Egyenes
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.
Az egyenes a pont és a sík mellett a geometria egyik alapfogalma.
[szerkesztés] Az egyenes definiálhatóságáról
Euklidész Kr. e. 300 körül megjelent művében, az Elemekben először a vonalat definiálta:
- „A vonal szélesség nélküli hosszúság”
és csak ezután következik az egyenes:
- „Egyenes vonal az, amelyik a rajta levő pontokhoz viszonyítva egyenlően fekszik.”[1]
Ez a megfogalmazás Euklidész azon törekvéséből fakad, hogy mindent, amivel foglalkozik pontosan meghatározzon, minden logikai rést lefedjen. Manapság az egyenest az elemi geometria axiomatikus tárgyalásában (például a Hilbert-féle axiómarendszerben) alapfogalomnak tekintjük, azaz nem vezetjük vissza további definícióval más fogalmakra.
Másrészt az elemi geometria modelljeiben természetesen meg kell adnunk az egyenesnek megfelelő entitások halmazát, például a koordinátamodellben mint egy háromdimenziós vektortér egydimenziós altereinek eltoltjainak halmazát.
[szerkesztés] Tulajdonságai
Habár nincs definiálva, mindenkiben él egy kép az egyenesről, amely szerint az egyenes egy pontokból álló 1 dimenziós objektum, azaz például a tér egy irányában végtelen hosszú, a többiben kiterjedés nélküli. A geometriában az egyenes következő tulajdonságait használjuk ki:
- Két pont egyértelműen meghatároz egy egyenest, amiből következik, hogy két különböző egyenesnek nem lehet egynél több közös pontja.
- Ha egy síknak és egy egyenesnek legalább két közös pontja van, akkor az egyenes illeszkedik az adott síkra.
- Ha A,B,C egy egyenes pontjai és B az A és C pontok között fekszik, akkor egyszersmind a B pont a C és A pontok között is fekszik.
- Ha A,C egy egyenes pontjai, akkor létezik olyan B pontja az egyenesnek, amely az A és C pontok között fekszik, és egyszersmind létezik olyan D pontja, hogy a C pont az A és D pontok között is fekszik.
- Az egyenes tetszőleges három pontja közül pontosan egy olyan pont van, amely a másik két pont között fekszik.
[szerkesztés] Egyenes megadása az analitikus geometriában
- Egy egyenes egyenlete
- olyan egyenlet, melyet az egyenes minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van az egyenesen.
- A síkban az egyenes egyenletének általában kétféle alakját használjuk (Descartes-koordinátarendszerben):
- Ha adott az egyenes egy pontja (x0;y0) és egy normálvektora[2]: Ax + By + C = 0, ahol A és B az egyenes normálvektorának első és második koordinátáját jelölik[3], a C konstansra pedig − C = Ax0 + By0 teljesül.
- Ha az egyenesnek egy pontja (x0;y0) és a meredeksége (vagy iránytangense)[4] adott: y = mx + b, ahol m a meredekség, a b konstansra pedig b = y0 − mx0 teljesül.
- A térben már kevésbé szép, ekkor egyenletrendszerekkel írhatjuk le:
- Adott pont (x0;y0;z0) és irányvektor[5] esetén:
, ahol A, B és C az irányvektor koordinátái, a t pedig egy valós paraméter. - Kicsit átalakítva az előző egyenlet rendszert (amennyiben
, azaz az irányvektor egyik koordinátája sem 0, nem párhuzamos egyik koordináta-tengellyel sem): 
- Adott pont (x0;y0;z0) és irányvektor[5] esetén:
- Az n dimenziós térben az egyenest egy n változós egyenletrendszer adja meg, amiben van egy független paraméter
[szerkesztés] Lásd még
[szerkesztés] Hivatkozások
- David Hilbert: Grundlagen der Geometrie, B.G. Taubner, Leizig, 2. kiadás, 1903
- Hajós György: Bevezetés a geometriába, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 10. kiadás, 1994, ISBN 963 18 5622 4
- Strommer Gyula: Geometria, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2. kiadás, 1993, ISBN 963 18 5312 8
[szerkesztés] Külső hivatkozások
- Line szócikk a MathWorld lapján
- Euklidész: Elemek görögül és angolul
- Euklidész: Elemek 1. könyv magyarul
[szerkesztés] Jegyzetek
- ^ Mayer Gyula fordításában
- ^ Olyan vektor, ami merőleges az egyenesre
- ^ Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz A2 + B2 = 1. Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.
- ^ Az egyenes és az x-tengely pozitív fele által bezárt szög (irányszög) tangense. Más megközelítésből: azt mondja meg, hogy az egyenes mennyit halad felfelé (negatív érték esetén lefelé), amíg 1-et megy jobbra. Függőleges egyeneseknél nincs értelmezve.
- ^ Olyan vektor, ami párhuzamos az egyenessel