Mellékosztály

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A mellékosztály a matematika egyik ágának, a csoportelméletnek a fogalma. Ha adott egy csoport, ennek egy eleme valamint egy részcsoportja, akkor a részcsoport adott elem szerinti mellékosztálya azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek a részcsoport elemeinek az adott elemmel való szorzatából[megj. 1] adódnak.

A közös részcsoporthoz de más-más elemhez tartozó mellékosztályok vagy egyenlők (azaz minden elemük közös) vagy diszjunktak (azaz nincs közös elemük). Számosságuk egyenlő a részcsoport rendjével (azaz a részcsoportba tartozó elemek halmazának számosságával). Ezekből következik, hogy a csoport elemei egy adott részcsoportra nézve mind pontosan egy-egy mellékosztályba tartoznak. Innen ered az osztály elnevezés.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen G=(G,*) [megj. 2], H pedig G részcsoportja, valamint g egy G-beli elem:

H \leq G \qquad g \in G

Ekkor a H részcsoportnak a g szerinti jobb oldali mellékosztálya a következő halmaz:

H * g = \{ h*g \, |\, h \in H\} \subseteq G

bal oldali mellékosztálya pedig:

g * H = \{ g*h \,|\, h \in H\} \subseteq G

Ha a * művelet kommutatív, akkor a két fogalom megegyezik, és elég egyszerűen mellékosztályról beszélni.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Diszjunktság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy adott részcsoport ugyanolyan oldali, de különböző elem szerinti mellékosztályai vagy diszjunktak, vagy egyenlők:

H \leq G \qquad f,g \in G
H*f \neq H*g \quad \Rightarrow \quad H*f \, \cap \, H*g = \emptyset

Másképp megfogalmazva: ha van közös elemük, akkor minden elemük közös:

(\exists x \in H*f: \quad x \in H*g) \quad \Rightarrow \quad (\forall y \in H*f: \quad y \in H*g)

Bizonyítása az utóbbi megfogalmazást követve (a bizonyítás szimmetrikusan az ellenkező oldali mellékosztályokra is működik):

  • Ha a két mellékosztálynak nincs közös eleme, akkor a két halmaz diszjunkt, tehát az állítás igaz.
  • Ha van közös elemük, akkor az egyik ilyen közös elemet jelölje x. A mellékosztály definíciója szerint x tehát a következőképp írható:
x = a * f, \qquad a \in H, mert x benne van az f szerinti mellékosztályban
x = b * g, \qquad b \in H, mert x benne van a g szerinti mellékosztályban
  • Ebből következik, hogy
a*f=b*g \qquad /a^{-1}*(), mindkét oldalt balról összeműveletezzük a inverzével.
f = a^{-1}*b*g \qquad (1)\,
  • Legyen y egy tetszőleges H*f-beli elem. Ekkor a definíció szerint y a következőképp írható:
y = c * f, \qquad c \in H
ami az (1) egyenlet alapján:
y = c \,* \,(a^{-1}*b*g)
mivel a H struktúra csoport, a * művelet asszociatív:
y = (c*a^{-1}*b) \, * \, g \qquad (2)
  • Legyen
d = c*a^{-1}*b \,
d biztosan eleme H-nak, hiszen a,b,c elemei H-nak, a H struktúra pedig csoport, tehát létezik inverz a halmazon belül, valamint a művelet zárt a halmazra. Így a (2) egyenlet:
y= d * g, \qquad d\in H
Ez a mellékosztály definíciója szerint azt jelenti, hogy
y \in H * g
  • Ezzel be lett bizonyítva, hogy ha van közös elem, akkor bármely elem, ami benne van az f szerinti mellékosztályban, az a g szerintiben is benne van. A szimmetria miatt fordítva is igaz: bármely elem, ami benne van a g szerinti mellékosztályban, az az f szerintiben is benne van. Ez azt jelenti, hogy ha a két halmaz nem diszjunkt, akkor egymásnak kölcsönösen részhalmazai, tehát egyenlők. Ezt kellett bizonyítani.

Azonos számosság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Közös részcsoporthoz tartozó mellékosztályok számossága megegyezik a részcsoport rendjével:

H \leq G,\quad \forall g\in G: \quad |H*g| = |g*H| = |H|

Bizonyítása:

  • Legyen g\in G tetszőleges és
\varphi:\, H \rightarrow H*g,\quad x \mapsto x*g egyértelmű hozzárendelés (függvény).
  • Legyen x, y \in H.
Tegyük fel, hogy
\varphi(x)=\varphi(y)\,
Vagyis
x*g=y*g\qquad /()*g^{-1}, mivel csoportról van szó, létezik inverz.
x=y\,
  • Tehát a függvényértékek csak akkor egyenlők, ha a változók is, valamint a képhalmaz egyben értékkészlet is a mellékosztály definíciója alapján. Ebből következik, hogy φ kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, azaz bijekció.
  • Mivel H és H*g között létesíthető kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés (a φ), a két halmaz számossága a számosság definíciója szerint egyenlő:
|H*g| = |H| \,
  • A bizonyítás ugyanígy működik az ellenkező oldali mellékosztályokra is, tehát az állítás bizonyítása kész.

Lagrange tétele[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A mellékosztályok fenti tulajdonságainak felhasználásával Lagrange tétele egyszerűen bizonyítható:

Tétel: Véges csoport minden részcsoportjának rendje osztja a csoport rendjét, azaz:

\forall H \leq G:\quad |H|\,|\,|G|

Bizonyítás:

  • H különböző mellékosztályai diszjunktak és azonos számú, |H| darab elemet tartalmaznak.
  • Minden G-beli g elem benne van az egyik mellékosztályban:
például a H*g-ben, hiszen e*g = g, ahol e a H csoport egységeleme (ami megegyezik G egységelemével).
  • A teljes G halmaz elemszáma egyenlő a különböző (tehát diszjunkt) mellékosztályok elemszámának összegével, hiszen átfedés nincs köztük de kitöltik a teljes halmazt. Ezeknek a mellékosztályoknak a számát |G\,:\,H| jelöli (ennek neve a H részcsoport indexe a G csoportra), így:
|G\,:\,H|\cdot |H| = |G|
Vagyis
|H|\,\,|\,\,|G|

Megjegyzések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. A szorzat szó itt egyszerűen a csoportban értelmezett műveletet jelenti, ami bármi lehet, ha teljesíti a csoportaxiómákat, például összeadás is.
  2. A jobb átláthatóság kedvéért egyszerűen G jelöli magát a csoportot és a halmazt is. Halmazelméleti jelölések használatakor (például \in, \subseteq) a G betű a csoport elemeinek halmazára vonatkozik, csoportelméleti jelöléseknél pedig magát a csoportot jelöli.