Szimmetrikus reláció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Egy homogén kétváltozós relációt akkor nevezünk szimmetrikusnak, hogyha bármely két elem, amely adott sorrendben relációban áll, a fordított sorrendben is relációban áll, vagyis a reláció „kölcsönösen” („oda-vissza”) fennáll két elem közt. A precíz definíciót ld. lentebb.

Egyszerű példák és ellenpéldák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ilyen például

  • a testvéri (általánosabban, a rokonsági) viszony az emberek között: ha A testvére (rokona) B-nek, akkor B is A-nak.
  • az egyenesek párhuzamossága (mert ha az a egyenes párhuzamos b-vel, akkor b is az a-val);
  • az egyenesek merőlegessége (mert ha az a egyenes merőleges b-re, akkor b is az a-ra).

Nem ilyen

Matematikai definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Gyengébb definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az A halmazon értelmezett ρ⊆A×A reláció szimmetrikus, ha teljesül bármely a,b∈A esetére az, hogy ha érvényes aρb, akkor érvényes bρa is.

Másképp szólva, ha az A×A-n értelmezett reláció inverzét a ρ-1 jellel jelölve, ρ-1⊆ρ

Formulákkal:

jelölésmód formula
infix ∀(a.b)∈A×A: ((aρb)⇒(bρa))
prefix ∀(a.b)∈A×A: (ρ(a,b)⇒ρ(b,a))
halmazalgebrai ρ-1⊆ρ

Erősebb definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Érvényes a következő tétel is : ha egy ρ⊆A×B reláció olyan, hogy rá igaz ρ-1⊆ρ; akkor igaz rá ρ-1 = ρ is.

Ugyanis legyen ρ ilyen, azaz ρ-1⊆ρ. Ekkor ha (x,y)∈ρ, azaz (y,x)∈ρ-1, az előző (aláhúzott) tartalmazási relációt figyelembe véve, (y,x)∈ρ is teljesül, ami viszont az inverz reláció definíciója alapján azt jelenti, (x,y)∈ρ-1. Tehát ha (x,y)∈ρ, akkor egyben (x,y)∈ρ-1 is teljesül, ami azt jelenti, ρ⊆ρ-1. Összevetve ezt az aláhúzott tartalmazási relációval, utóbbi antiszimmetriája alapján adódik ρ = ρ-1.

E tétel következménye, hogy a ρ homogén kétváltozós reláció szimmetrikus pontosan akkor, ha ρ = ρ-1. Tehát így is lehetne definiálni.

Megjegyzés: ha a szimmetrikus relációt inhomogén esetre definiálnánk, az előző tétel miatt ebből következne, hogy maga a reláció mégis csak homogén, hisz ha ρ⊆A×B -re (ahol A a reláció értelmezési tartománya, B az értékkészlete) és ρ-1⊆B×A-ra ρ = ρ-1, akkor A = B.

További példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]