A számelmélet alaptétele

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A számelmélet alaptétele, röviden SzAT a számelmélet egyik legalapvetőbb tétele, mely szerint minden 1-nél nagyobb természetes szám felbomlik, méghozzá (a szorzótényezők sorrendjétől eltekintve) egyféleképpen, prímszámok szorzatára [1]. Azaz minden természetes számnak van ún. kanonikus felbontása vagy prímfelbontása: n=Πpiαi.

Például: 12=2\cdot 2\cdot 3. Ha összevonjuk az azonos tényezőket, így fogalmazhatunk: minden 1-nél nagyobb összetett szám pontosan egyféleképpen írható fel prímhatványok szorzataként: 12=2^2\cdot 3. Ezt az „egyféle” felírást a szám kanonikus alakjának is nevezik.

Nehezebb a kimondása az egész számok körében: ha n 0-tól és egységelemtől (1, ‒1) különböző egész szám, akkor felírható prímek szorzataként és ha n=p_1\cdots p_r=q_1\cdots q_s két ilyen felírás, akkor r=s és a p_1,\dots,p_r illetve a q_1,\dots,q_s számok kölcsönösen megfeleltethetők egymásnak úgy, hogy az egymással megfeleltetett számok egymás asszociáltjai (azaz azonosak vagy egymás ellentettjei) -12=(-2)\cdot 2\cdot 3=2\cdot 2 \cdot (-3). Egy kevésbé nehézkes, bár kissé homályosabb megfogalmazás szerint, minden 1-nél nagyobb abszolút értékű egész szám felbomlik, mégpedig a tényezők sorrendjétől és előjelétől eltekintve egyértelműen, prímek szorzatára.

Különös módon, bár már Eukleidész is igazolt az alaptétellel ekvivalens állításokat és persze hallgatólagosan minden számelmélettel foglalkozó matematikus használta, először Gauss mondta ki és bizonyította be 1801-ben kiadott Disquisitiones Arithmeticae című művében.


Bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Külön-külön bizonyítjuk azt, hogy minden 1-nél nagyobb összetett szám előáll prímszámok szorzataként (egzisztencia), illetve, hogy csak egyféleképpen (unicitás). Az első bizonyításhoz a teljes indukció, a másodikhoz a végtelen leszállás módszerét alkalmazzuk.

Létezés. A legkisebb, 1-nél nagyobb összetett szám a 2, prímszám, tehát igaz rá az állítás. Most tegyük fel, hogy az állítás igaz minden N-nél kisebb számra. Ekkor, ha N maga is prímszám, akkor készen vagyunk. Ha nem, akkor felbontható N=ab alakra, ahol mind a és mind b 1-nél nagyobb és N-nél kisebb szám. Viszont a és b - az indukciós feltevés szerint - felbontható prímszámok szorzatára, tehát a szorzatuk, N is. Ezzel az egzisztenciát bebizonyítottuk.

Egyértelműség. Tegyük fel az állításunk ellenkezőjét, vagyis hogy van olyan 1-nél nagyobb természetes szám, ami többféleképpen is felírható prímszámok szorzataként. Az ilyen számok között kell legyen egy legkisebb, jelöljük őt N-nel. Eszerint

N=p_1\cdots p_r=q_1\cdots q_s

alakban írható, ahol a p_1,\dots,p_r és a q_1,\dots,q_s sorozatok nem egymás átrendezései. Ha van olyan prímszám, ami mindkét oldalon előfordul, mondjuk p_1=q_1, akkor vele egyszerűsítve

p_2\cdots p_r=q_2\cdots q_s

adódik és ez az N/p_1<N szám kétféle felbontása, ami ellentmond annak a feltételezésünknek, hogy a N a legkisebb többféleképpen felbontható természetes szám. Feltehetjük tehát, hogy a p_1,\dots,p_r számok egyike sem egyezik meg a q_1,\dots,q_s számok egyikével sem. Tegyük fel, hogy e számok közül p_1 a legkisebb. Ha a q_1\cdots q_s szorzat minden tényezőjét áthelyettesítjük p_1-gyel vett maradékával, akkor egy olyan q'_1\cdots q'_s szorzatot kapunk, aminek egyrészt p_1-gyel vett maradéka ugyanaz, mint q_1\cdots q_s-é, tehát 0, másrészt q'_i<q_i (i=1,\dots,s) miatt a szorzat értéke is kisebb N-nél. A szorzat értéke legyen N' . Tehát N' egy olyan N-nél kisebb szám, ami p_1-gyel osztható és felírható p_1-től különböző prímek szorzataként. De van olyan felbontása is, amiben p_1 szerepel: az N'=p_1\cdot (N'/p_1) szorzatban bontsuk tovább N'/p_1-et prímfaktorokra (lehet a tétel már igazolt első fele miatt). Eszerint N' -nek lenne két prímfelbontása, ami ellentmond feltevéseinknek.

A számelmélet alaptétele gyűrűkben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A SzAT egyik legelterjedtebb bizonyítása az euklideszi algoritmus és a legnagyobb közös osztó fogalmára épül; ennek fontos általánosítása az euklideszi gyűrűkben értelmezett prímfaktorizáció végrehajthatósága és egyértelműsége. Euklideszi gyűrűre példa a Gauss-egészek és az Eisenstein-egészek gyűrűje. Azokat a gyűrűket, melyekben a számelmélet alaptételével analóg kijelentés igaz, alaptételes gyűrűnek nevezzük. Ha egy integritási tartomány euklideszi gyűrű, akkor főideálgyűrű, és minden főideálgyűrű gyűrű alaptételes gyűrű, de ezek megfordítása nem igaz. Egységelemes integritási tartományokban akkor és csak akkor igaz a SzAT, ha minden felbonthatatlan elem prímelem és főideálok minden növő sorozata megszakad.

A számelmélet alaptétele euklideszi gyűrűkben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kvadratikus testeknek nevezzük azokat a testeket, amelyek a racionális számok testének egyszerű algebrai négyzetgyök-bővítéseiből adódnak. Ezen kvadratikus testek egészeinek gyűrűit vizsgálva juthatunk el olyan gyűrűkhöz, amelyekben igaz a maradékos osztás tétele, így a számelmélet alaptétele is. Ezen gyűrűk közül néhány számelméleti szempontból ugyanúgy viselkedik, mint például az egész számok gyűrűje. 21 kvadratikus euklideszi test létezik. Ezek a következő számok négyzetgyökeivel állíthatók elő: -1, -2, -3, -7, -11, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57 és 73. Bizonyított, hogy nincs több kvadratikus euklideszi test.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. A prímszámokat egytényezős szorzatokra való felbontásnak tekinthetjük. Ha ezt nem fogadjuk el, és a tételt abban a - szintén helyes - formában mondjuk ki, miszerint minden összetett szám felbomlik, lényegében egyértelműen, prímek szorzatára, akkor a prímszámok kanonikus alakjáról megfeledkezünk. Sok esetben azonban ennek feltételezésére is szükség lehet a gyakorlati és különösen elméleti problémák megoldása során.