Fixpont

A matematikában egy leképezés fixpontjának nevezünk egy olyan pontot, amelyet a leképezés helyben hagy. Egy leképezésnek lehet nulla, egy, véges sok, vagy végtelen sok fixpontja. Ha egy leképezés értelmezési tartományának minden pontja fixpont, akkor a leképezést identikus leképezésnek, vagy identitásnak hívjuk.

Definíció

Legyen $\phi : X\rightarrow Y$ egy leképezés, és legyen $x \in X$. Azt mondjuk, hogy $x$ fixpontja $\phi$ -nek, ha $\phi (x)=x$.

Példák

• A sík egy e egyenesre való tükrözésének fixpontja e valamennyi pontja.

• A sík egy nullától különböző v vektorral való eltolásának nincs fixpontja.

• A valós számokon értelmezett $y=x^2$ függvénynek fixpontja a 0 és az 1, hiszen $0^2=0$ és $1^2=1$.

• Jelölje D a végtelenszer differenciálható valós-valós függvények halmazán értelmezett differenciáloperátort, amely minden függvényt a deriváltjára képez le. Akkor D-nek fixpontja az $e^x$ függvény.

Fixpontokkal kapcsolatos nevezetes tételek

• Brouwer fixpont-tétele azt mondja ki, hogy $\mathbb R^n$-ben a zárt egységgömb minden önmagára vett folytonos leképezésének van fixpontja.
• Schauder-fixponttétele szerint minden olyan leképezésnek van fixpontja, ami egy véges dimenziós Banach-tér kompakt, konvex részhalmazát önmagába képezi.
• A Banach-fixponttétel azt állítja, hogy egy teljes metrikus tér kontrakciójának, távolságot nem növelő leképezésének van fixpontja.

A fixpontiteráció:

$x_{n+1}=f(x_n)$

a Banach-fixponttételen alapul.

• Minden olyan hasonlóságnak, ami nem egybevágóság, van fixpontja.