Binomiális együttható

A matematikában, a binomiális együttható $_{n \choose k}$ az (1 + x) n-edik binomiális hatványának többtagú kifejezésében az $x^k$ kifejezés együtthatója. A $_{n \choose k}$ kifejezést a magyarban így olvassák: "n alatt a k".

A kombinatorikában, $_{n \choose k}$ egy n elemű halmaz k elemű részhalmaza, ami azt mutatja meg, hányféleképpen "választhatunk ki" k dolgokat n dolgok halmazából. Az $_{n \choose k}$ jelölést Andreas von Ettingshausen vezette be 1826-ban, habár a számokat már századokkal előtte is ismerték (lásd Pascal-háromszög). Alternatív jelölések a $^nC_k$, $C^n_k$, $C^k_n$, melyek mindegyikében a C kombinációkat, választási lehetőségeket jelöl.

Definíció

Az n és k természetes számoknál, az $_{n \choose k}$ binomiális együtthatót az egytagú $X^k$ együtthatójaként lehet leírni az $(1+X)^n$ kifejezésben. Ugyanez az együttható fordul elő, ha k ≤ n a binomiális képletben.

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk x^{n-k}y^k$

(érvényes egy kommutatív gyűrű akármelyik x, y elemeire), ami megmagyarázza a "binomiális együttható" nevet.

Ez a szám a kombinatorikában is előfordul, ahol (a sorba rendezést elhanyagolva), a k tárgyak n tárgyakból való kiválasztását mutatja; azaz a k-elemű részhalmazok (vagy k-kombinációk egy n elemű halmazban. Ez a szám egyenlőnek tekinthető az első definícióban írt számmal, függetlenül akármelyik lenti kiszámítási képlettől: ha a kifejezés mindegyik n faktorja (1 + X)ⁿ ideiglenesen megjelöli az X kifejezést egy i indexszel (1-től n-ig), akkor a k jelzőszám mindegyik részhalmaza a kifejezés után egy X^k-t tesz, és annak az egytagú kifejezésnekaz eredménye lesz az ilyen részhalmazok száma. Ez azt mutatja meg, hogy az $\tbinom nk$ n és k természetes számoknál természetes szám lesz. Sok kombinatorikai értelmezése van a binomiális együtthatóknak (számolási feladatok, amiknél egy binomiális együtthatós kifejezés adja a választ) például az n bitek (0 vagy 1) által kialakított szavak, amiknek összege k, de a legtöbbjük azonos értékű, mint a k-kombinációk száma.

Rekurzív képlet

Van egy rekurzív képlete a binomiális együtthatóknak.

$\binom nk = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}k \quad \mbox{minden olyan egészre, ahol }n,k>0,$

ezekkel a kezdőértékekkel:

$\binom n0 = 1 \quad \mbox{minden n-nél, ahol } n \in \N,$

$\binom 0k = 0 \quad \mbox{minden egésznél, ahol } k>0.$

A képlet vagy megszámolja a kitevőket X^k-ig (1 + X)ⁿ⁻¹(1 + X)-ben, vagy a {1, 2, ..., n} k'-kombinációit számolja meg, külön-külön azt, ami tartalmazza az n-t és ami nem. Ebből adódik, hogy $\tbinom nk=0$ amikor k > n, és $\tbinom nn=1$ minden n-re, hogy az ilyen eseteknél a rekurzió megállhasson. Ez a rekurzív képlet lehetővé teszi a Pascal-háromszög szerkesztését.

Szorzási képlet

Egy, egyedi binomiális együtthatók kiszámítására alkalmazott, hatékonyabb módot ez a képlet jeleníti meg:

$\binom nk = \frac{n^{\underline k}}{k!} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}=\prod_{i=1}^k \frac{n-k+i}{i}.$

Ezt a képletet legkönnyebb megérteni a binomiális együttható kombinatorikai értelmezéséhez. A számlaló megadja a k eltérő tárgyak számsorának n tárgyak halmazából való kiválasztásához szükséges eljárások számát, megőrizve a kiválasztás sorrendjét. A nevező megszámolja az eltérő számsorok számát, amik ugyanazt a k-kombinációt határozzák meg, amikor nem vesszük figyelembe a sorrendet.

Faktoriális képlet

Végül, van egy faktoriálisokat használó könnyen megjegyezhető képlet:

$\binom nk = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \quad \mbox{ahol }\ 0\leq k\leq n.$

ahol n! az n faktoriálisát fejezi ki. Ez a képlet a fenti szorzási képletből adódik a számláló és nevező (n − k)!-vel való megszorzásával; következményképpen a számláló és nevező sok közös tényezőjét magában foglalva. Kevésbé praktikus nyílt számításra, hacsak nem iktatjuk ki a közös tényezőket először (mivel a faktoriális értékek nagyon gyorsan nőnek). A képlet egy szimmetriát is mutat, ami nem annyira nyilvánvaló a szorzási képletből (habár a definíciókból jön)

$\binom nk = \binom n{n-k} \quad \mbox{ahol }\ 0\leq k\leq n.$

Tulajdonságai

A binomiális együtthatók összege

$\sum_{k=0}^n \binom nk = \binom n0 + \binom n1 + \dotsb + \binom nn = 2^n.$

Ez éppen egy n elemű halmaz részhalmazat számolja le elemszám szerint. Az összegzési képlet levezethető a binomiális tételből az $x = y = 1$ helyettesítéssel.

Alternáló összeg

$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom nk = \binom n0 - \binom n1 + \binom n2 - \dotsb = 0$ minden $n>0$.

Kombinatorikai jelentése: egy halmaznak ugyanannyi páros, mint páratlan elemszámú részhalmaza van. A képlet páratlan n-re azonnal következik a szimmetriából. Tetszőleges n-re belátható a binomiális tétellel és az $x = 1$ és $y = -1$ (vagy $x = -1$ és $y = 1$) helyettesítéssel.

Eltolt összeg

$\sum_{k=0}^m \binom{n+k}n = \binom nn + \binom{n+1}n + \dotsb + \binom{n+m}n = \binom{n+m+1}{n+1}$

Vandermond-azonosság

$\sum_{j=0}^k \binom mj \binom n{k-j} = \binom{m+n}k.$

Az állítás kombinatorikai érveléssel belátható:

Vegyük gömbök n+m elemű halmazát, amiben m gömb piros. Leszámláljuk a gömbök k elemű részhalmazait aszerint, hogy mennyi piros gömböt tartalmaznak.

Egy másik bizonyítás az $(1+x)^{m+n}=(1+x)^m(1+x)^n$ felbontásból és az együtthatók összehasonlításából adódik.

Alkalmazásai

A binomiális együtthatóknak több különféle alkalmazása van.

A kombinatorikában

A binomiális együtthatók központi szerephez jutnak a leszámláló kombinatorikában, ahol is $_{n \choose k}$ az n elemű halmaz k elemű részhalmazainak száma, vagyis ennyiféleképpen lehet n elem közül kiválasztani k-t a sorrend figyelembe vétele nélkül.

Szemléletesen, kiszámítjuk az összes n hosszú sorozatot, majd kiválasztunk k helyet, és azt akarjuk tudni, hogy hányféleképpen tölthetők fel ezek a helyek. Mivel az elemek sorrendje nem játszik szerepet, ezért osztani kell k-sal; és mivel az érdektelen elemek sorrendje szintén nem fontos, ezért osztunk (n-k)!-sal is.

Az analízisben

Binomiális sorok

Ha $n\in\mathbb{N}_0$, $z\in\mathbb{C}\setminus\{1\}$ és $|z|\ge 1$ akkor

$\sum_{k=0}^\infty\binom kn\frac1{z^{k+1}}=\sum_{k=n}^\infty\binom kn\frac1{z^{k+1}}=\frac{1}{(z-1)^{n+1}}$,

amely binomiális sor a mértani sorok általánosítása.

Hogyha $|z|\le 1$, $z\ne-1$ és $\alpha\in\C$, akkor a

$\sum_{k=0}^\infty\binom\alpha k z^k=(1+z)^\alpha$

binomiális sor szintén konvergál.

A bétafüggvény

Teljes indukcióval bizonyítható minden $m,n\ge 0$-re, hogy

$\sum\limits_{k=0}^n\binom nk\frac{(-1)^k}{m+k+1}=\dfrac{1}{(m+n+1)\displaystyle\binom{m+n}m}$,

a szimmetria miatt

$\sum\limits_{k=0}^n\binom nk\frac{(-1)^k}{m+k+1}=\sum\limits_{k=0}^m\binom mk\frac{(-1)^k}{n+k+1}$

A bétafüggvény kiterjeszthető a komplex számok halmazára, ha $z,s\in\C$, $-z,-s\notin\N$ és $s+z\ne-1$

$\sum\limits_{k=0}^\infty\binom sk\frac{(-1)^k}{z+k+1}=\dfrac{1}{(z+s+1)\displaystyle\binom{z+s}s}=\mathrm{B}(z+1,s+1)$.

A gammafüggvény

Minden $-z\notin\{0,1,2,\dots,n\}$-re:

$\sum\limits_{k=0}^n\binom nk\frac{(-1)^k}{z+k}=\frac{n!}{z\,(z+1)\,(z+2)\cdot...\cdot(z+n)}$.

$\mathrm{Re}\,z>0$ esetén a törtek felírhatók integrálokként

$\frac1{z+k}=\int\limits_0^1 t^{z+k-1}\mathrm{d}t$

a hatványokat a binomiális képlet szerint összegezve

$\sum\limits_{k=0}^n\binom nk\frac{(-1)^k}{z+k}= \int\limits_0^1t^{z-1}(1-t)^n\mathrm{d}t= n^{-z}\int\limits_0^nt^{z-1}\left(1-\frac tn\right)^n\mathrm{d}t$,

ahol az utolsó integrálban t-t helyettsítünk t/n-be. Be kell még látni, hogy a helyettesítések elvégezhetők, és a főbb tulajdonságok megmaradnak. Így az egyenlőtlenség a

$\int\limits_0^nt^{z-1}\left(1-\frac tn\right)^n\mathrm{d}t=\frac{n^z\,n!}{z\,(z+1)\,(z+2)\cdot...\cdot(z+n)}$

alakot nyeri, ahol a $n\to\infty$ határátmenet éppen a Gauss-féle

$\Gamma(z)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^z\,n!}{z\,(z+1)\,(z+2)\cdot...\cdot(z+n)}$,

alakot adja.

A digamma és az Euler-Mascheroni konstans

Minde $m,n\in\N$-re, amire $m\le n$

$\sum\limits_{k=1}^m\binom n{m-k}\frac{(-1)^{k-1}}k=\binom nm\sum\limits_{k=n-m+1}^n\frac1k$,

ami $m$szerinti indukcióval belátható. Az $n=m$ speciális esetre az egyenlet

$\sum\limits_{k=1}^n\binom nk\frac{(-1)^{k-1}}k=\sum\limits_{k=1}^n\frac1k$.

Az összeget a sorral helyettesítve

$\sum\limits_{k=1}^\infty\binom xk\frac{(-1)^{k-1}}k=\psi(x+1)+\gamma$

ahol $\gamma$ Euler-Mascheroni-konstans és $\psi(x)$a digammafüggvény, interpolálja a $a_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac1k$ sorozatot.

Általánosításai

A binomiális együtthatónak több általánosítása is létezik.

A szorzási képlet alapján általánosítható valós a-kra és egész k-kra:

$\binom ak = \frac{a^{\underline k}}{k!} = \frac{a(a-1)(a-2)\cdots(a-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}=\prod_{i=1}^k \frac{a-k+i}{i}.$

Minden a-ra és k=0-ra az értéke 1, és minden a-ra és negatív k-kra az értéke 0.

A multinomiális együtthatók az (x₁+x₂+ … + x_m)ⁿ alakú polinomok együtthatói. A faktoriális képlet általánosításával számíthatók:

$\binom nk = \frac{n!}{k_1!\,k_2!\,\dots \, k_m!}$

ahol minden k_i pozitív, és összegük egyenlő n-nel.

Kapcsolódó szócikkek

• Pascal-háromszög
• Binomiális együtthatók listája

Hivatkozások

• Fowler, David (1996. January). „The Binomial Coefficient Function”. The American Mathematical Monthly 103 (1), 1–17. o, Kiadó: Mathematical Association of America. DOI:10.2307/2975209.  

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Binomialkoeffizient című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.