Fixpont

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában egy leképezés fixpontjának nevezünk egy olyan pontot, amelyet a leképezés helyben hagy. Egy leképezésnek lehet nulla, egy, véges sok, vagy végtelen sok fixpontja. Ha egy leképezés értelmezési tartományának minden pontja fixpont, akkor a leképezést identikus leképezésnek, vagy identitásnak hívjuk.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen \phi : X\rightarrow  Y egy leképezés, és legyen x \in X. Azt mondjuk, hogy x fixpontja \phi -nek, ha \phi (x)=x.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A sík egy nullától különböző v vektorral való eltolásának nincs fixpontja.
  • A valós számokon értelmezett y=x^2 függvénynek fixpontja a 0 és az 1, hiszen 0^2=0 és 1^2=1.
  • Jelölje D a végtelenszer differenciálható valós-valós függvények halmazán értelmezett differenciáloperátort, amely minden függvényt a deriváltjára képez le. Akkor D-nek fixpontja az e^x függvény.

Fixpontokkal kapcsolatos nevezetes tételek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fixpontiteráció:

x_{n+1}=f(x_n)

a Banach-fixponttételen alapul.

  • Minden olyan hasonlóságnak, ami nem egybevágóság, van fixpontja.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]