Egyenes

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Az egyenes a pont és a sík mellett a geometria egyik alapfogalma.

[szerkesztés] Az egyenes definiálhatóságáról

Euklidész Kr. e. 300 körül megjelent művében, az Elemekben először a vonalat definiálta:

„A vonal szélesség nélküli hosszúság”

és csak ezután következik az egyenes:

„Egyenes vonal az, amelyik a rajta levő pontokhoz viszonyítva egyenlően fekszik.”[1]

Ez a megfogalmazás Euklidész azon törekvéséből fakad, hogy mindent, amivel foglalkozik pontosan meghatározzon, minden logikai rést lefedjen. Manapság az egyenest az elemi geometria axiomatikus tárgyalásában (például a Hilbert-féle axiómarendszerben) alapfogalomnak tekintjük, azaz nem vezetjük vissza további definícióval más fogalmakra.

Másrészt az elemi geometria modelljeiben természetesen meg kell adnunk az egyenesnek megfelelő entitások halmazát, például a koordinátamodellben mint egy háromdimenziós vektortér egydimenziós altereinek eltoltjainak halmazát.

[szerkesztés] Tulajdonságai

Habár nincs definiálva, mindenkiben él egy kép az egyenesről, amely szerint az egyenes egy pontokból álló 1 dimenziós objektum, azaz például a tér egy irányában végtelen hosszú, a többiben kiterjedés nélküli. A geometriában az egyenes következő tulajdonságait használjuk ki:

  • Két pont egyértelműen meghatároz egy egyenest, amiből következik, hogy két különböző egyenesnek nem lehet egynél több közös pontja.
  • Ha egy síknak és egy egyenesnek legalább két közös pontja van, akkor az egyenes illeszkedik az adott síkra.
  • Ha A,B,C egy egyenes pontjai és B az A és C pontok között fekszik, akkor egyszersmind a B pont a C és A pontok között is fekszik.
  • Ha A,C egy egyenes pontjai, akkor létezik olyan B pontja az egyenesnek, amely az A és C pontok között fekszik, és egyszersmind létezik olyan D pontja, hogy a C pont az A és D pontok között is fekszik.
  • Az egyenes tetszőleges három pontja közül pontosan egy olyan pont van, amely a másik két pont között fekszik.

[szerkesztés] Egyenes megadása az analitikus geometriában

Egy egyenes egyenlete
olyan egyenlet, melyet az egyenes minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van az egyenesen.
  • A síkban az egyenes egyenletének általában kétféle alakját használjuk (Descartes-koordinátarendszerben):
    • Ha adott az egyenes egy pontja (x0;y0) és egy normálvektora[2]: Ax + By + C = 0, ahol A és B az egyenes normálvektorának első és második koordinátáját jelölik[3], a C konstansra pedig − C = Ax0 + By0 teljesül.
    • Ha az egyenesnek egy pontja (x0;y0) és a meredeksége (vagy iránytangense)[4] adott: y = mx + b, ahol m a meredekség, a b konstansra pedig b = y0 − mx0 teljesül.
  • A térben már kevésbé szép, ekkor egyenletrendszerekkel írhatjuk le:
    • Adott pont (x0;y0;z0) és irányvektor[5] esetén: x=x_0+tA;\ y=y_0+tB;\ z=z_0+tC, ahol A, B és C az irányvektor koordinátái, a t pedig egy valós paraméter.
    • Kicsit átalakítva az előző egyenlet rendszert (amennyiben ABC\ne 0, azaz az irányvektor egyik koordinátája sem 0, nem párhuzamos egyik koordináta-tengellyel sem): (t=)\ \frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}
  • Az n dimenziós térben az egyenest egy n változós egyenletrendszer adja meg, amiben van egy független paraméter

[szerkesztés] Lásd még

[szerkesztés] Hivatkozások

[szerkesztés] Külső hivatkozások

[szerkesztés] Jegyzetek

  1. ^ Mayer Gyula fordításában
  2. ^ Olyan vektor, ami merőleges az egyenesre
  3. ^ Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz A2 + B2 = 1. Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.
  4. ^ Az egyenes és az x-tengely pozitív fele által bezárt szög (irányszög) tangense. Más megközelítésből: azt mondja meg, hogy az egyenes mennyit halad felfelé (negatív érték esetén lefelé), amíg 1-et megy jobbra. Függőleges egyeneseknél nincs értelmezve.
  5. ^ Olyan vektor, ami párhuzamos az egyenessel

A lap eredeti címe: „http://hu.wikipedia.org/wiki/Egyenes”