Oszthatóság

Az oszthatóság egy matematikai reláció, melynek tulajdonságait a számelmélet vizsgálja

1. Hagyományos értelemben akkor mondjuk, hogy az a és b természetes számok között (ebben a sorrendben) fennáll az oszthatósági reláció; röviden a b szám osztója az a számnak, vagy az a szám osztható a b-vel, ha van olyan egész szám, melyet b-vel szorozva a-t kapunk, vagyis, más szóval, ha az a szám többszöröse a b-nek. Az a számot osztandónak is hívjuk. Az osztó valódi osztó, ha nem azonos az osztandóval.
2. Egész számok helyett félcsoportokban gyűrűk elemei között értelmezett oszthatóságról is beszélhetünk. A definíció hasonló: az a gyűrűelem osztható a b gyűrűelemmel (az a többszöröse b-nek, vagy a b osztója a-nak), ha van olyan c gyűrűelem, amellyel b-t szorozva a-t kapunk.

Oszthatóság

Oszthatósági hálódiagram az első néhány pozitív egészre

Egy a egész szám osztója egy b egész számnak, ha van olyan n egész szám, melyre a·n=b. jele: a|b. (a osztója b-nek)

Az oszthatóság tulajdonságai:

a|a bármely egész szám esetén.

1|a bármely egész szám esetén.

a|b⇒ a|b*c, a,b,c egész szám esetén.

a|b és b|c⇒ a|c, a,b,c egész szám esetén. Ez a tranzitív tulajdonság.

a|b és a|c⇒ a|b+c, a,b,c egész szám esetén.

a|b és a|c⇒ a|b-c, a,b,c egész szám esetén.

a|b és a|b+c⇒ a|c, a,b,c egész szám esetén.

Oszthatósági tesztek a tízes számrendszerben felírt természetes számok körében

• 2-vel osztható az a szám, melynek utolsó számjegye 2, 4, 6, 8 vagy 0, tehát páros.
• 3-mal osztható az a szám, melynek számjegyeinek összege 3-mal osztható. (Úgy is meg lehet fogalmazni, hogy 3-mal osztható az a szám, amelynek a 3-mal nem osztható számjegyeinek (vagyis a 0, 3, 6, 9 számjegyeket nem számolva) összege osztható hárommal (például a 3694692306 szám osztható 3-mal, mert hárommal nem osztható számjegyeinek összege 4+2=6 osztható 3-mal))
• 4-gyel osztható az a szám, melynek a két utolsó jegyéből alkotott szám osztható 4-gyel. (Azaz ez a szám 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, vagy 96)
• 5-tel osztható az a szám, melynek utolsó jegye 5 vagy 0.
• 6-tal osztható az a szám, mely 2-vel és 3-mal osztható.
• 7-tel osztható az a szám, melynek számjegyeit hátulról hármasával csoportosítva és váltakozó előjellel összeadva a kapott szám abszolút értéke osztható 7-tel. A 7-tel való oszthatóság ellenőrzéséhez az egyesek, tízesek stb. helyén álló számjegyeket sorra 3-mal, 2-vel, (-1)-gyel, (-3)-mal, (-2)-vel és 1-gyel (majd ugyanilyen sorrendben folytatva tovább ismét 3-mal, 2-vel stb.) kell szorozni, s a kapott számokat összeadni: az eredeti szám osztható 7-tel, ha az ekként kapott súlyozott összeg is osztható héttel.
• 8-cal osztható az a szám, melynek utolsó három jegyéből alkotott szám osztható nyolccal.
• 9-cel osztható az a szám, melynek számjegyeinek összege 9-cel osztható.
• 10-zel osztható az a szám, melynek utolsó jegye 0.
• 11-gyel osztható az a szám, melynek páros helyiértéken álló számjegyeinek összege megegyezik a páratlan helyiértéken álló számjegyek összegével, vagy a kettő különbsége 11-nek a többszöröse.
• 12-vel osztható az a szám, amely osztható 3-mal is és 4-gyel is.
• 25-tel osztható az a szám, melynek a két utolsó jegyéből alkotott szám osztható 25-tel, vagyis, ha a szám 00-ra, 25-re, 50-re, vagy 75-re végződik.
• 50-nel osztható az a szám, melynek az utolsó két jegyéből alkotott szám oszható 50-nel. (50 vagy 00)
• 125-tel azok a számok amelyek utolsó 3 számjegyéből alkotott szám osztható 125-tel.
• A 0 minden számmal osztható.

Oszthatósági szabályok más számrendszerekben

Nem kell egy a alapú számrendszerben felírt egész számot csak azért átváltani, hogy megállapíthassunk bizonyos oszthatóságokat.

• Az a-val és hatványaival való oszthatóság: n osztható a^h-nal, ha utolsó h jegye 0.
• Osztható a vagy a^h egy osztójával, ha az utolsó h jegyből álló szám osztható az adott osztóval.
• Osztható a-1-gyel, vagy annak egy osztójával, ha számjegyeinek összege osztható a-1-gyel, vagy az adott osztóval.
• Osztható a+1-gyel vagy annak egy osztójával, ha a páros helyiértékű jegyeit és a páratlan helyi értékű jegyeit külön-külön összeadva olyan számokat kapunk, amik különbsége osztható a+1-gyel, vagy az adott osztóval.

Oszthatóság az egész számok körében

Ha az egész számok halmazát a szokásos összeadás és szorzás művelettel integritástartománynak tekintjük, és a fenti módon értelmezzük rá az oszthatóság fogalmát, akkor például a 6-nak nem csak az 1; 2; 3 és a 6 lesz osztója, hanem a -1; -2; -3 és a -6 is, mert ezekhez is lehet olyan alkalmas egész számot találni, amivel megszorozva őket mind 6-ot adnak.

Oszthatóság gyűrűkben és integritástartományokban

Definíció:

Tetszőleges $D$ integritástartomány (kommutatív, zérusosztómentes és egységelemes, általában legalább két elemet tartalmazó gyűrű) esetén $a,b \in D$ elemeire akkor mondjuk, hogy $a$ osztója $b$-nek, ha van olyan $c\in D$ elem, melyre $ac=b$.

Jelölés: $a|b$

Ahogyan a gyűrű tekinthető az egész számok halmazán értelmezett négy alapművelet által meghatározott struktúra általánosításának, úgy az itt bevezetett oszthatósági fogalom is tekinthető az egész számokon értelmezett oszthatóság általánosításának.

Valóban, tetszőleges $D$ integritástartomány tetszőleges $a, b, c, d$ elemeire teljesülnek a következő tulajdonságok, (melyek az egész számok esetén is teljesülnek az oszthatóságra):

• $a|a$ (reflexivitás)
• $a|b$ és $b|c$ esetén $a|c$ (tranzitivitás)
• $a|b$ és $a|c$ esetén $a|b+c$ és $a|b-c$
• $a|b$ és $c|d$ esetén $ac|bd$
• $1|a$ és $a|0$ a $D$ bármely $a$ elemére
• $ac|bc$ és $c 0$-tól különböző esetén $a|b$

• Tetszőleges integritástartományokban is érvényes (a nullosztómentesség miatt), hogy (0-val jelölve a gyűrű nullelemét) $0|a$ akkor és csak akkor teljesül, ha $a=0$.

Ahogyan az egész számok példája is mutatja, egy integritástartományon az osztást műveletként bevezetni nem feltétlenül egyszerű (a struktúra bővítése nélkül), mert előfordulhat, hogy az $a\bold{x}=b$-nek nincs is megoldása, vagy több megoldása is van $x$-re (rögzített $a$ és $b$ mellett), így az esetleges $a/b$ jel nem jelölné az integritástartomány egy egyértelmű elemét.