Függvény (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Értékkészlet szócikkből átirányítva)
Egy tipikus, intervallumon értelmezett valós függvény grafikonja a koordinátasíkon ábrázolva. \mbox{ }_{f} : [-4;1,5] → R; x↦ex(x2-x)

A függvény vagy más néven parciális (részleges) leképezés a matematika egy olyan absztrakt fogalma, mely a geometriai leképezések, elemi algebrai műveletek, folytonosan változó mennyiségek és hasonló, bemeneti értékekből egyetlen kimeneti értéket produkáló fogalmak általános leírására szolgál. Egy f függvény értékek egy H halmazának – melyet az f értelmezési tartományának nevezünk – minden egyes x eleméhez egyetlen y kimeneti értéket rendel. Hagyományosan ezt így jelölik:

y = f(x), ahol x \in H vagy
f : x \mapsto y, ahol x \in H

A függvény fogalmához szorosan hozzátartozik az az elv, hogy két függvényt akkor tekintünk egyenlőknek, ha értelmezési tartományuk ugyanaz és a közös értelmezési tartomány minden egyes \mbox{ }_{x} eleméhez a két függvény ugyanazt az értéket rendeli.

Szabatos matematikai fogalmazásban, függvényen általában úgynevezett jobbról egyértelmű hozzárendelést értünk. A függvény fogalma tehát a reláció (más néven: hozzárendelés) fogalmának olyan speciális esete, melyben bármely adott dologhoz legfeljebb egy dolgot rendelünk hozzá.

Ha ezen felül megköveteljük azt is, hogy a függvény minden ilyen dologhoz legalább egy dolgot hozzárendeljen, azaz ha a reláció bármely adott dologhoz pontosan egy dolgot rendel hozzá, akkor függvény helyett totális függvényről (illetve parciális leképezés helyett relációról beszélünk).

Formális definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A mindennapi matematikai gyakorlatban alkalmazott informális függvényfogalmat (a bevezetőben lényegében erről beszéltünk) többféleképpen lehet szabatos formulákban megfogalmazni. Attól függően, hogy az alkalmazás inkább algebrai, analitikus, geometriai vagy matematikai logikai, a következő formális definíciókkal, egymástól néha fogalmilag is különböző értelmezésekkel találkozhatunk.

Első definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ezt az alakot elsősorban a halmazelméletben és az analízisben használják.

A halmazelméletben függvényen rendezett párok olyan halmazát értjük, amiben első komponensként legfeljebb csak egyszer szerepelhet egy elem - az utóbbi, ún. egyértelműségi tulajdonság logikai formulában kifejezve:

(\forall x)(\forall y_1)(\forall y_2)((x,y_1)\!\in\! f\wedge (x,y_2)\!\in\! f\;\Rightarrow\;y_1=y_2)

Értelmezési tartomány, értékkészlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ebben az esetben az \mbox{ }_{f} függvény értelmezési tartománya:

\{x\mid (\exists y)(\,(x,y)\in f)\,)\}

halmaz, mely biztosan halmaznak tekinthető a részhalmaz-axióma miatt, hiszen része az \mbox{ }_{f} rendezett párjai második komponenseinek halmazának.

Az értékkészlete vagy más néven képhalmaza:

\{y\mid (\exists x)(\,(x,y)\in f\,)\};

mely a részhalmaz-axióma miatt tényleg halmaz. Gyakran találkozunk a következő szimbólumokkal:

\mathrm{R}_f\, , \mathcal{R}_f , \mathrm{Ran}(f)\, , \mathrm{ran}(f)\, , \mathrm{Im}(f)\,

Ahol a ran rövidítés a „range of function \mbox{ }_{f}” angol kifejezés rövidítése (hasonlóképpen az Im az „image of function \mbox{ }_{f}” az \mbox{ }_{f} értékeinek halmazára utal).

Az értelmezési tartomány minden egyes \mbox{ }_{x} eleméhez egyelten olyan \mbox{ }_{y} elem tartozik, melyre \mbox{ }_{(x, y) \in f}, mely egyértelműen létező \mbox{ }_{y}-t ebben az esetben is

f(x)

jelöli.

Második definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legáltalánosabb esetben függvényen olyan \mbox{ }_{f=(A, B, \rho)} rendezett hármast értünk, ahol \mbox{ }_{A} és \mbox{ }_{B} két halmaz, \rho pedig olyan \mbox{ }_{\rho \subseteq A \times B} reláció, hogy minden \mbox{ }_{x \in A} elemre legfeljebb egyetlen olyan \mbox{ }_{y \in B} létezik, melyre \mbox{ }_{x \rho y} teljesül.

Ekkor az \mbox{ }_{A}-t alaphalmaznak vagy kiindulási halmaznak, a \mbox{ }_{B}-t képhalmaznak vagy érkezési halmaznak nevezik. \mbox{ }_{f} értelmezési tartományán a \mbox{ }_{\rho} értelmezési tartományát értik, azaz az \mbox{ }_{A} azon részhalmazát, melynek minden \mbox{ }_{x} eleme esetén pontosan egy olyan \mbox{ }_{y \in B} található, hogy \mbox{ }_{x \rho y}, azaz melyre \mbox{ }_{\rho }-t leszűkítve az balról totális reláció lesz. \mbox{ }_{f} értékkészletén a \mbox{ }_{\rho } értékkészletét értik, azaz azon \mbox{ }_{y \in B} elemek halmazát, melyre létezik \mbox{ }_{x \in A}, hogy \mbox{ }_{x \rho y}.

Ha az így megadott \mbox{ }_{f} függvény esetén az \mbox{ }_{f} értelmezési tartománya nem esik egybe az alaphalmazával, akkor azt mondjuk, hogy \mbox{ }_{f} parciális, vagy parciálisan értelmezett függvény. Ellenkező esetben totális függvényről beszélünk.

Harmadik definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a definíció általában az algebrára, a geometriára és a konkrét kategóriák elméletére jellemző. Ekkor a függvény egy speciális relációs struktúra.

Az f függvény olyan (A, B, ρ) rendezett hármas, ahol A és B egy-egy halmaz, ρ pedig olyan A × B-beli reláció, melyre teljesül, hogy minden egyes A-beli x-hez pontosan egy olyan B-beli y van, melyre x ρ y. Ekkor tetszőleges xA elemhez az f által egyértelműen rendelt elemet f(x)-szel jelöljük.

Értelmezési tartomány[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha (A, B, f) egy, a fenti értelemben vett függvény, akkor az A halmazt az értelmezési tartományának, definíciós tartományának nevezzük. Jelölése nem egységes, a leggyakrabban a következők fordulnak elő:

\mathcal{D}_f, \mathbf{D}_f, \mathrm{D}(f)\,, \mathbf{Dom}(f), \mathbf{dom}(f).

A Dom(f) jelölés az angol „definition domain of function f” (az f értelmezési tartománya) kifejezés rövidítéséből származik.

Érkezési halmaz[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az (A,B, f) függvény esetén a B halmaz az f függvény érkezési halmaza, melyet a fenti definíció esetén az f függvény egyértelműen meghatároz. Ha jelölik valahogy, leggyakrabban a

\mathrm{Codom}(f)\,

jelölést használják, az angol „codomain of function f” kifejezés rövidítéseként (ez hasonló a kovektor és koszorzat latin eredetű kifejezésekhez, egyfajta megfordított irányt jelöl).

Értékkészlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy \mbox{ }_{(A, B, f)}, a második konvencióban definiált függvény \mbox{ }_{B} érkezési halmaza nem tévesztendő össze az értékkészlettel, mely az

\{f(x)\in B\mid x\in A\}

halmaz.

Azt, hogy \mbox{ }_{f} egy olyan függvény, melynek értelmezési tartománya \mbox{ }_{A}, az értékkészlete pedig része a \mbox{ }_{B} halmaznak, a következőképpen jelöljük:

f:A\rightarrow B

Egy \mbox{ }_{f:A \rightarrow B} függvény tehát az \mbox{ }_{A} halmaz minden egyes \mbox{ }_{x} eleméhez hozzárendel egy \mbox{ }_{B}-beli \mbox{ }_{f(x)} értéket.

A logikai grammatika függvényfogalma[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fenti definíciók szemlélete a halmazelméleti realizmus talaján áll. Ám, a függvényfogalom bevezethető a Frege és Hilbert által javasolt módon is, mely az informális matematika nyelvi elemzését veszi alapul. Eszerint egy függvény nem más, mint egy egyváltozós névfunktor, tehát mely egy individuumnévből nevet alkot. (A matematikai logikában ezen kívül a függvénynek nevezik a több-bemenetű névfunktorokat is, azaz a műveleteket.) Egy ilyen névfunktor például a csoportelmélet formális nyelvében az elem inverzének képzése (a−1) és az aritmetikában a természetes számok rákövetkezési operátora ( s(a) ).

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Példaként említünk az algebra, a geometria és az analízis egy-egy függvényét:

  • Legyen abs: z \mapsto |z|, ahol zC. Ez a függvény a z komplex számhoz abszolút értékét, vagy hosszát adja, mely egy nemnegatív valós szám: \mbox{ }_{|z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}} .
  • Legyen Tt a sík egy adott t tengelyére történő tükrözése. Ekkor a T:P \mapsto P' függvény egy geometriai leképezés, a sík egy tetszőleges P pontja esetén P' =T(P) a P pont t-re vonatkozó tükörképe.
  • exp: x \mapsto ex, a természetes alapszámú exponenciális függvény, ahol tehát az alap az e Euler-féle szám.

A függvények osztályzása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ismeretlenek száma szerint[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ismeretlenek száma szerint beszélünk egyváltozós, kétváltozós, illetve többváltozós függvényről. Itt megjegyezzük, hogy például a valós számok halmazán értelmezett kétváltozós függvényt, lényegében egyváltozósnak is tekinthetjük, amely értelmezési tartománya a valós számok halmazának Descartes-szorzata önmagával, az értékkészlete pedig a valós számok halmaza.

Az alaphalmaz szerint[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Valós függvény
  • Komplex függvény
  • Geometriai leképezés
  • Vektorterek leképezése

stb.

A műveletekkel való kifejezhetősége szerint[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

vagy például

(itt megjegyzendő, hogy ez az osztályozás nem teljes és rendszerezésre vár)

Függvények megadása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy f függvényt akkor tekintünk adottnak, ha adott

  • értelmezési tartománya és
  • az értelmezési tartomány minden x eleme esetén az ehhez rendelt f(x) érték – ezt a hozzárendelési utasításnak nevezzük.

Ezek már meghatározzák az értékkészletet, ám nem határozzák meg a függvény érkezési halmazát. Ha a függvény fogalmát a fenti, algebrai szemléletben definiáljuk, akkor ezeken kívül még meg kell adnunk az érkezési halmazát is.

A hozzárendelést egy

y=f(x)\;\;\;\;\;\;\;\;x\in H\;\;(y\in K)

vagy

f:H\rightarrow K;\;x\mapsto f(x)

alakban adott szimbólumsorral jelöljük. (Az utóbbi jelölésben a hozzárendelést leggyakrabban „talpasnyíllal” jelölik.) A H halmaz az értelmezési tartomány, vagyis amilyen értékeket a formula x változója helyére helyettesíthetünk, a K az érkezési halmaz, azaz amilyen értékeket a függvényérték, azaz f(x) felvehet.

Például:

f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},x\mapsto \sin\,x

Néha megengedjük az értelmezési tartomány helyett egy azt tartalmazó bővebb halmaz megadását, azzal a kimondatlan kiegészítéssel, hogy az értelmezési tartomány az a részhalmaz, amire a hozzárendelési utasításban szereplő kifejezések értelmezve vannak. Ez akkor célszerű, ha már az is komoly vizsgálatot igényelne, hogy megmondjuk, milyen elemekre végezhetők el a hozzárendelési utasításban szereplő műveletek. Néha, ekkor a nyíl „kiindulási halmaz” felőli végére egy részhalmaz jelet teszünk. Például:

f:\mathbb{R}\supset\!\rightarrow\mathbb{R};\;x\mapsto \frac{x}{x-\mathrm{tg}\,x}

A hozzárendelési utasítás megadásának eddigi, tehát y = f(x) formáját explicitnek nevezzük és azt mondjuk, hogy a függvényt explicit módon adott. Az y = f(x) formális egyenlőséget egy y-ra nem rendezett \mbox{ }_{\Omega(x,y)=0\,} (implicit) egyenlettel sokszor egyszerűbb megadni. Ekkor azt mondjuk, hogy a függvény implicit módon adott. Az implicit megadásnál azonban ügyelnünk kell arra, hogy ekkor a függvény nem feltétlenül egyértelmű.

Lásd még: implicitfüggvény-tétel.

Függvények relációalgebrája[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A relációkalkulusból átöröklött tulajdonságok definiálhatóak és vizsgálhatóak függvények esetében is. A legfontosabbak a balról totalitás (szürjektivitás), a jobbról egyértelműség (injektivitás) és a kölcsönösen egyértelműség vagy bijektivitás.

Hasonlóan, a bináris relációkra értelmezett halmazelméleti (unió, metszet, különbség, megszorítás) és algebrai (szorzás v. kompozíció; invertálás stb.) műveletek is értelmezhetőek - lényegi változtatás nélkül - és vizsgálhatóak függvényekre is.

Pontonkénti műveletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha adott egy H halmaz, melyen értelmezett egy * művelet, akkor egy A halmazból a H-ba képező függvények körében értelmezhető a pontonkénti művelet a következőképpen:

f\mbox{*}g: A\rightarrow H; x\mapsto f(x)\mbox{*}g(x)

melynek ugyanolyan algebrai tulajdonságai vannak, mint a * műveletnek. Például az R \rightarrow R függvények körében értelmezhető az f + g összeg, az f \cdot g szorzás, és a fenti definíció csekély módosításával a λf számmal való szorzás és az f/g osztás (g nemnulla értékű helyeire).

Valós értékű függvények nevezetes pontjai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A H halmazon értelmezett, R-be képező f függvénynek az aH pontban

  • abszolút minimuma van, ha minden xH-ra f(a) ≤ f(x); ekkor a minimumérték az f(a);
    • lokális minimuma van, ha H topologikus tér és létezik a-nak olyan VH nyílt környezete, hogy az f|V leszűkítésnek abszolút minimumhelye a;
  • abszolút maximuma van, ha minden xH-ra f(x) ≤ f(a) ; ekkor a maximumérték az f(a);
    • lokális maximuma van, ha H topologikus tér és létezik a-nak olyan VH nyílt környezete, hogy az f|V leszűkítésnek abszolút maximumhelye a.
  • zérushelye van, ha f(a) = 0;
  • stacionárius pontja van, ha H normált tér, f differenciálható az a egy nyílt környezetén és a differenciálja ott nulla: df(a)=0.

A minimum- vagy maximumértéket együttesen szélsőértéknek, azok abszcisszáját szélsőértékhelynek nevezzük.

Függvényterek mint struktúrák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A függvények abból a szempontból is alapvető matematikai fogalmak, hogy számos elmélet konkrét megvalósítását függvények halmazaiban láthatjuk. Például

és még számos példa hozható fel, amikor absztrakt matematikai tereket függvények halmazaival azonosítanak.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Érdekes grafikonú függvények a Wolfram World-ön:

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]