Oszthatóság

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az oszthatóság egy matematikai reláció, melynek tulajdonságait a számelmélet vizsgálja.

  1. Hagyományos értelemben akkor mondjuk, hogy az a és b természetes számok között (ebben a sorrendben) fennáll az oszthatósági reláció; röviden a b szám osztója az a számnak, vagy az a szám osztható a b-vel, ha van olyan egész szám, melyet b-vel szorozva a-t kapunk, vagyis, más szóval, ha az a szám többszöröse a b-nek. A b osztó valódi osztó, ha nem azonos a-val vagy 1-gyel.
  2. Egész számok helyett gyűrűk elemei között értelmezett oszthatóságról is beszélhetünk. A definíció hasonló: az a gyűrűelem osztható a b gyűrűelemmel (az a többszöröse b-nek, vagy a b osztója a-nak), ha van olyan c gyűrűelem, amellyel b-t szorozva a-t kapunk.

Oszthatóság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Oszthatósági hálódiagram a 400-nál nem nagyobb reguláris számokra

Egy a egész szám osztója egy b egész számnak, ha van olyan n egész szám, melyre a·n=b. Jele: a|b (a osztója b-nek).

Az oszthatóság tulajdonságai (bármely a,b,c egész szám esetén):

a|a (ez a reflexív tulajdonság)
1|a
a|0
a|ba|b·c
a|b és b|ca|c (ez a tranzitív tulajdonság)
a|b és a|ca|b+c
a|b és a|ca|b-c

Az oszthatósági reláció reflexív és tranzitív, a pozitív egész számok körében antiszimmetrikus.

Oszthatósági tesztek a tízes számrendszerben felírt természetes számok körében[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • 2-vel osztható az a szám, melynek utolsó számjegye 2, 4, 6, 8 vagy 0, tehát páros.
  • 3-mal osztható az a szám, melynek számjegyeinek összege 3-mal osztható. (Úgy is meg lehet fogalmazni, hogy 3-mal osztható az a szám, amelynek a 3-mal nem osztható számjegyeinek (vagyis a 0, 3, 6, 9 számjegyeket nem számolva) összege osztható hárommal (például a 3694692306 szám osztható 3-mal, mert hárommal nem osztható számjegyeinek összege 4+2=6 osztható 3-mal).)
  • 4-gyel osztható az a szám, melynek a két utolsó jegyéből alkotott szám osztható 4-gyel. (Azaz ez a szám 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92 vagy 96.)
  • 5-tel osztható az a szám, melynek utolsó jegye 5 vagy 0.
  • 6-tal osztható az a szám, mely 2-vel és 3-mal osztható.
  • 7-tel osztható az a szám, melynek számjegyeit hátulról hármasával csoportosítva és váltakozó előjellel összeadva a kapott szám osztható 7-tel. A 7-tel való oszthatóság ellenőrzéséhez az egyesek, tízesek stb. helyén álló számjegyeket sorra 3-mal, 2-vel, (-1)-gyel, (-3)-mal, (-2)-vel és 1-gyel (majd ugyanilyen sorrendben folytatva tovább ismét 3-mal, 2-vel stb.) kell szorozni, s a kapott számokat összeadni: az eredeti szám osztható 7-tel, ha az ekként kapott súlyozott összeg is osztható héttel.
  • 8-cal osztható az a szám, melynek utolsó három jegyéből alkotott szám osztható nyolccal.
  • 9-cel osztható az a szám, melynek számjegyeinek összege 9-cel osztható.
  • 10-zel osztható az a szám, melynek utolsó jegye 0.
  • 11-gyel osztható az a szám, melynek páros helyiértéken álló számjegyeinek összege megegyezik a páratlan helyiértéken álló számjegyek összegével, vagy a kettő különbsége 11-nek a többszöröse.
  • 12-vel osztható az a szám, amely osztható 3-mal is és 4-gyel is.
  • 25-tel osztható az a szám, melynek a két utolsó jegyéből alkotott szám osztható 25-tel, vagyis ha a szám 00-ra, 25-re, 50-re vagy 75-re végződik.
  • 50-nel osztható az a szám, melynek az utolsó két jegyéből alkotott szám osztható 50-nel. (50 vagy 00)
  • 125-tel azok a számok oszthatók, melyek utolsó 3 számjegyéből alkotott szám osztható 125-tel.
  • A 0-val való osztást ugyan nem értelmezzük, azonban a 0 minden számmal osztható, a definíció szerint még önmagával is. Más szám nem lehet nullával osztható, hiszen a 0 minden többszöröse 0.

Oszthatósági szabályok más számrendszerekben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nem kell egy a alapú számrendszerben felírt egész számot csak azért átváltani, hogy megállapíthassunk bizonyos oszthatóságokat.

  • Az a-val és hatványaival való oszthatóság: n osztható ah-nal, ha utolsó h jegye 0.
  • Osztható ah egy osztójával, ha az utolsó h jegyből álló szám osztható az adott osztóval.
  • Osztható (a-1)-gyel vagy annak egy osztójával, ha számjegyeinek összege osztható (a-1)-gyel vagy az adott osztóval.
  • Osztható (a+1)-gyel vagy annak egy osztójával, ha a páros helyiértékű jegyeit és a páratlan helyiértékű jegyeit külön-külön összeadva olyan számokat kapunk, amik különbsége osztható (a+1)-gyel vagy az adott osztóval.

Oszthatóság az egész számok körében[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha az egész számok halmazát a szokásos összeadás és szorzás művelettel integritástartománynak tekintjük, és a fenti módon értelmezzük rajta az oszthatóság fogalmát, akkor például a 6-nak nem csak az 1, 2, 3 és a 6 lesz osztója, hanem a -1, -2, -3 és a -6 is, mert ezekhez is lehet olyan alkalmas egész számot találni, amivel megszorozva őket mind 6-ot adnak.

Oszthatóság gyűrűkben és integritástartományokban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Definíció:

Tetszőleges D integritástartomány (kommutatív, zérusosztómentes és egységelemes, általában legalább két elemet tartalmazó gyűrű) esetén a,b \in D elemeire akkor mondjuk, hogy a osztója b-nek, ha van olyan c\in D elem, melyre ac=b.

Jelölés: a|b

Ahogyan a gyűrű tekinthető az egész számok halmazán értelmezett négy alapművelet által meghatározott struktúra általánosításának, úgy az itt bevezetett oszthatósági fogalom is tekinthető az egész számokon értelmezett oszthatóság általánosításának.

Valóban, tetszőleges D integritástartomány tetszőleges a, b, c, d elemeire teljesülnek a következő tulajdonságok, (melyek az egész számok esetén is teljesülnek az oszthatóságra):

  • Tetszőleges integritástartományokban is érvényes (a nullosztómentesség miatt), hogy (0-val jelölve a gyűrű nullelemét) 0|a akkor és csak akkor teljesül, ha a=0.

Ahogyan az egész számok példája is mutatja, egy integritástartományon az osztást műveletként bevezetni nem feltétlenül egyszerű (a struktúra bővítése nélkül), mert előfordulhat, hogy az a\bold{x}=b-nek nincs is megoldása, vagy több megoldása is van x-re (rögzített a és b mellett), így az esetleges a/b jel nem jelölné az integritástartomány egy egyértelmű elemét.