Egyenes
Az egyenes a pont és a sík mellett a geometria egyik alapfogalma.
Az egyenes definiálhatóságáról [szerkesztés]
Euklidész Kr. e. 300 körül megjelent művében, az Elemekben először a vonalat definiálta:
- „A vonal szélesség nélküli hosszúság”
és csak ezután következik az egyenes:
- „Egyenes vonal az, amelyik a rajta levő pontokhoz viszonyítva egyenlően fekszik.”[1]
Ez a megfogalmazás Euklidész azon törekvéséből fakad, hogy mindent, amivel foglalkozik pontosan meghatározzon, minden logikai rést lefedjen. Manapság az egyenest az elemi geometria axiomatikus tárgyalásában (például a Hilbert-féle axiómarendszerben) alapfogalomnak tekintjük, azaz nem vezetjük vissza további definícióval más fogalmakra.
Másrészt az elemi geometria modelljeiben természetesen meg kell adnunk az egyenesnek megfelelő entitások halmazát, például a koordinátamodellben mint egy háromdimenziós vektortér egydimenziós altereinek eltoltjainak halmazát.
Tulajdonságai [szerkesztés]
Habár nincs definiálva, mindenkiben él egy kép az egyenesről, amely szerint az egyenes egy pontokból álló 1 dimenziós objektum, azaz például a tér egy irányában végtelen hosszú, a többiben kiterjedés nélküli. A geometriában az egyenes következő tulajdonságait használjuk ki:
- Két pont egyértelműen meghatároz egy egyenest, amiből következik, hogy két különböző egyenesnek nem lehet egynél több közös pontja.
- Ha egy síknak és egy egyenesnek legalább két közös pontja van, akkor az egyenes illeszkedik az adott síkra.
- Ha
egy egyenes pontjai és
az
és
pontok között fekszik, akkor egyszersmind a
pont a
és
pontok között is fekszik. - Ha
egy egyenes pontjai, akkor létezik olyan
pontja az egyenesnek, amely az
és
pontok között fekszik, és egyszersmind létezik olyan
pontja, hogy a
pont az
és
pontok között is fekszik. - Az egyenes tetszőleges három pontja közül pontosan egy olyan pont van, amely a másik két pont között fekszik.
Egyenes megadása az analitikus geometriában [szerkesztés]
- Egy egyenes egyenlete
- olyan egyenlet, melyet az egyenes minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van az egyenesen.
- A síkban az egyenes egyenletének általában háromféle alakját használjuk (Descartes-féle koordináta-rendszerben):
- Ha adott az egyenes egy pontja
és egy normálvektora[2]:
, ahol A és B az egyenes normálvektorának első és második koordinátáját jelölik[3], a C konstansra pedig
teljesül. - Ha az egyenesnek egy pontja
és a meredeksége (vagy iránytangense)[4] adott:
, ahol m a meredekség, a b konstansra pedig
teljesül. - Ha az egyenes két pontja
adott, akkor az egyenes bármely
pontja meghatározható 
- Ha adott az egyenes egy pontja
- A térben már kevésbé szép, ekkor egyenletrendszerekkel írhatjuk le:
- Adott pont
és irányvektor[5] esetén:
, ahol A, B és C az irányvektor koordinátái, a t pedig egy valós paraméter. - Kicsit átalakítva az előző egyenletrendszert (amennyiben
, azaz az irányvektor egyik koordinátája sem 0, nem párhuzamos egyik koordináta-tengellyel sem): 
- Adott pont
- Az n dimenziós térben az egyenest egy n változós egyenletrendszer adja meg, amiben van egy független paraméter
Lásd még [szerkesztés]
Hivatkozások [szerkesztés]
- David Hilbert: Grundlagen der Geometrie, B.G. Taubner, Leizig, 2. kiadás, 1903
- Hajós György: Bevezetés a geometriába, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 10. kiadás, 1994, ISBN 963-18-5622-4
- Strommer Gyula: Geometria, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2. kiadás, 1993, ISBN 963-18-5312-8
Források [szerkesztés]
- Line szócikk a MathWorld lapján
- Euklidész: Elemek görögül és angolul
- Euklidész: Elemek 1. könyv magyarul
Jegyzetek [szerkesztés]
- ↑ Mayer Gyula fordításában
- ↑ Olyan vektor, ami merőleges az egyenesre
- ↑ Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz
. Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik. - ↑ Az egyenes és az x-tengely pozitív fele által bezárt szög (irányszög) tangense. Más megközelítésből: azt mondja meg, hogy az egyenes mennyit halad felfelé (negatív érték esetén lefelé), amíg 1-et megy jobbra. Függőleges egyeneseknél nincs értelmezve.
- ↑ Olyan vektor, ami párhuzamos az egyenessel


egy egyenes pontjai és
az
és
pontok között fekszik, akkor egyszersmind a
egy egyenes pontjai, akkor létezik olyan
pontja, hogy a
és egy normálvektora
, ahol A és B az egyenes normálvektorának első és második koordinátáját jelölik
teljesül.
, ahol m a meredekség, a b konstansra pedig
teljesül.
adott, akkor az egyenes bármely
pontja meghatározható 
és irányvektor
, ahol A, B és C az irányvektor koordinátái, a t pedig egy valós paraméter.
, azaz az irányvektor egyik koordinátája sem 0, nem párhuzamos egyik koordináta-tengellyel sem): 
. Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.