Ellentett

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában egy x szám ellentettje vagy additív inverze az a szám, amivel x-et összeadva az eredmény nulla. Az ellentett jele: -x:

 x + (-x) = 0\,

Például a 7 ellentettje a -7, mert 7 + (-7) = 0; a -\pi ellentettje pedig a \pi, ugyanis -\pi + \pi = 0.

Egy x szám ellentettje kiszámítható -1-gyel való szorzással:

-x = (-1) \cdot x\,

A következő számhalmazok minden elemének van ellentettje az adott halmazon belül: egész számok, racionális számok, irracionális számok, valós számok, komplex számok stb. Ugyanakkor például a természetes számokon belül csak a 0-nak van ellentettje (saját maga). Ha azonban az egészek között vizsgálódunk, akkor azoknak az egészeknek is van ellentettjük, amik egyébként egyben természetes számok is, csak ezek az ellentettek a 0-t kivéve nem természetes számok. Egy szám ellentettjének létezése tehát csak egy konkrét számhalmazon értelmezhető.

Általánosítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ellentett absztrakt algebrai általánosítása az additív inverz. Itt elvonatkoztatnak a konkrét összeadás műveletétől, és a „+” jellel csak egy általános, valamilyen H halmazon értelmezett kommutatív kétváltozós műveletet jelölnek, ennek egységelemét pedig 0 jelöli. Ugyanez jelekkel:

x + y = y + x \qquad \forall x, y \in H
0 + x (= x + 0) = x \qquad 0 \in H,\quad \forall x \in H

A második sorban leírt 0-tulajdonságú elemből nem létezhet egynél több, hiszen ha lenne egy másik – jelöljük 0'-vel –, akkor ezek egyenlők:

0 = 0 + 0' = 0' \quad \Rightarrow \quad 0 = 0' \,.

Az x elem additív inverze egy olyan -x-szel jelölt elem, hogy:

x + -x = -x + x = 0 \,

Ha a „+” művelet asszociatív, azaz

(x+y)+z = x+(y+z) \qquad \forall x, y, z \in H

akkor nem létezhet egynél több additív inverz, hiszen ha x' és x'' is additív inverz, akkor egyenlők:

x''=x''+0=x''+(x+x') = (x'' + x) + x' = 0 + x' = x'  \quad \Rightarrow \quad x'' = x' \,

Ha minden elem invertálható, azaz

\forall x \in H: \exists -x \in H

akkor a „+” művelet invertálható a H halmazon.

Ha egy művelet teljesíti a fenti követelményeket, azaz

  • zárt egy H halmazra
  • asszociatív
  • kommutatív
  • van egységeleme
  • invertálható

akkor a (H, +) algebrai struktúrát Abel-csoportnak nevezik.

Abel-csoport például a valós számok halmaza az összeadással, a nemnulla valósok a szorzással, a valós–valós függvények a függvényérték szerinti összeadással, az adott méretű (például  n × m-es) mátrixok a mátrixösszeadással stb.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]