Bijekció

bijektív függvény

A matematikában bijekciónak vagy bijektív leképezésnek nevezzük azokat a leképezéseket, amelyek egyidejűleg injektívek és szürjektívek. Más szavakkal azt is mondhatjuk, hogy a bijektív leképezések kölcsönösen egyértelmű ráképezések. Amennyiben emellett a leképzés értelmezési tartománya megegyezik azzal a halmazzal amiből képez le (tehát a halmaz összes eleméhez rendel elemet), akkor bijekció olyan megfeleltetést létesít két halmaz között, aminél az egyik halmaz minden egyes elemének a másik halmaz pontosan egy eleme felel meg, és fordítva.

Definíció

Legyen $A, B$ tetszőleges halmazok és $f : A \to B$ képező leképezés. Akkor mondjuk, hogy $f$ bijekció, ha

• tetszőleges $a, b \in A$ és $f(a)=f(b)$ esetén $a=b$, valamint
• minden $b \in B$-re létezik $a \in A$ úgy, hogy $f(a)=b$,

azaz ha injekció és szürjekció is egyszerre.

Példák

• Az egész számok halmazán értelmezett $f : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}, a \mapsto a + 1$ függvény bijekció.
• Tetszőleges $X$ halmazra az $id : X \to X, x \mapsto x$ identikus megfeleltetés bijektív leképezés.

Tulajdonságok

Injekcióból és szürjekcióból képezett bijekció.

• Ha az $f$ függvény bijektív, akkor a megfeleltetésként (relációként) vett inverze szintén függvény és egyúttal bijektív leképezés.
• Ha az $f, g$ leképezések bijektívek, akkor a kompozíciójuk is bijektív leképezés.
• Ha az $g \circ f$ függvénykompozíció bijektív leképezés, akkor a $g$ leképezés szürjekció és az $f$ leképezés injekció.
• Ha $X, Y$ véges halmazok és $|X|=|Y|$, továbbá $f: X \to Y$ leképezés, akkor a következő állítások ekvivalensek:
  • $f$ bijekció.
  • $f$ szürjekció.
  • $f$ injekció.

Lásd még

• Injekció
• Szürjekció
• Izomorfizmus
• Automorfizmus
• Permutáció

Hivatkozások

• Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)