Ellentett

A matematikában egy $x$ szám ellentettje vagy additív inverze az a szám, amivel $x$-et összeadva az eredmény nulla. Az ellentett jele: $-x$:

$x + (-x) = 0\,$

Például a $7$ ellentettje a $-7$, mert $7 + (-7) = 0$; a $-\pi$ ellentettje pedig a $\pi$, ugyanis $-\pi + \pi = 0$.

Egy $x$ szám ellentettje kiszámítható $-1$-gyel való szorzással:

$-x = (-1) \cdot x\,$

A következő számhalmazok minden elemének van ellentettje az adott halmazon belül: egész számok, racionális számok, irracionális számok, valós számok, komplex számok stb. Ugyanakkor például a természetes számokon belül csak a 0-nak van ellentettje (saját maga). Ha azonban az egészek között vizsgálódunk, akkor azoknak az egészeknek is van ellentettjük, amik egyébként egyben természetes számok is, csak ezek az ellentettek a 0-t kivéve nem természetes számok. Egy szám ellentettjének létezése tehát csak egy konkrét számhalmazon értelmezhető.

Általánosítás

Az ellentett absztrakt algebrai általánosítása az additív inverz. Itt elvonatkoztatnak a konkrét összeadás műveletétől, és a „+” jellel csak egy általános, valamilyen $H$ halmazon értelmezett kommutatív kétváltozós műveletet jelölnek, ennek egységelemét pedig 0 jelöli. Ugyanez jelekkel:

$x + y = y + x \qquad \forall x, y \in H$

$0 + x (= x + 0) = x \qquad 0 \in H,\quad \forall x \in H$

A második sorban leírt $0$-tulajdonságú elemből nem létezhet egynél több, hiszen ha lenne egy másik – jelöljük $0'$-vel –, akkor ezek egyenlők:

$0 = 0 + 0' = 0' \quad \Rightarrow \quad 0 = 0' \,$.

Az $x$ elem additív inverze egy olyan $-x$-szel jelölt elem, hogy:

$x + -x = -x + x = 0 \,$

Ha a „+” művelet asszociatív, azaz

$(x+y)+z = x+(y+z) \qquad \forall x, y, z \in H$

akkor nem létezhet egynél több additív inverz, hiszen ha $x'$ és $x''$ is additív inverz, akkor egyenlők:

$x''=x''+0=x''+(x+x') = (x'' + x) + x' = 0 + x' = x' \quad \Rightarrow \quad x'' = x' \,$

Ha minden elem invertálható, azaz

$\forall x \in H: \exists -x \in H$

akkor a „+” művelet invertálható a $H$ halmazon.

Ha egy művelet teljesíti a fenti követelményeket, azaz

• zárt egy $H$ halmazra
• asszociatív
• kommutatív
• van egységeleme
• invertálható

akkor a $(H, +)$ algebrai struktúrát Abel-csoportnak nevezik.

Abel-csoport például a valós számok halmaza az összeadással, a nemnulla valósok a szorzással, a valós–valós függvények a függvényérték szerinti összeadással, az adott méretű (például $n$×$m$-es) mátrixok a mátrixösszeadással stb.

Lásd még

• Inverz elem
• Reciprok