Részhalmaz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Ugrás: <small>NAVIGÁCIÓ</small>, <small>KERESÉS</small>

A részhalmazaB-nek, azaz B tartalmazza A-t.

A halmazelméletben egy halmaz valamely elemeinek a halmazát, összességét az adott halmaz részhalmazának nevezzük, beleértve azt az esetet is, amikor az adott halmaz összes elemét kiválasztjuk és azt is, amikor a halmazból egyetlen elemet sem választottunk ki. Az így értelmezett részhalmaz fogalma a halmazelmélet egyik alapvető fogalma.

[szerkesztés] Definíció

Legyenek $A$ és $B$ tetszőleges halmazok. Azt mondjuk, hogy $A$ részhalmaza a $B$ halmaznak, és így jelöljük $A \subseteq B$ , ha az a $A$ halmaz összes elemét tartalmazza a $B$ halmaz, azaz $\forall a \in A : a \in B$ . Ha $A \subseteq B$ , de $A \neq B$ , azaz $B$ -nek van legalább egy olyan eleme, amely nem eleme $A$ -nak, akkor azt mondjuk, hogy $A$ valódi részhalmaza $B$ -nek, és ezt így jelöljük: $A \subset B$ .

[szerkesztés] Tulajdonságok

Minden halmaz önmagának részhalmaza, azaz tetszőleges $A$ halmazra teljesül, hogy $A \subseteq A$ .
Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza, azaz tetszőleges $A$ halmazra teljesül, hogy $\emptyset \subseteq A$ .

[szerkesztés] A számhalmazok kapcsolata

N = természetes számok halmaza (0, 1, 2, ... ,∞)
Z = egész számok halmaza (...,-3, -2, -1, 0, 1, 2,...)
Q = racionális számok halmaza (z1 / z2 alakú számok, ahol z1, z2 ∈ Z ∩ z2 ≠ 0)
Q' = irracionális számok halmaza (olyan számok, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként)
R = valós számok halmaza (a racionális és irracionális számok összessége (Q ∪ Q'))

Ekkor: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, továbbá Q' ⊂ R.