Injektív leképezés

Egy injektív függvény.

Egy másik injektív függvény ami ráképezés is.

Egy nem-injektív függvény.

A matematikában injekciónak, injektív leképezésnek, egy-egyértelmű leképezésnek, vagy kölcsönösen egyértelmű leképezésnek nevezzük azokat a függvényeket, melyek az értelmezési tartomány különböző elemeihez az értékkészlet különböző elemeit rendelik. (Nem tévesztendő össze a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetéssel, mely a bijektív függvény.)

Definíció

Legyen $A, B$ tetszőleges halmazok és $f : A \to B$ képező leképezés. Akkor mondjuk, hogy $f$ injekció, ha

• tetszőleges $a, b \in A$ és $f(a)=f(b)$ esetén $a=b$.

Példák

• Az egész számok halmazán értelmezett $f : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}, a \mapsto 2a$ függvény injekció.
• A természetes számok halmazán értelmezett $f : \mathbf{N} \to \mathbf{N}, a \mapsto a + 1$ függvény injekció.
• Az egész számok halmazán értelmezett $f : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}, a \mapsto a + 1$ függvény injekció.
• Tetszőleges $X$ halmazra az $id : X \to X, x \mapsto x$ identikus megfeleltetés injektív leképezés.

(Az utolsó két példa, mivel nem csak injekció, hanem egyúttal szürjekció is, ezért bijekció. Az első két példa nem szürjekció.)

Ellenpéldák

• A valós számok halmazán értelmezett $g : \mathbf{R} \to \mathbf{R}, g(x) = x^n - x$ függvény nem injekció, ugyanis , például, $g(0) = g(1)$.

Az injekció megfordítható

Egy másik definíció az injekcióra az, hogy olyan leképezés, melynek a megfeleltetésként (relációként) vett inverze szintén függvény, bár az így kapott új függvény értelmezési tartománya az eredeti függvény képhalmazának csak egy részhalmaza. (Csak akkor egyezik meg vele, ha a kérdéses függvény egyúttal szürjekció, és ezáltal így bijekció is).

Lásd még

• Szürjekció
• Bijekció
• Izomorfizmus
• Automorfizmus
• Permutáció

Hivatkozások

• Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)