Egyenes

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az egyenes a pont és a sík mellett a geometria egyik alapfogalma.

Az egyenes definiálhatóságáról[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Euklidész Kr. e. 300 körül megjelent művében, az Elemekben először a vonalat definiálta:

A vonal szélesség nélküli hosszúság

és csak ezután következik az egyenes:

Egyenes vonal az, amelyik a rajta levő pontokhoz viszonyítva egyenlően fekszik.[1]

Ez a megfogalmazás Euklidész azon törekvéséből fakad, hogy mindent, amivel foglalkozik, pontosan meghatározzon, minden logikai rést lefedjen. Manapság az egyenest az elemi geometria axiomatikus tárgyalásában (például a Hilbert-féle axiómarendszerben) alapfogalomnak tekintjük, azaz nem vezetjük vissza további definícióval más fogalmakra.

Másrészt az elemi geometria modelljeiben természetesen meg kell adnunk az egyenesnek megfelelő entitások halmazát, például a koordinátamodellben mint egy háromdimenziós vektortér egydimenziós altereinek eltoltjainak halmazát.

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Habár nincs definiálva, mindenkiben él egy kép az egyenesről, amely szerint az egyenes egy pontokból álló 1 dimenziós objektum, azaz például a tér egy irányában végtelen hosszú, a többiben kiterjedés nélküli. A geometriában az egyenes következő tulajdonságait használjuk ki:

  • Két pont egyértelműen meghatároz egy egyenest, amiből következik, hogy két különböző egyenesnek nem lehet egynél több közös pontja.
  • Ha egy síknak és egy egyenesnek legalább két közös pontja van, akkor az egyenes illeszkedik az adott síkra.
  • Ha A, B, C egy egyenes pontjai és B az A és C pontok között fekszik, akkor egyszersmind a B pont a C és A pontok között is fekszik.
  • Ha A, C egy egyenes pontjai, akkor létezik olyan B pontja az egyenesnek, amely az A és C pontok között fekszik, és egyszersmind létezik olyan D pontja, hogy a C pont az A és D pontok között is fekszik.
  • Az egyenes tetszőleges három pontja közül pontosan egy olyan pont van, amely a másik két pont között fekszik.

Egyenes megadása az analitikus geometriában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy egyenes egyenlete
olyan egyenlet, melyet az egyenes minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van az egyenesen.
  • A síkban az egyenes egyenletének általában háromféle alakját használjuk (Descartes-féle koordináta-rendszerben):
    • Ha adott az egyenes egy pontja (x_0;y_0) és egy (A;B) normálvektora[2]: Ax+By=Ax_0+By_0, [3].
    • Ha az egyenesnek egy pontja (x_0;y_0) és a meredeksége (vagy iránytangense)[4] m adott: y=mx+b, ahol a b konstansra b=y_0-mx_0 teljesül.
    • Ha adott az egyenes két pontja P_1(x_1;y_1) és P_2(x_2; y_2), akkor az egyenes bármely P(x; y) pontja meghatározható y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) + y_1
  • A térben már kevésbé szép, ekkor egyenletrendszerekkel írhatjuk le:
    • Ha adott az egyenes egy pontja (x_0;y_0;z_0) és egy (A;B;C) irányvektora[5]: x=x_0+tA;\ y=y_0+tB;\ z=z_0+tC, ahol a t valós paraméter.
    • Kicsit átalakítva az előző egyenletrendszert (amennyiben ABC\ne 0, azaz az irányvektor egyik koordinátája sem 0, nem párhuzamos egyik koordináta-tengellyel sem): (t=)\ \frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}
  • Az n dimenziós térben az egyenest egy n változós egyenletrendszer adja meg, amiben van egy független paraméter

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Mayer Gyula fordításában
  2. Olyan vektor, ami merőleges az egyenesre
  3. Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz A^2+B^2=1. Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.
  4. Az egyenes és az x-tengely pozitív fele által bezárt szög (irányszög) tangense. Más megközelítésből: azt mondja meg, hogy az egyenes mennyit halad felfelé (negatív érték esetén lefelé), amíg 1-et megy jobbra. Függőleges egyeneseknél nincs értelmezve.
  5. Olyan vektor, ami párhuzamos az egyenessel