Reláció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A reláció dolgok viszonyát jelenti; és hasonló jelentéssel bír a matematikában is. A köznapi életben és a matematikában is egy nagyon általános (ezzel összefüggésben, elvont) fogalom, de a matematikában nem számít alapfogalomnak, lehetséges definiálni.

Meghatározásai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A reláció alapvető fogalom a matematikában, de nem alapfogalom. Lehetséges a meghatározása más alapfogalmakra hagyatkozva. Ezáltal egy olyan reláció-fogalmat kapunk, amely nem feltétlenül felel meg mindenben a köznapi relációfogalomnak, de a matematikai szempontból hasznos, fontos tulajdonságokat a tudományos céloknak megfelelően tükrözi; tehát a köznapi relációfogalom egy modellje adódik.

A köznapinál tudományosabb definíciónak a matematikatörténetben két fontosabb paradigmája alakult ki, az ősibb, logikai modell és az újabb, a huszadik század matematikájában teljesen egyeduralkodóvá vált strukturalista, halmazelméleti modell.

Halmazelméleti definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

1. definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy, az X_1, \dots , X_n halmazokon (vagy másképpen fogalmazva ezen halmazok felett) értelmezett n-változós (vagy más néven n-áris) reláció a következő n+1 elemű rendezett n-es:

\rho = \left\langle X_1, \dots , X_n, R \right\rangle

ahol

R \subseteq X_1 \times \dots \times X_n

tehát R a halmazok direkt szorzatának egy részhalmaza. Hogy melyik részhalmaza, az szabja meg a reláció mibenlétét.

Az R részhalmazt a reláció gráfjának (grafikonjának) is nevezzük, és szokás graph(ρ)-val jelölni.

Homogénnek nevezzük a relációt, ha a fenti definícióban szereplő X_1, \dots , X_n halmazok megegyeznek. Homogén reláció például a sík egyenesei között fennálló párhuzamossági reláció, hiszen itt a reláció egyenesek és egyenesek között áll fönn. Nem homogén reláció az emberek és országok közötti „állampolgára” reláció (amely szerint pl. Orbán Viktor állampolgára Magyarországnak, de Barack Obama nem állampolgára Indiának), hiszen ennek a relációnak az első tényezője mindig egy ember, második tényezője pedig mindig egy ország.

2. definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy, az X_1, \dots , X_n halmazokon (vagy másképpen fogalmazva ezen halmazok felett) értelmezett n-változós (vagy más néven n-áris) reláció az X_1, \dots , X_n halmazok direkt szorzatának egy részhalmaza, azaz:

\rho \subseteq X_1 \times \dots \times X_n

.

Tehát ez a definíció az előzőtől annyiban tér el, hogy \rho = R. Ez az, amit az 1. definícióban a reláció grafikonjának neveztünk.

E definíció fontos tulajdonsága a fentivel szemben, nagyobb egyszerűsége, sőt nagyobb elvontsága (mivel két, az 1. definíció szerint különböző reláció a 2. definíció szerint azonos lehet; a reláció mibenlétét tekintve, „megfeledkezünk” az alaphalmazokról). Viszont például e felépítésben értelmetlenné válik egy igen fontos matematikai fogalom, a „szürjektív függvény” fogalma. Igaz, ez a probléma könnyen kiküszöbölhető.

3. definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy halmazt relációnak nevezünk, ha minden eleme rendezett n-es.

E definíció rendelkezik a 2. definíció minden már említett előnyével és hátrányával. További hátránya, hogy az „értelmezési tartomány” és „értékkészlet” meghatározása nehézkesebbé válik, az axiomatikus halmazelméletben való nagyobb jártasságot igényel az előzőhöz képest.

A definíciók értelmezése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az A\times A Decartes-szorzatra tekinthetünk úgy, mint az olyan lehetséges elempárok felsorolására (halmazára), mely elempárok első és második eleme is az A halmazból kerül ki. Ha ezen összes lehetséges elempárok közül kiválasztjuk azokat, melyek az általunk meghatározni kívánt relációnak elemei, akkor egyértelműen meghatároztuk A\times A egy részhalmazát. Ebből láthatjuk, hogy az A\times A részhalmazai és az A hamaz elemei közötti relációk lényegében megegyeznek.

A definíciónak gráfelméleti vonatkozása is van.

Jelölési konvenció: amennyiben teljes általánosságban akarunk relációkról beszélni, általában \rho-val (görög "ró" betű) jelöljük a relációt, azt pedig, hogy a és b elemek \rho relációban állnak a következő módon: a\rho b vagy (a,b)\in \rho.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Matematikán kívüli példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A Harap utca 3. alatt élő kutyafalka jelenleg 7 tagot számlál: Anzelm (A), Barbár (B), Cézár (C), Dézi (D), Edina (E), Farkas (F) és Gina (G). A az apja, E az anyja B-nek és F-nek, míg B az apja, D az anyja C-nek és G-nek. Az X = {A,B,C,D,E,F,G} alaphalmazon értelmezhető a homogén bináris „… apja …-nak” reláció, mely a következő párokra igaz: Anzelm és Barbár (A,B), Anzelm és Farkas (A,F); Barbár és Cézár (B,C); Barbár és Gina (B,G). Tehát az „apja” apasági reláció – a 2. halmazelméleti definíció szerint – a következő elempárok halmaza: R= {(A,B); (A,F); (B,C); (B,G)}. Az halmazelméleti definíció szerint ugyanez a reláció a következő elemhármas: (X, X, R), ahol R az előző R halmaz.
    1. Az értelmezési tartomány bármely definíció elfogadása esetén is {A,B}, az értékkészlet (B,F,C,G). A
  • Legyen V valamely város lakosainak halmaza, és tekintsük az „… és … ismerik egymást” kijelentéssel leírt relációt. Akkor ez a reláció halmazelméletileg V×V azon (u,v) elempárjainak S halmaza, ahol u-ra és v-re igaz a fenti kijelentés. A másik definíció szerint ugyane reláció "valójában" a (V, V, S) elemhármas.

Matematikai példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A halmazok körében az elemként való tartalmazás \in vagy a részhalmazként való tartalmazás \subseteq
  • Az egész számok körében az oszthatóság
  • A geometriában az egyenesek párhuzamossága vagy merőlegessége.
  • Ha a természetes számok halmazán értelmezett kisebb relációt (<) szeretnénk definiálni, akkor vennünk kell a természetes számok halmazának (\Bbb N) önmagával vett Decartes-szorzatát (\Bbb N \times \Bbb N) – ami az összes természetes számpárt tartalmazó halmaz – s ennek elemei közül ki kell választani azokat, melyekre teljesül, hogy az első elem kisebb, mint a második ((1,0), (2,1), (2,0), (3,2), (3,1), (3,0), ... ,(n,n-1), (n,n-2), ... ,(n,0), ... és így tovább) s ezzel meg is határoztuk \Bbb N \times \Bbb N azon kérdéses részhalamzát, mely a kisebb relációt definiálja.

Műveletek relációkkal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A relációk – ha elfogadjuk azt a definíciót, hogy bizonyos halmazok direkt szorzatainak részhalmazai – maguk is halmazok, tehát velük halmazműveletek végezhetőek. Másrészről a relációkon értelmezhetőek a szorzás és inverzképzés műveletek.

Relációk tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

ReflexivitásSzimmetriaAntiszimmetriaAszimmetriaTranzitivitásEuklideszi relációDichotómiaTrichotómiaEgyértelműségTotalitásEgységrelációUniverzális relációEkvivalenciarelációRendezésKongruenciareláció

Megjegyzés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Már az általános- és középiskolai képzésben is találkozunk nagyon sok relációval, ugyanakkor a pontos definícióját nem tanuljuk. A precíz matematikai definíció általában a halmazelméletre épít, ebből is látható, hogy a matematika tudományában is igen későn került megfogalmazásra ez a fogalom.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Maurer Gyula, Virág Imre. Bevezetés a struktúrák elméletébe. Kolozsvár: Dacia könyvkiadó (1976) 

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]