Egyenes

Az egyenes a pont és a sík mellett a geometria egyik alapfogalma.

Az egyenes definiálhatóságáról

Euklidész Kr. e. 300 körül megjelent művében, az Elemekben először a vonalat definiálta:

„A vonal szélesség nélküli hosszúság”

és csak ezután következik az egyenes:

„Egyenes vonal az, amelyik a rajta levő pontokhoz viszonyítva egyenlően fekszik.”

Ez a megfogalmazás Euklidész azon törekvéséből fakad, hogy mindent, amivel foglalkozik pontosan meghatározzon, minden logikai rést lefedjen. Manapság az egyenest az elemi geometria axiomatikus tárgyalásában (például a Hilbert-féle axiómarendszerben) alapfogalomnak tekintjük, azaz nem vezetjük vissza további definícióval más fogalmakra.

Másrészt az elemi geometria modelljeiben természetesen meg kell adnunk az egyenesnek megfelelő entitások halmazát, például a koordinátamodellben mint egy háromdimenziós vektortér egydimenziós altereinek eltoltjainak halmazát.

Tulajdonságai

Habár nincs definiálva, mindenkiben él egy kép az egyenesről, amely szerint az egyenes egy pontokból álló 1 dimenziós objektum, azaz például a tér egy irányában végtelen hosszú, a többiben kiterjedés nélküli. A geometriában az egyenes következő tulajdonságait használjuk ki:

• Két pont egyértelműen meghatároz egy egyenest, amiből következik, hogy két különböző egyenesnek nem lehet egynél több közös pontja.
• Ha egy síknak és egy egyenesnek legalább két közös pontja van, akkor az egyenes illeszkedik az adott síkra.
• Ha $A, B, C$ egy egyenes pontjai és $B$ az $A$ és $C$ pontok között fekszik, akkor egyszersmind a $B$ pont a $C$ és $A$ pontok között is fekszik.
• Ha $A, C$ egy egyenes pontjai, akkor létezik olyan $B$ pontja az egyenesnek, amely az $A$ és $C$ pontok között fekszik, és egyszersmind létezik olyan $D$ pontja, hogy a $C$ pont az $A$ és $D$ pontok között is fekszik.
• Az egyenes tetszőleges három pontja közül pontosan egy olyan pont van, amely a másik két pont között fekszik.

Egyenes megadása az analitikus geometriában

Egy egyenes egyenlete

olyan egyenlet, melyet az egyenes minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van az egyenesen.

• A síkban az egyenes egyenletének általában háromféle alakját használjuk (Descartes-féle koordináta-rendszerben):
  • Ha adott az egyenes egy pontja $(x_0;y_0)$ és egy normálvektora: $Ax+By+C=0$, ahol A és B az egyenes normálvektorának első és második koordinátáját jelölik, a C konstansra pedig $-C=Ax_0+By_0$ teljesül.
  • Ha az egyenesnek egy pontja $(x_0;y_0)$ és a meredeksége (vagy iránytangense) adott: $y=mx+b$, ahol m a meredekség, a b konstansra pedig $b=y_0-mx_0$ teljesül.
  • Ha az egyenes két pontja $P_1(x_1;y_1), P_2(x_2; y_2)$ adott, akkor az egyenes bármely $P(X; Y)$ pontja meghatározható $Y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(X-x_1) + y_1$
• A térben már kevésbé szép, ekkor egyenletrendszerekkel írhatjuk le:
  • Adott pont $(x_0;y_0;z_0)$ és irányvektor esetén: $x=x_0+tA;\ y=y_0+tB;\ z=z_0+tC$, ahol A, B és C az irányvektor koordinátái, a t pedig egy valós paraméter.
  • Kicsit átalakítva az előző egyenletrendszert (amennyiben $ABC\ne 0$, azaz az irányvektor egyik koordinátája sem 0, nem párhuzamos egyik koordináta-tengellyel sem): $(t=)\ \frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}$
• Az n dimenziós térben az egyenest egy n változós egyenletrendszer adja meg, amiben van egy független paraméter

Lásd még

• Hilbert-féle axiómarendszer
• Koordinátageometria

Hivatkozások

• David Hilbert: Grundlagen der Geometrie, B.G. Taubner, Leizig, 2. kiadás, 1903
• Hajós György: Bevezetés a geometriába, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 10. kiadás, 1994, ISBN 963-18-5622-4
• Strommer Gyula: Geometria, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2. kiadás, 1993, ISBN 963-18-5312-8

Források

• Line szócikk a MathWorld lapján
• Euklidész: Elemek görögül és angolul
• Euklidész: Elemek 1. könyv magyarul