Üres halmaz

A matematikában üres halmaz alatt olyan halmazt értünk, amelynek nincsen eleme. Tekintettel arra, hogy két halmaz pontosan akkor egyenlő, ha az elemeik megegyeznek, ezért üres halmaz legfeljebb egy van, hiszen ezen definíció értelmében bármely két üres halmaz egyenlő egymással. Azt, hogy létezik legalább egy üres halmaz, az axiomatikus halmazelméletben általában külön axióma mondja ki.

Definíció

Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincsen, üres halmaznak nevezzük. Jelölése:

$\emptyset$, illetve

$\{\}\,$

Axiomatikus halmazelméleti vonatkozások

Az üres halmaz létezése egy formális-axiomatikus halmazelméletben a részhalmazaxióma következménye. Ha A tetszőleges halmaz, akkor a részhalmazaxióma szerint az {x ∈ A | x ≠ x } szintén egy létező halmaz. Azt, hogy egyáltalán létezik halmaz vagy egy külön létezési axiómából tudjuk, vagy a végtelenségi axióma rögzíti. (Valójában egy formális halmazelméletben egyáltalán nem szükséges egy létezési axióma megkövetelése, hiszen az előbbi A halmaz szerepét a halmazelmlet akármelyik termje játszhatja. Az informális, természetes nyelven kifejtett halmazelméletekben általában „kívánkozik” egy létezési axióma megkövetelése.)

Az üres halmaz egyértelműen van meghatározva a következő értelemben. A

$(\exists!\,x)(\forall\,y)(y\in x \Leftrightarrow y\in \emptyset )$

formula tétel, egyrészt az előzőek miatt igaz az egzisztencia, másrészt a meghatározottsági axióma miatt ha van $x_1$ és $x_2$, melyre a fenti egzisztenciatulajdonság igaz, akkor ezek egyenlők.

Tulajdonságok

Tetszőleges $A$ halmazra érvényesek a következő állítások:

• $\emptyset \subseteq A$
• $\emptyset \cup A = A$
• $\emptyset \cap A = \emptyset$
• $\emptyset \times A = \emptyset$

Az üres halmaz egy érdekes tulajdonsága, hogy tetszőleges $T$ tulajdonságra teljesül a

$(\forall \,x\in\emptyset)\,T$

kijelentés, ellenkező esetben ugyanis létezne nem T tulajdonségú eleme az üres halmaznak, ami azért ellentmondás, mert az üres halmaznak egyáltalán nincs eleme. Például az üres halmaz függvény, rendezett halmaz, sőt szigorúan monoton függvény és félcsoport (alamhalmaza) is, de például nem lehet csoport (alaphalmaza), hiszen ott megkövetelnek legalább egy elem létezését.

A halmazok számosságának a definíciója értelmében a üres halmaz véges halmaz és a számossága $0$. Ugyanis tetszőleges véges H halmaz számossága az n ∈ N természetes szám, ha létezik bijekció H-ból n-be (ahol n a sztenderd halmazelméleti definíció természetes szám objektuma, melyre teljesül az n = {0,1,…,n-1} patologikus tulajdonság). Persze, n = 0 esetén az előbbi halmaz üres, így létezik $\emptyset$ $\rightarrow$ $0\,$=$\emptyset$ bijekció, hisz az üres függvény ilyen.

Hivatkozások

• Rédei László: Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
• Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika Logika, algebra, kombinatorika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
• Hajnal András & Hamburger Péter: Halmazelmélet, 3. kiadás, (1994), Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp, ISBN 963-18-5998-3