Egybevágóság

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az egybevágóság geometriai fogalom. Két geometriai alakzat akkor egybevágó, ha távolságtartó transzformációval leképezhetőek egymásra, azaz ha eltolással, forgatással, tükrözéssel fedésbe hozhatók. A geometria Hilbert-féle axiómarendszerében az egybevágóság alapfogalom. Halmazelméleti értelemben az egybevágóság ekvivalenciareláció a térbeli alakzatok halmazán.

Sokszor röviden „egybevágóságnak” nevezik a távolságtartó transzformációkat is.

Jelölése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

a és b szakaszok egybevágóságát a következőképpen jelöljük:

a \cong b vagy b \cong a

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Legyenek a, b tetszőleges egyenesek, A, B az a egyenes tetszőleges pontjai, A' pedig a b egyenes tetszőleges pontja. Ekkor a b egyenesen az A' pont egy adott oldalán pontosan egy olyan B' pont van, hogy AB \cong A'B' teljesül.
  • Minden szakasz egybevágó saját magával, azaz tetszőleges A, B pontokra teljesül, hogy AB \cong AB.
  • Ha az AB szakasz egybevágó az A'B' szakasszal is és az A''B'' szakasszal is, akkor az A'B' szakasz egybevágó az A''B'' szakasszal.
  • Legyenek AB, BC az a egyenesre illeszkedő szakaszok úgy, hogy az AB, BC szakaszoknak a B pont az egyetlen közös pontjuk, legyenek továbbá A'B', B'C' az a' egyenesre illeszkedő szakaszok úgy, hogy az A'B', B'C' szakaszoknak a B' pont az egyetlen közös pontjuk. Ekkor ha AB \cong A'B' és BC \cong B'C', akkor AC \cong A'C'.
  • Legyen \angle AOB egy tetszőleges szög az \alpha síkon, ahol a OA és OB a szög szárait meghatározó félegyenesek, legyen továbbá a' a \alpha' sík egy tetszőleges egyenese és jelölje O'A' az a' valamely O' pontjából kiinduló egyik félegyenest. Ekkor az \alpha' síkon pontosan egy olyan, az O' pontból kiinduló O'B' félegyenes létezik, amelyre az \angle AOB\cong \angle A'O'B' (vagy \angle AOB\cong \angle B'O'A') egybevágóság teljesül és a \angle A'O'B' szög belső pontjai az a' egyenes egy előre megadott oldalán fekszenek.
  • Minden szög egybevágó saját magával, azaz tetszőleges \angle AOB szögre \angle AOB\cong \angle AOB teljesül.
  • Ha az \angle AOB szög egybevágó a \angle A'O'B' szöggel is és az \angle A''O''B'' szöggel is, akkor a \angle A'O'B' szög egybevágó az \angle A''O''B'' szöggel.
  • Legyen ABC és A'B'C' két tetszőleges háromszög. Ha teljesülnek a AB \cong A'B', AC \cong A'C' és \angle BAC\cong \angle B'A'C' egybevágóságok, akkor az \angle ABC\cong \angle A'B'C' és \angle ACB\cong \angle A'C'B' egybvágóságok is teljesülnek.

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egybevágóság fogalmát Euklidész Elemek című munkájában még az "egyenlő és hasonló" kifejezés írja körül.[1] A geometria tanításának ez az euklideszi mű maradt az alapja egészen Hilbert Die Grundlagen der Geometrie című tanulmányának megjelenéséig. Hilbert az egybevágóságot már a geometria egyik alapfogalmaként kezeli, és ennek az alapfogalomnak a tulajdonságait az általa javasolt axiómarendszerben az úgynevezett egybevágósági axiómák írják le. Hilbert óta a geometria és ezen belül az euklideszi geometria több különböző axiómarendszerét is kidolgozták[2], ezekben már az egybevágóság nem feltétlenül alapfogalom, de ezekben az esetekben a Hilbert-féle egybevágósági axiómák természetesen levezethetőek az adott axiómarendszer axiómáiból.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Lásd Euklidész: Elemek I. könyv Mauer Gyula fordításában és jegyzeteivel a MEK oldalán
  2. Lásd például Tarski axiómarendszerét.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]