Mersenne-prímek

A matematikában Mersenne-prímnek nevezzük a kettő-hatványnál eggyel kisebb, azaz a $2^n -1$ alakban felírható prímszámokat, ahol n szintén prímszám. A nevüket Marin Mersenne (1588–1648) francia szerzetes, matematikus, fizikus után kapták.

Matematikai alapok

Például a 31 (prímszám) = 32 ‒ 1 = 2⁵ ‒ 1, és 5 szintén prím, ezért a 31 egy Mersenne-prím; hasonlóan, 7 = 8 ‒ 1 = 2³ ‒ 1. Másrészt 2047 = 2048 ‒ 1 = 2¹¹ ‒ 1, nem Mersenne-prím, mivel bár a 11 prímszám, a 2047 nem az (osztható 89-cel és 23-mal). A modern kori matematikában a legnagyobb ismert prímszám gyakran Mersenne-prím volt.

A Mersenne-prím definíciójában a kikötés, hogy n szükségképpen prím, elhagyható, ugyanis minden összetett n esetén elemi módon felbontható:

$\begin{align}2^{ab}-1&=(2^a-1)\cdot \left(1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\cdots+2^{(b-1)a}\right)\\&=(2^b-1)\cdot \left(1+2^b+2^{2b}+2^{3b}+\cdots+2^{(a-1)b}\right).\end{align}$

Általánosabban, a Mersenne-számok (nem feltétlenül prímek, de lehetnek azok is) olyan természetes számok, amik eggyel kisebbek egy kettő-hatványnál, tehát;

M_n = 2ⁿ − 1.

(a legtöbb forrás a Mersenne-számoknál is megköveteli, hogy az n prímszám legyen)

Aktuális

Ábra az adott évben ismert legnagyobb Mersenne-prím számjegyeinek számáról.

2008. augusztus 23-án fedezték fel a 45-ödik Mersenne-prímet, ez a 2^{43 112 609}−1 szám, amely 12 978 189 számjegyű.

2008. szeptember 6-án találták meg a 46-odik Mersenne-prímet, ez a 2^{37 156 667}−1 szám, amely 11 185 272 számjegyű, azaz jóval kisebb a két héttel idősebb társánál.

2009. április 12-én találták meg a 47-edik Mersenne-prímet, ez a 2^{42 643 801}−1 szám, amely 12 837 064 számjegyű, azaz 141 125 számjeggyel kisebb a 2008. augusztus 23-ai számnál.

2013. január 25-én találták meg a 48-adik Mersenne-prímszámot, ez a 2^{57 885 161}−1 szám, amely 17 425 170 számjegyből áll. Jelenleg ez a legnagyobb ismert prímszám.

Források

• http://www.mersenne.org/