Teljes indukció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A teljes indukció módszere a dominóeffektusra hasonlít.

A teljes indukció (ritkábban: matematikai indukció) a matematika egyik legfontosabb és leggyakrabban használt bizonyítási módszere a természetes számok körében. A teljes indukció elve a következő: Ha egy tulajdonság igaz 1-re (n=1), továbbá ez a tulajdonság olyan természetű, hogy öröklődik a természetes számok rákövetkezése során (tehát n-ről n+1-re), akkor ezzel a tulajdonsággal az összes természetes szám rendelkezik.

A módszer segítségével egyszerre megszámlálhatóan végtelen sok állítást lehet bizonyítani. A végtelen sok állítást sorba rendezzük, majd az így kapott sorozat első állítását igazoljuk. Ezután következik a teljes indukció „lelke”, az indukciós lépés. Ez annak az állításnak a bizonyítását jelenti, hogy ha feltesszük, hogy az n-edik állítás igaz, akkor abból következik az n+1-edik állítás igazsága is. Az első állítás igazsága és az indukciós lépés együtt már az összes állítás igazságát is bizonyítja.

A teljes indukció nagyobb számosságokra való általánosítása a transzfinit indukció.

A teljes indukció első írásos emléke 1575-ből származik. Ekkor bizonyította Francesco Maurolico Arithmeticorum libri fuo című művében, hogy az első n pozitív páratlan szám összege n2.

A módszer neve félrevezető, valójában nem általánosításról, hanem a matematika szabályai szerinti bizonyításról van szó, azaz a teljes indukció – mint minden más matematikailag helyes módszer – tulajdonképpen dedukció.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Maurolico által bizonyított állítás, vagyis hogy az első n pozitív páratlan szám összege éppen n2, teljes indukciós bizonyítása következik. Képlet formájában:

1+3+ \ldots + (2n-1) = n^2

Ezt az állítást minden pozitív egész n-re be kell látnunk.

Az első lépés, hogy ellenőrizzük az állítást n=1-re. Ekkor a bal oldalon mindössze egy tagja van az összeadásnak, az 1. A jobb oldalon pedig 12 áll, vagyis igaz az állítás, hiszen 1=1^2.

A második lépés az indukciós lépés. Tegyük fel tehát, hogy az állítás igaz n=k-ra. Ez azt jelenti, hogy 1+3+\ldots + (2k-1)=k^2.

Be kellene látni, hogy ekkor az állítás teljesül n = k+1-re is. A bal oldal n = k+1 esetén: 1+3+\ldots + (2k-1)+ (2k+1). Azért írjuk ilyen alakban, hogy jól látható legyen, hogy hol lehet felhasználni az indukciós feltevést. Ekkor ugyanis

1+3+\ldots +(2k-1)+(2k+1) = k^2 + (2k+1) = k^2 +2k+1 = (k+1)^2:

Vagyis az állítás teljesül n = k+1-re is. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Részletes meghatározás példákkal