Eltolás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Eltolás

A geometriában az eltolás az egybevágósági transzformációk közé tartozik. Ha a sík vagy a tér minden pontjának képe ugyanabban az irányban, ugyanakkora távolságban fekszik, akkor a transzformáció eltolás. Ha adva van a v vektor, akkor a vele való eltolásban minden P pont P1 képére teljesül, hogy a PP1 vektor egyenlő v-vel. Az identitás is felfogható eltolásnak; ekkor az eltolásvektor a nullvektor.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • antiszimmetria
  • nincs fixpontja, kivéve, ha identitás
  • az eltolás irányával párhuzamos egyenesek, síkok invariánsak
  • az egyenesek, síkok, … párhuzamosak képükkel
  • megtartja a körüljárási irányt
  • több egymás utáni eltolás szorzata egy eltolással helyettesíthető
  • előáll két, az eltolás irányára merőleges tengelyű (síkra) tükrözés szorzataként, amely tengelyek (síkok) távolsága egyenlő az eltolási vektor hosszának felével
  • a síkban eltolás és forgatás szorzata forgatás; a térben csavarmozgás
  • egy adott sík vagy tér forgatásai csoportot alkotnak
  • az eltolás inverze az ellentett vektorral vett eltolás
  • megadható eltolásvektorral vagy pont - pont képe párral

Algebra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az n dimenziós tér eltolásai Abel-csoportot alkotnak, amiben a művelet az eltolások egymás utáni elvégzése. Ebben a csoportban inkább az additív jelölést használják, mert így elmondható, hogy az eltolások összegének vektora az összeadandó eltolások vektorainak összege.

Több is igaz. Az n dimenziós K test fölötti tér eltolásai vektorteret alkotnak, hiszen egy eltolást megadhatunk egy vektorral. Ezért az eltolások halmazának struktúrája az irányított szakaszok osztályainak struktúrájával ekvivalens: vektortér, ahol a skalárok a K test elemei. Ennek a vektortérnek a dimenziója n, ugyanúgy, mint a kiindulási téré.

Fontos megjegyezni, hogy valódi eltolás nem lineáris leképezés, mert a nullvektort nem hagyja helyben.

Eltolás homogén koordinátákban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a derékszögű koordinátákhoz hozzáveszünk még egy koordinátát, és azonosnak tekintjük azokat a pontokat, amik skalárszorosai egymásnak. Tehát homogén koordinátákban [x_0:x_1:...:x_n]=[\lambda x_0: \lambda x_1:...:\lambda x_n].

A homogén koordináták használatával

  • kezelhetővé válik az n dimenziós tér projektív lezártja
  • a geometriai transzformációk mátrixszorzással hajthatók végre: egységesen lehet kezelni az eltolást és a lineáris leképezéseket
  • a transzformációk több dimenzióra is általánosíthatók
  • több transzformáció egymásutánja a megfelelő mátrixok szorzatával helyettesíthető

Mindezekkel csökken a számítási igény, ami fontos például a képalkotásban.

Három dimenzió esetén az eltolás homogén koordinátákban megadott mátrixa így néz ki:

 T_{\mathbf{v}} = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & v_x \\
0 & 1 & 0 & v_y \\
0 & 0 & 1 & v_z \\
0 & 0 & 0 & 1 
\end{bmatrix}
. \!

ahol v_x,v_y,v_z rendre a v eltolásvektor x,y,z koordinátája.

A képalkotó eljárásokban balról szokták szorozni a mátrixokat: ha az A mátrixot szorozzák az x vektorral, akkor az xA szorzatot veszik. Ezért az eltolásvektor koordinátái az utolsó sorba kerülnek:

 T_{\mathbf{v}} = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
v_x & v_y & v_z & 1 
\end{bmatrix}
. \!

A sík eltolásai reprezentálhatók a komplex számok összeadásával, a tér eltolásai pedig a kvaterniók segítségével.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]