Gyűrű (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az algebrában a két kétváltozós művelettel rendelkező R struktúrákat gyűrűnek nevezünk – jelölésben: (R;+,\cdot) –, ha

a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c), és
(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a).

A + jellel jelölt műveletre általában összeadásként, a \cdot jellel jelölt műveletre pedig szorzásként hivatkozunk, ez azonban nem jelenti azt, hogy a gyűrű elemei számok, illetve hogy ezek a műveletek csak a szokásos, számokon értelmezett összeadás és szorzás műveletek lehetnének, hiszen ezt a fenti definícióban nem követeltük meg. Szokás ezért az gyűrű Abel-csoportját additív csoportnak, a félcsoportját pedig multiplikatív csoportnak is nevezni. Általában nem írjuk ki a szorzópontot, tehát a\cdot b helyett a b szerepel.

Ha (R;\cdot) kommutatív akkor kommutatív gyűrűről beszélünk, ha pedig (R;\cdot) egységelemes, egységelemes gyűrűről.

Ha nullától különböző elemek szorzata ismét nullától különböző, akkor zérusosztómentes gyűrűről beszélünk. A kommutatív, zérusosztómentes, egységelemes gyűrűket integritástartományoknak nevezzük.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Az egész számok halmaza az összeadás és szorzás műveletekkel egységelemes, kommutatív gyűrűt alkot.
  • Az n×n-es mátrixok, ha n>1, egységelemes, de nem kommutatív gyűrűt alkotnak.
  • Bármely gyűrű, melyben érvényes az xn=x azonosság az összes n>1 egész kitevőre, N. Jacobson egy eredménye szerint kommutatív [1].

Részgyűrű, ideál[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy  R gyűrű tartóhalmazának egy részhalmazát  R egy részgyűrűjének hívjuk, ha az adott részhalmaz is gyűrűt alkot az  R -beli összeadás, és szorzás megszorítására. Ellenőrzésként a legfontosabb, hogy az adott művelet ne vezessen ki a gyűrűből.

Egy  R gyűrű tartóhalmazának egy  I részhalmazát  R egy balideáljának nevezzük, ha bármely két  I -beli elem különbsége (azaz az összeadás inverzét elvégezve) is  I -beli, valamint egy tetszőleges  R elem megszorozva egy tetszőleges  I -beli elemmel balról, az eredmény szintén  I -ben lesz. Röviden kifejezve komplexusműveletekkel:  I-I \subseteq I és  RI \subseteq I . Egy részhalmazt jobbideálnak nevezünk, ha a szorzás azonossága jobbról igaz, azaz  IR \subseteq I . Amennyiben egy részhalmaz bal-, és jobbideál egyszerre, akkor ideálnak nevezzük. Kommutatív gyűrűben nyilván minden bal-, és jobbideál egyben ideál is, hiszen a szorzás ekkor felcserélhető. Az ideáloknak fontos szerepük van testbővítéseknél, ekkor egy irreducibilis polinom által generált ideál szerinti faktorgyűrűt vizsgálunk, ami test lesz, hiszen a szóban forgó ideál maximális. (Ezek viszonylag egyszerűen következnek a definíciókból).

Példák részgyűrűkre, és ideálokra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egész számok körében a páros számok részgyűrűt alkotnak, hiszen bármely két páros szám összege, és szorzata is páros. Ezzel szemben a páratlan számok nem alkotnak részgyűrűt, hiszen két páratlan szám összege már páros, azaz az összeadás már kivezet a páratlan számok köréből.

A pozitív egész számok körében, egy adott szám többszörösei ideált alkotnak. Tekintsük például a 8 többszöröseit, ekkor az ideálban lesznek 0, 8, 16, 24, 32, 40, stb. Nyilván két ilyen szám különbsége is 8-nak a többszöröse, tehát eleme az ideálnak, valamint akármelyik egész számot szorozva 8-cal, 8-nak ismét egy többszörösét kapom, tehát ez is eleme az ideálnak. Természetesen akármelyik másik egész számra végigkövethető ugyanez.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Maurer I. Gyula - Szigeti J.: On Rings Satysfiing Certain Polinomial Identities. (pdf, angol). Mathematica Pannonica I./2. (1990), 40-45. Hozzáférés: 2012.04.22.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
  • Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)