Eisenstein-egész

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az Eisenstein-egészek (Euler-egészek) az a+b\omega alakú komplex számok, ahol a, b egész számok és

\omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i

az „első” harmadik egységgyök.

Könnyen látható, hogy az összeadás és a kivonás nem vezet ki az Eisenstein-egészek köréből. A szorzás sem, mivel \omega^2=-\omega-1. Az Eisenstein-egészek így {\mathbf Z}[\omega]-val jelölt gyűrűt alkotnak.

Az Eisenstein-egészek algebrai egész számok, ezek a {\mathbf Q}(\sqrt{-3})=\{a+b\omega:a,b\in{\mathbf Q}\} számtestbe eső algebrai egészek.

Norma[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az a+b\omega Eisenstein-egészhez hozzárendeljük az

N(a+b\omega)=(a+b\omega)(a+b\omega^2)=a^2-ab+b^2

normát. Ez mindig nemnegatív egész szám és csak a=b=0 esetén 0. Továbbá multiplikatív, azaz N(xy)=N(x)N(y) mindig teljesül.

Egységek, asszociáltak, Eisenstein-prímek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hat Eisenstein-egész normája egy: 1,-1,\omega,-\omega,\omega^2,-\omega^2. Ezek az egységek, tehát azok az Eisenstein-egészek, amelyek minden Eisenstein-egész osztói. Ha két Eisenstein-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás asszociáltjainak nevezzük. 1-\omega Eisenstein-prím és 3=-\omega^2(1-\omega)^2. Ha p közönséges prím és p\equiv 2\pmod{3} akkor Eisenstein-prím is. Ha p közönséges prím és p\equiv 1\pmod{3} akkor p=\pi\overline{\pi} egy alkalmas \pi Eisenstein-prímre. Így például, 7=(3+\omega)(2-\omega).

Egyértelmű prímfaktorizáció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Eisenstein-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így {\mathbf Z}[\omega] euklideszi gyűrű: ha a,b\in{\mathbf Z}[\omega], b\neq 0 akkor létezik q és r, hogy a=bq+r és N(r)<N(b). Innen adódik, hogy {\mathbf Z}[\omega]-ban igaz a számelmélet alaptétele is: a felbonthatatlan elemek (azon \pi nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy \pi=xy esetén x vagy y asszociáltja \pi-nek) azonosak a prímelemekkel, azaz Eisenstein-prímekkel (azon \pi nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy \pi\mid xy esetén \pi\mid x vagy \pi\mid y teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző x felírható x=\pi_1\cdots\pi_r alakban, ahol \pi_1,\dots,\pi_r prímelemek, továbbá, ha x=\rho_1\cdots\rho_s egy másik felírás, akkor s=r és a tényezők úgy indexezhetők, hogy j=1,…,r-re \rho_j asszociáltja \pi_j-nek.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Freud-Gyarmati: Számelmélet