Bővelkedő számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A számelméletben bővelkedő számnak, vagy abundáns számnak nevezünk minden olyan egészt, amelyek kisebbek osztóik összegénél (önmagukat nem számítva).(Abundant numbers (sum of divisors of n exceeds 2n))[1] Ezek tehát azok a számok, amelyekre σ(n) > 2n, ahol σ(n) az n osztóinak összege (ezúttal önmagát is beleértve).

Az osztók összegének és a számnak a különbsége (más szóval σ(n) ‒ 2n) a bővelkedés mértéke. Azon számokat, amelyeknél ez a mérték 1, kvázitökéletes számoknak nevezzük. Ezek páratlan négyzetszámok – ha vannak.

A bővelkedő számokat elsőként Nikomakhosz görög matematikus definiálta i. sz. 100 körül, Introductio Arithmetica (Bevezetés az aritmetikába) című művében. Végtelen sok bővelkedő szám létezik, páros és páratlan egyaránt; többek között minden bővelkedő tökéletes szám tetszőleges többszöröse is bővelkedő. Az első néhány ilyen szám:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108,…

Az első néhány páratlan bővelkedő szám:

945, 1575, 2205, 2835, 3465, 4095, 4725, 5355, 5775, 5985, 6435, 6615, 6825, 7245, 7425, 7875, 8085, 8415,…

Davenport 1933-ban analitikus módszerekkel bebizonyította, hogy a bővelkedő számok sorozatának van aszimptotikus sűrűsége. Erre Erdős Pál 1934-ben elegáns elemi bizonyítást adott, igazolva, hogy a primitív bővelkedő számok (olyan nem hiányos számok, amelyek minden valódi osztója hiányos) reciprokösszege korlátos. Ez indíttatta Schur-t arra, hogy Erdőst Budapest csodájának nevezze. 1998-ban Marc Deléglise francia matematikus megmutatta, hogy bővelkedő számok sorozatának sűrűsége 0,2474 és 0,2480 közé esik, ezzel eldöntve Henri Cohen kérdését, hogy eléri-e az egynegyedet.

Belátható, hogy minden 20161-nél nagyobb egész felírható két bővelkedő szám összegeként.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Külső hivatkozás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]