Üres halmaz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában üres halmaz alatt olyan halmazt értünk, amelynek nincsen eleme. Tekintettel arra, hogy két halmaz pontosan akkor egyenlő, ha az elemeik megegyeznek, ezért üres halmaz legfeljebb egy van, hiszen ezen definíció értelmében bármely két üres halmaz egyenlő egymással. Azt, hogy létezik legalább egy üres halmaz, az axiomatikus halmazelméletben általában külön axióma mondja ki.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincsen, üres halmaznak nevezzük. Jelölése \emptyset vagy \{\}\, (az előbbi a nulla elemszámra utal, az utóbbi pedig arra, hogy nincsen eleme).

Axiomatikus halmazelméleti vonatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az üres halmaz létezése egy formális-axiomatikus halmazelméletben a részhalmazaxióma következménye. Ha A tetszőleges halmaz, akkor a részhalmazaxióma szerint az {x ∈ A | x ≠ x } szintén egy létező halmaz. Azt, hogy egyáltalán létezik halmaz vagy egy külön létezési axiómából tudjuk, vagy a végtelenségi axióma rögzíti. (Valójában egy formális halmazelméletben egyáltalán nem szükséges egy létezési axióma megkövetelése, hiszen az előbbi A halmaz szerepét a halmazelmélet akármelyik termje játszhatja. Az informális, természetes nyelven kifejtett halmazelméletekben általában „kívánkozik” egy létezési axióma megkövetelése.)

Az üres halmaz egyértelműen van meghatározva a következő értelemben. A

(\exists!\,x)(\forall\,y)(y\in x \Leftrightarrow y\in \emptyset )

formula tétel, egyrészt az előzőek miatt igaz az egzisztencia, másrészt a meghatározottsági axióma miatt ha van x_1 és x_2, melyre a fenti egzisztenciatulajdonság igaz, akkor ezek egyenlők.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tetszőleges A halmazra érvényesek a következő állítások:

  • \emptyset \subseteq A
  • \emptyset \cup A = A
  • \emptyset \cap A = \emptyset
  • \emptyset \times A = \emptyset

Az üres halmaz egy érdekes tulajdonsága, hogy tetszőleges T tulajdonságra teljesül a

(\forall \,x\in\emptyset)\,T

kijelentés, ellenkező esetben ugyanis létezne nem T tulajdonságú eleme az üres halmaznak, ami azért ellentmondás, mert az üres halmaznak egyáltalán nincs eleme. Például az üres halmaz függvény, rendezett halmaz, sőt szigorúan monoton függvény és félcsoport (alaphalmaza) is, de például nem lehet csoport (alaphalmaza), hiszen ott megkövetelnek legalább egy elem létezését.

A halmazok számosságának a definíciója értelmében a üres halmaz véges halmaz és a számossága 0. Ugyanis tetszőleges véges H halmaz számossága az nN természetes szám, ha létezik bijekció H-ból n-be (ahol n a sztenderd halmazelméleti definíció természetes szám objektuma, melyre teljesül az n = {0,1,…,n-1} patologikus tulajdonság). Persze, n = 0 esetén az előbbi halmaz üres, így létezik \emptyset \rightarrow 0\,=\emptyset bijekció, hisz az üres függvény ilyen.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Rédei László: Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
  • Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika Logika, algebra, kombinatorika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
  • Hajnal András & Hamburger Péter: Halmazelmélet, 3. kiadás, (1994), Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp, ISBN 963-18-5998-3