abs} (x):={\begin{cases}~~\,x&{\text{ha }}\quad x\geq 0\\-x&{\text{ha }}\quad x<0\end{cases}}

A kettő közötti összefüggés:

x=\operatorname {sgn}(x)\,|x|

Az egész számok halmaza az összeadással Abel-csoportot (kommutatív csoportot), a szorzással kommutatív félcsoportot képez. A disztributivitás miatt az egész számok halmaza a fent definiált összeadással és szorzással gyűrűt alkot.

Az egész számok euklideszi gyűrűt alkotnak a szokásos maradékos osztással és az abszolútértékkel, mint normával. Emiatt két egész szám legnagyobb közös osztója euklideszi algoritmussal számítható. Az euklideszi gyűrű tulajdonságból következik az egyértelmű törzstényezős felbontás is.

Számossága[szerkesztés]

Az egész számok halmazának számossága megszámlálhatóan végtelen (szokásos jelöléssel $\aleph _{0}$ ), ami megegyezik a természetes számok számosságával. Két halmaz számossága ugyanis akkor egyezik meg, ha létezik egy, a két halmaz között értelmezett bijekció. Ebben az esetben is létezik ilyen függvény, mégpedig pl:

$f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {N}$

$f(x):={\begin{cases}2x&{\mbox{ha }}x\geq 0\\-2x-1&{\mbox{ha }}x<0\end{cases}}$

Vagyis minden nemnegatív egész számhoz hozzárendeljük a páros természetes számokat, minden negatív számhoz pedig a páratlanokat. Az egész számok minden elemét képezzük valahova, és az összes természetes számba képezünk, ezért ez bijekció, azaz a két halmaz számossága megegyezik.

Hasonló konstrukciók[szerkesztés]

Általánosabban, kommutatív félcsoportokkal megismételhető a konstrukció. Az így létrejött csoport a Grothendieck-csoport. Így az egész számok a természetes számok Grothendieck-csoportja.
A Gauss-egészek és az Eisenstein-egészek az egész számok két különböző bővítése komplex számokká.
Az egész számok ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ provéges teljessé tétele $\mathbb {Z}$ összes véges faktorcsoportjának projektív limesze (inverz limesze), az inverz rendszert az osztókhoz rendelt faktorcsoportok közti természetes epimorfizmusok adják. Így jönnek létre a provéges egészek, melyeket a ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ szimbólum jelöl.

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Ganze Zahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek[szerkesztés]

↑ Jeff Miller: Earliest Uses of Symbols of Number Theory, 2010-08-29. [2010. január 31-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2019. május 27.)
↑ Mendelson, Elliott (2008), Number Systems and the Foundations of Analysis, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 86, ISBN 978-0-486-45792-5, <https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC&pg=PA86>.
↑ Ivorra Castillo: Álgebra
↑ Campbell, Howard E.. The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts, 83. o. (1970). ISBN 978-0-390-16895-5

További információk[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

Az egész számok a MathWorld-ön

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

[1] Jeff Miller: Earliest Uses of Symbols of Number Theory, 2010-08-29. [2010. január 31-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2019. május 27.)

[2] Mendelson, Elliott (2008), Number Systems and the Foundations of Analysis, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 86, ISBN 978-0-486-45792-5, <https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC&pg=PA86>.

[3] Ivorra Castillo: Álgebra

[Campbell-1970-p83-4] Campbell, Howard E.. The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts, 83. o. (1970). ISBN 978-0-390-16895-5

[1]

[2]

[3]

[4]