Szürjekció

Szürjektív leképezés Injektív és szürjektív leképezés Nem szürjektív leképezés Szürjektív leképezésszorzat: a szorzat első tényezőjének nem kell szürjektívnek lennie

A matematikában ráképezésnek vagy szürjekciónak, illetve szürjektív (szuperjektív, lefedő) leképezésnek vagy szürjektív (szuperjektív, lefedő) függvénynek nevezzük azokat a leképezéseket, illetve függvényeket, amelyeknél a leképezés [függvény] értékkészlete (képhalmaza) megegyezik a leképezés [függvény] értéktartományával, azaz egy $\phi : A \to B$ leképezés [függvény] pontosan akkor ráképezés, ha minden $b \in B$ elemnek létezik őse a $\phi$ leképezés [függvény] mellett.

Definíció

Legyenek $A, B$ tetszőleges halmazok és $f : A \to B$ képező leképezés. Akkor mondjuk, hogy $f$ szürjekció, ha minden $b \in B$-re létezik $a \in A$ úgy, hogy $f(a)=b$.

Példák

• Definíció szerint minden bijektív leképezés szürjektív.
• Az f: R → R, f(x) = 2x + 1 függvény is szürjektív, mert minden y valós számra f(x) = y, ahol x egyenlő lesz (y - 1)/2.
• Az $\ln:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ természetes alapú logaritmus függvény szürjektív.
• Azf: Z → {0,1,2,3}, f(x) = x mod 4 függvény szürjektív.

Tulajdonságok

• Ha az $f, g$ leképezések szürjektívek, akkor a kompozíciójuk is szürjektív leképezés.
• Ha az $g \circ f$ függvénykompozíció szürjektív leképezés, akkor a $g$ leképezés szürjekció.
• Ha $X, Y$ véges halmazok és $|X|=|Y|$, továbbá $f: X \to Y$ leképezés, akkor a következő állítások ekvivalensek:

1. $f$ bijekció.
2. $f$ szürjekció.
3. $f$ injekció.

Végtelen halmazokra az előző állítás nem marad érvényben. Például az $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}, f(n)=n+1$ leképezés injektív de nem szürjektív. A $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}, g(n)=|n-2|$ leképezés szürjektív de nem injektív.

Lásd még

• Injektív leképezés
• Bijekció

Hivatkozások

• Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)