Antiszimmetrikus reláció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Egy R kétváltozós relációt akkor nevezünk antiszimmetrikusnak a D halmazon, ha a D bármely két olyan a és b elemére, amelyre fennáll egyszerre, hogy a relációban áll b-vel és b relációban áll a-val, akkor az a és b azonos. Ezt tömören matematikai jelöléssel így lehet felírni:

\forall a,b \in D ( aRb \and bRa \Longrightarrow a=b )

Egyszerű példa az antiszimmetrikus relációra a valós számok halmazán értelmezett „kisebb egyenlő” reláció, hiszen ha két a és b valós szám nem egyenlő, akkor pontosan az egyik áll fenn az alábbiakból:

a\leq b vagy b\leq a

További példaként említhető egy halmaz hatványhalmazán vett részhalmaz reláció.

Fontos megjegyezni, hogy az antiszimmetrikus reláció nem ellentéte a szimmetrikus relációnak. Van olyan reláció (például az egyenlőség), amely egyben szimmetrikus és antiszimmetrikus, és van olyan reláció, amely nem szimmetrikus és nem antiszimmetrikus (például az egész számok halmazán értelmezett oszthatóság).