Hatvány

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A hatvány egy adott szám önmagával való szorzása. Jelölése: $a^n \$ , ahol a az alap (konstans), és n a kitevő.

Hatványozáskor annyiszor szorozzuk meg önmagával a számot, amekkora a kitevő értéke, pl. $6^3=6 \times 6\times 6=216$ vagy $8^2=8 \times 8$ .

Legismertebb példák a "kerek számok" közül azok, melyeket a tízes számrendszer alapszámaiként használunk: tíz, száz, ezer stb. További jó példa a hatványokra a számítástechnikában használt "kerek számok", amelyek mind a kettő hatványai, pl. $2^5=32 \$ , $2^7=128 \$ stb.

Ez a matematikai tárgyú lap még csak csonk (azaz erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!

[szerkesztés] Matematikai definíció

Ha a tetszőleges valós szám, és n 1-nél nagyobb pozitív egész szám, akkor $a n$ hatvány azt az n tényezős szorzatot jelenti, amelynek minden tényezője a.

Ha n=1, akkor a definíció szerint $a 1 = a$

[szerkesztés] Hatványozási azonosságok

$a^0=1 \,$

Nullától különböző szám nulladik hatványa mindig 1.

$a^1=a \,$

$0^b=0 \,$

A nullával történő hatványozást NEM ÉRTELMEZZÜK!

$1^b=1 \,$

$a^{-b}={1 \over a^b}$

$a^b \times c^b={(a \times c)}^b \,$

A szorzat hatványa egyenlő a tényezők hatványának szorzatával.

$a^b \times a^c=a^{b+c}$

Azonos alapú hatványok szorzata egyenlő azzal a hatvánnyal, amelynél az alapot a kitevők összegére emeljük.

$a^{b-c}={a^b \over a^c} \,$

Azonos alapú hatványok osztása esetén a tört egyszerűsíthető.
Az eredmény attól függ, hogy a számláló vagy a nevező kitevője nagyobb.

$a^{b \times c}=({a^b})^c=({a^c})^b \,$

$a^{(b^c)} \ne (a^b)^c \,$

$\left( \frac{a}{b} \right)^c={a^c \over b^c} \,$

Tört hatványa egyenlő a számláló és a nevező hatványának hányadosával.

Az alábbi azonosságok könnyen ellenőrizhetőek, ha átírjuk őket szorzat alakjába.

Négyzetgyök "a"-nak nevezzük azt a nemnegatív valós számot, melynek négyzete "a". A definícióhoz hozzátartozik, hogy "a" nemnegatív.

[szerkesztés] Törtkitevős hatvány

[szerkesztés] Tetszőleges valós kitevős hatvány

[szerkesztés] A Permanenciaelv követelményei

Első követelmény: a kiterjesztett definíciónak legyen értelme.
Második követelmény: a kiterjesztett definíció egyértelmű legyen.
Harmadik követelmény: a korábbi definíció a kiterjesztettnek speciális esete.
Negyedik követelmény: lehetőleg maradjanak érvényben az ismert azonosságok.

[szerkesztés] A hatványszámok tulajdonságai

Csak az a hatvány osztható 10-zel, melynek az alapja is osztható 10-zel. Ezt könnyen beláthatjuk: 10 prímtényezős alakja= 2*5. Ha az alapban nem szerepel valamelyik prímtényező, akkor a hatványban sem fog, mert mindig ugyanazokat a prímtényezőket szorozzuk össze.
Minden olyan hatvány, melyben a hatványalapot páros számszor szorozzuk meg önmagával (pl a*a), négyzetszám, mert az alapok a szorzat tagjainak száma:2 darabot tartalmazó 2 csoportba oszthatók.
Továbbá: minden olyan szám írható fel x-ediken alakba, melyben az alapok összeszorzásának tényezőinek szorzatában a tagok száma osztható x-szel.

Hatvány

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Matematikai definíció

[szerkesztés] Hatványozási azonosságok

[szerkesztés] Törtkitevős hatvány

[szerkesztés] Tetszőleges valós kitevős hatvány

[szerkesztés] A Permanenciaelv követelményei

[szerkesztés] A hatványszámok tulajdonságai

[szerkesztés] Lásd még

Nézetek

Személyes eszközök

Keresés

Navigáció

részvétel

Eszközök

Más nyelveken