Geometria

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Geometria-tábla, 1728-ból a Cyclopaediaban.

A geometria a matematika térbeli törvényszerűségek, összefüggések leírásából kialakult ága; maga a geometria szó görögül eredetileg földmérést jelentett. Kialakulásában és több eredményének felfedezésében nagy szerepet játszott az ókori keleti kollektív munkára épült gazdasági rendszer (innen ered a terület- és térfogatszámítás), és a szintén keleti eredetű, de a görögök által is művelt csillagászat is.

A geometria az i. e. V. század körül azonban lassan-lassan elszakadt tapasztalati gyökereitől, az eleata filozófusok (leginkább Zénón) és olyan tudósok, mint Thalész hatására. A geometria az első tudományág, amit deduktív módon, vagyis axiómarendszer formájában építettek fel (ez elsősorban Euklidész nevéhez fűződik).

Az axiómákat a görög filozófusoktól eredeztethetően úgy szokás felfogni, mint olyan egyszerű és nyilvánvaló empirikus vagy intuitív tapasztalatok matematikai megfogalmazásait, a tér olyan alapvető tulajdonságait, melyekben épeszű ember nem kételkedik. E felfogás nem alaptalan, de a matematika sok művelője (kutatók, oktatók) mára túlhaladottnak tekinti. Azt mondhatjuk, hogy tulajdonképpen sokkal inkább vagy legalább annyira jellemző a geometriára az, hogy axiomatikus, mint az, hogy a „fizikai” tér leírásával foglalkozna. Ezek a kérdések azonban olyannyira bonyolultak és szerteágazóak, hogy szócikkünk történeti része külön kell hogy foglalkozzon vele. Arra a kérdésre, hogy mi tulajdonképp is a geometria, manapság lehetetlen egy mondatban válaszolni.

Az axiómák segítségével a geometria által vizsgált dolgokkal, pl. a pontokkal, egyenesekkel, görbékkel, felületekkel és testekkel kapcsolatos logikus következtetések vonhatóak le.

[szerkesztés] Története

Közvetlen, gyakorlati alkalmazása miatt a geometria a matematika elsőként kifejlődő ága volt, és amint említettük, az első ismeretterület volt, melyet sikerült, több próbálkozás után, axiomatikus elvekre építeni. A görögök számos szerkesztés jellegű kérdéssel foglalkoztak. A következő jelentős lépésre egy évezreddel később, az analitikus geometria felfedezésével került sor, melyben megjelentek olyan fogalmak, mint a koordináta rendszerek, és ahol a pontokat számpárokkal vagy számhármasokkal írták le. Ezen új nézőpont is segíthetett abban, hogy kifejlődjenek az euklideszitől eltérő geometriák is.

Mintegy kétezer éven át Euklidesz axiómarendszere uralkodónak számított, és nemcsak a geometria, de az összes tudomány bizonyos értelemben mintaképnek tekintette. Carl Friedrich Gauss, Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij, Bolyai János, Henri Poincaré, Bernhard Riemann, és mások munkáinak eredményeképp az 1800-as évek közepén megszülettek a nemeuklideszi geometriák.

A geometria legújabb ágai a tér folytonosságát látszanak többé-kevésbé feladni: ide tartozik a véges geometria és a diszkrét geometria. A véges geometria tulajdonképp inkább a kombinatorika, mint a geometria ága, a diszkrét geometria azonban a valós életben is előforduló érdekes vagy fontos problémákkal (pakolási/lefedési problémák, térinformatikai, térképészeti eredetű kérdések) és azok megoldásával foglalkozik.

[szerkesztés] Részterületei, felépítése

A geometria központi fogalma az illeszkedés. Az elemi geometriában az egybevágóság, hasonlóság és általában a transzformáció fogalmai alapvetőek. Két alakzat egybevágó, ha valamilyen mozgatással (szaknyelven egybevágósági transzformációval), például eltolással, tengely körüli forgatással, síkra való tükrözéssel* stb. egymásba vihetőek.

(* a síkra tükrözés valójában nem mozgatás, bár egybevágóság.)

A nemeuklideszi geometriák felfedezésével megkezdődött a geometria elszakadása tapasztalati gyökereitől. Ezeknek és a modern algebrai felfedezéseknek (elsősorban a csoportelmélet) köszönhetően a geometria egy új meghatározása és paradigmája született, az ún. erlangeni program. Az erlengeni program szerint a geometria ágai olyan transzformációk csoportjainak leírása, tanulmányozása (ld. transzformációcsoport), melyek mindegyikéra igaz, hogy a transzformált elemek valamilye, a geometria illető ágára nézve jellemző tulajdonságait helybenhagyja. Az egybevágósági geometria például a távolságot megtartó transzformációk csoportjának elmélete, a hasonlósági geometria a pontok osztóviszonyát, azaz távolságuk arányát nem válltoztató transzformációk csoportjának elmélete, a topológia az alakzatok folytonosságát meghagyó leképezések csoportját tanulmányozza stb. (ld. lentebb).

A geometria legújabb ágai a véges és diszkrét geometriák, melyekkel azonban inkább a kombinatorika foglalkozik.

A differenciálgeometria a topologikus sokaságokon megadható differenciálstruktúrával foglalkozik. A differenciálható sokaságok olyan terek, melyek bármely pontjuk környezetében egy vektortérrel diffeomorfak (azaz differenciálható struktúra szempontjából „egyformák”), azonban globálisan azoktól lényegesen különbözhetnek. Fontos részterület a (kvázi-) Riemann-geometria, mely a felületelmélet formájában a mérnöki tudományokban (héjszerkezetek tervezése), valamint az általános relativitáselméleten keresztül a modern fizikában nyer alkalmazást. A modern fizika mezőelméleteinek precíz matematikai megfogalmazása a nyalábok és konnexiók elméletét használja. Ezek az eszközök a legmodernebb fizikai elméleteknek (brane elmélet, szuperhúrok, szupergravitáció) is alapját képezik.