Részhalmaz
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.
A halmazelméletben egy halmaz valamely elemeinek a halmazát, összességét az adott halmaz részhalmazának nevezzük, beleértve azt az esetet is, amikor az adott halmaz összes elemét kiválasztjuk és azt is, amikor a halmazból egyetlen elemet sem választottunk ki. Az így értelmezett részhalmaz fogalma a halmazelmélet egyik alapvető fogalma.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Definíció
Legyenek A és B tetszőleges halmazok. Azt mondjuk, hogy A részhalmaza a B halmaznak, és így jelöljük 
[1], ha az a A halmaz összes elemét tartalmazza a B halmaz, azaz 
. Ha , de 
, azaz B-nek van legalább egy olyan eleme, amely nem eleme A-nak, akkor azt mondjuk, hogy A valódi részhalmaza B-nek, és ezt így jelöljük: 
[1].
[szerkesztés] Tulajdonságok
- Minden halmaz önmagának részhalmaza, azaz tetszőleges A halmazra teljesül, hogy
. - Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza, azaz tetszőleges A halmazra teljesül, hogy
. - Ha és
, akkor A = B. - pontosan akkor áll fenn, ha
. - pontosan akkor áll fenn, ha
. - pontosan akkor áll fenn, ha
.
[szerkesztés] A számhalmazok kapcsolata
- N = természetes számok halmaza (0, 1, 2, … ,∞)
- Z = egész számok halmaza (…,-3, -2, -1, 0, 1, 2,…)
- Q = racionális számok halmaza (z1 / z2 alakú számok, ahol z1, z2 ∈ Z ∩ z2 ≠ 0)
- Q' = irracionális számok halmaza (olyan számok, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként)
- R = valós számok halmaza (a racionális és irracionális számok összessége (Q ∪ Q'))
Ekkor: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, továbbá Q' ⊂ R.
[szerkesztés] Lásd még
[szerkesztés] Jegyzetek
.[szerkesztés] Hivatkozások
- Rédei László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest (1954)
- Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
- Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 3. kiadás, (1994) ISBN 963-18-5998-3
[szerkesztés] Külső hivatkozások
- Subset a MathWorld oldalán
