Wieferich-prímek

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A számelméletben ha p prímszám, és p2 osztója 2p − 1 − 1-nek, akkor p Wieferich-prím.[1] A Wieferich-prímek a kis Fermat-tételhez kapcsolódnak, ami azt állítja, hogy ha p páratlan prím, akkor osztója 2p − 1 − 1-nek. Arthur Wieferich 1909-ben írta le őket az akkori Fermat-sejtéshez, ma nagy Fermat-tételhez kapcsolódó feljegyzéseiben. Akkoriban már Fermat mindkét állítása közismert volt.[2][3]

A Wieferich-prímek azóta más témákban is felbukkantak a számok és prímek különböző típusaival együtt, így a Mersenne- és a Fermat-számokkal, bizonyos típusú álprímekkel és a Wieferich-prímek eredeti definíciójának általánosításával kapott számokkal együtt. Idővel jobban megismerve ezeket a kapcsolatokat bizonyos prímszámok újabb tulajdonságait fedezték fel olyan általánosabb témákban, mint az abc-sejtés vagy a számtestek.

A kutatások ellenére eddig csak két Wieferich-prímet ismerünk, ezek az 1093 és a 3511 (A001220 sorozat az OEIS-ben).

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kis Fermat-tétel erősítését az 2p − 1 ≡ 1 (mod p2 kongruenciával fejezik ki, amiből az egész számok kongruenciájának definíciójával következik, hogy ennek teljesítése ekvivalens a bevezetőben megadott állítás teljesítésével. Így ha p prím, és eleget tesz a kongruenciának, ekvivalens azzal, hogy p osztója a \tfrac{2^{p-1}-1}{p} Fermat-hányadosnak.

A 11 nem Wieferich-prím, mert ha p = 11, akkor \tfrac{2^{10}-1}{11}=93, ami 11-gyel osztva 5-öt ad maradékul. Ellenben 1093 Wieferich-prím, mert \tfrac{2^{1092}-1}{1093} (339 jegyű szám) osztható 1093-mal.

Történetük[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

1902-ben W. F. Meyer belátott egy tételt a ap − 1 ≡ 1 (mod pr) kongruencia megoldásairól.[4] Arthur Wieferich még ebben az évtizedben megmutatta, hogy ha a Fermat-sejtés megoldható lenne egy p páratlan prím kitevőre, akkor ennek a prímnek a fenti kongruencia megoldásának kell lennie a = 2 és r = 2 paraméterekkel. Más szavakkal, ha xp + yp + zp = 0 megoldható lenne a pozitív x, y, z egészekre és a p páratlan prímre, ahol p nem osztója xyz-nek, akkor teljesül 2p − 1 ≡ 1 (mod p2) is. 1913-ban P. G. H. Bachmann a \tfrac{2^{p-1}-1}{p}\,\bmod\,p maradékot vizsgálta, hogy mikor lesz nulla.[5]

Az 1093 Wieferich-prím voltát még Waldemar Meissner bizonyította be 1913-ban, és megerősítette, hogy 2000 alatt nincs több ilyen prím. Minden 2000-nél kisebb prímre megvizsgálta \tfrac{2^{t}-1}{p}\,\bmod\,p legkisebb maradékát. Azt találta, hogy ez a maradék nulla, ha t = 364 és p = 1093. Ez megcáfolta Grawe sejtését, hogy ilyen prímek márpedig nincsenek.[6] E. Haentzschel elemi számításokkal ellenőrizte Meissner konguenciáját.[7] Euler nyomán először belátta, hogy 10932 | (2182 + 1), és megjegyezte, hogy (2182 + 1) egy tényezője (2364 − 1)-nek.[8] Azt is sikerült megmutatni, hogy 1093 Wieferich-prím volta bizonyítható a komplex számok használata nélkül, Meissner számításaival ellentétben.[9] although Meissner himself hinted at that he was aware of a proof without complex values.[6]

A 3511 hasonló tulajdonságát N. G. W. H. Beeger vette észre 1922-ben,[10] és R. K. Guy 1965-ben egy másik bizonyítással állt elő.[11] 1960-ban Kravitz[12] megduplázta a Fröberg által megadott határt,[13] majd 1961-ben Riesel kiterjesztette ezt a határt egészen 500 000-ig a BESK felhasználásával.[14] 1980 körül Lehmer folytatta a keresést egészen 6·109-ig.[15] 2006-ban ezt tovább emelték 2,5·1015-re,[16] végül 3·1015-re. Azóta azt is tudjuk, hogy ha van még Wieferich-prím, akkor nagyobbnak kell lennie, mint 6,7·1015.[17] Jelenleg elosztott számításokkal folytatják a kutatást az újabb Wieferich-prímek után. Ezek egyike a Wieferich@Home, a másika a PrimeGrid, ami 2011 decemberében indult.[18] 2012 májusában a PrimeGrid 7·1015-re tolta ki a határt.[19]

Nem ismert, hogy egyáltalán vannak-e még Wieferich-prímek, és ha igen, akkor végtelen sok van-e. Chris Caldwell sejtése szerint véges sok van,[1] de vannak, akik azt sejtik, hogy végtelen sok ilyen prím létezik, és hogy egy x korlátig számuk log(log(x)). Ez azt feltételezi, hogy a (p − 1)-edik primitív egységgyökök egyenletesen oszlanak el modulo p2.[20]

Tulajdonságaik[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A nagy Fermat-tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A következő tétel kapcsolatot teremt a Wiefeich-prímek és a nagy Fermat-tétel között:

Legyen p prím, és legyenek az x, y, z pozitív egészek olyanok, hogy xp + yp + zp = 0.

Ha még azt is feltesszük, hogy a p prím nem osztója az xyz szorzatnak, akkor p Wieferich-prím kell, hogy legyen. Ezt a tételt még Wieferich látta be 1909-ben.[21] Az oszthatósági kikötés a nagy Fermat-tétel első eseteként ismert.(FLTI)[22][23] és az FLTI megbukik egy p prímre, ha a Fermat-egyenlet megoldható ezzel a p-vel, különben az FLTI teljesül p-re.[24] 1910-ben Mirimanoff kibővítette a tételt,[25] megmutatva, hogy ha teljesülnek a tétel előfeltételei, akkor a p prímre az is teljesül még, hogy p2 osztója 3p − 1 − 1-nek is. Sőt, Granville és Monagan szerint p2-nek még az mp − 1 − 1 mennziségnek osztójának is kell lennie az összes m ≤ 89 prímre.[26] Suzuki ezt a határt tovább emelte minden m ≤ 113 prímre.[27]

Legyen Hp relatív prím számpárokból alkotott halmaz, a p prím relatív prím az x, y és x + y, (x + y)p-1 ≡ 1 (mod p2)-hez, (x + ξy) a K ideál p-edik hatványa, ahol ξ = 2π/p + i sin 2π/p! K = Q(ξ) a racionális számoknak az a testbővítése, amit az ξ algebrai számok minimálpolinomjainak összes gyökének hozzávételével kapunk. Mivel ξ egységgyök, ezért körosztási testet kapunk.[26] A Q(ξ) ideáljainak egyértelmű faktorizációjából kapjuk, hogy ha a nagy Fermat-tétel első esetének van x, y, z megoldása, akkor p osztója x+y+z-nek, és (x, y), (y, z) és (z, x) a Hp elemei.[26] Granville és Monagan belátta, hogy (1, 1) ∈ Hp akkor és csak akkor, ha p Wieferich-prím.[26]

Az abc-sejtés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha p egy prímszám, ami nem tesz eleget a Wieferich-prímek definiáló kongruenciájának, vagyis 2p − 1 ≢ 1 (mod p2), akkor p nem Wieferich-prím. J. H. Silverman 1988-ban megmutatta, hogy ha teljesül az abc-sejtés, akkor végtelen sok nem Wieferich-prím van.[28] Pontosabban, létezik egy csak α-tól függő konstans, hogy egy X határ alatti α alapú nem Wieferich-prímek száma nagyobb, mint log(X), vagyis a végtelenbe tart.[29] Az eddigi számítások szerint egy adott intervallumon nagyon kevés Wieferich-prím található. A Wieferich-prímek W2 és a nem Wieferich-prímek W2c halmaza komplementerek,[30] tehát ha az egyik véges, a másiknak végtelennek kell lennie, mivel végtelen sok prímszám van.Később belátták azt is, hogy ha végtelen sok nem Wieferich-prím van, akkor következik az abc-sejtés egy ABC-(k, ε)-sejtésként ismert gyengített verziója.[31] Sőt, végtelen sok nem Wieferich-prím esetén végtelen sok négyzetmentes Mersenne-szám létezik.[32]

A Mersenne- és a Fermat-számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az n-edik Mersenne-szám, Mn = 2n − 1 akkor lehet prím, ha n is prím. A kis Fermat-tétel állítása szerint ha p > 2 prím, akkor Mp−1 (= 2p − 1 − 1) osztható lesz p-vel. Mivel az Mp és az Mq prím indexű Mersenne-számok relatív prímek, azért

Ha q prím, akkor Mq egy p prímosztója Wieferich-prím akkor és csak akkor, ha p2 is osztója Mq-nak.[33]

Ezért egy Mersenne-prím nem lehet Wieferich-prím. A számelmélet egy fontos megoldatlan kérdése, hogy minden prím sorszámú Mersenne-szám négyzetmentes-e. Ha egy Mq prím sorszámú Mersenne-szám nem négyzetmentes, akkor van egy p prím, aminek négyzete osztója Mq-nak. Ekkor p-nek Wieferich-prímnek kell lennie. Tehát, ha csak véges sok Wieferich-prím van, akkor legfeljebb véges sok nem négyzetmentes prím sorszuámú Mersenne-szám van, mivel ezek páronként relatív prímek. Rotkiewicz az állítás megfordítását is igazolta, tehát ha végtelen sok prím sorszámú négyzetmentes Mersenne-szám van, akkor a nem Wieferich-prímek száma is végtelen.[34]

Hasonlóan, ha p prím, és osztója egy Fn = 22n + 1 Fermat-számnak, akkor p Wieferich-prím.[35] Az ismert két Wieferich-prímről, 1093-ról és 3511-ről belátták, hogy egyik sem osztójsa egy Fermat- vagy Mersenne-számnak sem.[36]

Kapcsolat más egyenletekkel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Scott és Styer megmutatta, hogy az px – 2y = d egyenletnek egy megoldása van az pozitív egész számpárok halmazán az (x, y) párra, kivéve ha p2 | 2ordp 2 – 1 ahol ordp 2 a 2 multiplikatív rendje modulo p.[37] Azt is belátták, hogy az ±ax1 ± 2y1 = ±ax2 ± 2y2 = c egyenlet egy általánosabb egyenlethalmaz specifikus alakja, kivéve ha a egy 1,25 x 1015-nél nagyobb Wieferich-prím.[38]

Periodikusság kettes számrendszerben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Johnson megfigyelte,[39] hogy mindkét ismert Wieferich-prím alsó szomszédja a kettes számrendszerben periodikus jegyekből áll: 1092 = 0100010001002; 3510 = 1101101101102. A Wieferich@Home projekt ebből a megfigyelésből kiindulva kettes számrendfszerben periodikus számok felső szomszédját vizsgálja, de a legfeljebb 3500 bites legfeljebb 24 periódushosszú számok felső szomszédai nem Wieferich-prímek.[40]

Ekvivalens kongruenciák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Wieferich-prímek más kongruenciákkal is definiálhatók. Ha p Wieferich-prím, akkor a 2p-1 ≡ 1 (mod p2) kongruenciát 2-vel megszorozva kapjuk, hogy 2p ≡ 2 (mod p2). p-edik hatványra emelve 2p2 ≡2p ≡ 2 (mod p2), és innen 2pk ≡ 2 (mod p2) minden k ≥ 1-re. Megfordítva, 2pk ≡ 2 (mod p2) egy k ≥ 1-re implikálja, hogy 2 multiplikatív rendje modulo p2 osztója a (pk-1, φ(p2))=p-1 legnagyobb közös osztónak. Másként, 2p-1 ≡ 1 (mod p2), és így p Wieferich-prím.

Még Bolyai megmutatta, hogy ha p és q prímek, a egyikkel sem osztható pozitív egész, és ap-1 ≡ 1 (mod q), aq-1 ≡ 1 (mod p), akkor apq-1 ≡ 1 (mod pq). A p = q helyettesítésselap2-1 ≡ 1 (mod p2).[41] Azt is belátták, hogy ap2-1 ≡ 1 (mod p2) akkor és csak akkor, ha ap-1 ≡ 1 (mod p2).[41]

Álprímek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Megfigyelték, hogy mindkét ismert Wieferich-prím négyzetes prímtényezője az összes 2 alapú Fermat-álprímnek egészen 25·109-ig.[42] A későbbi számítások megmutatták, hogy az álprímek egyetlen magasabb hatványon szereplő tényezői egészen 1012-ig csa 1093 és 3511.[43] Sőt, a következők is teljesülnek: legyen n 2 alapú álprím, és p prímosztója n-nek. Ha \tfrac{2^{n-1}-1}{n}\not\equiv 0 \pmod{p}, akkor \tfrac{2^{p-1}-1}{p}\not\equiv 0 \pmod{p} is teljesül.[24] Továbbá, ha p Wieferich-prím, akkor p2 Catalan-álprím.[44]

Irányított gráfok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az 100000-nél kisebb prímek esetén L(pn+1) = L(pn) kétszer teljesül: L(10932) = L(1093) = 364 és L(35112) = L(3511) = 1755, ahol m a kétszerező diagram modulusa, és L(m) az 1 körén levő csúcsok száma. A kétszerező diagram csúcsai az m-nél kisebb \N_0-beli természetes számok, és csak az x-ből a modulo m redukált 2x-be mutató élek léteznek.[45]Sablon:Rp It was shown, that for all odd prime numbers either L(pn+1) = p × L(pn) or L(pn+1) = L(pn).[45]

Számtestek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tudjuk, hogy \chi_{D_{0}} \big(p \big) = 1 és \lambda\,\!_p \big( \mathbb{Q} \big(\sqrt{D_{0}} \big) \big) = 1 akkor és csak akkor, ha 2p − 1 ≢ 1 (mod p2)ahol p páratlan prím és D_{0} < 0 a képzetes \mathbb{Q} \big(\sqrt{1 - p^2} \big) kvadratikus test fundamentális diszkriminánsa. Legyen p Wieferich-prím. Ha p ≡ 3 (mod 4), akkor legyen D_{0} < 0 a \mathbb{Q} \big(\sqrt{1 - p} \big) képzetes kvadratikus test fundamentális diszkriminánsa. Ha p ≡ 1 (mod 4), akkor legyen D_{0} < 0 a \mathbb{Q} \big(\sqrt{4 - p} \big) képzetes kvadratikus test fundamentális diszkriminánsa. Ekkor \chi_{D_{0}} \big(p \big) = 1 és \lambda\,\!_p \big( \mathbb{Q} \big(\sqrt{D_{0}} \big) \big) = 1 ahol χ és λ Iwasawa-invariánsok.[46]

Továbbá: legyen q páratlan prím, k és p prímek úgy, hogy p = 2k + 1, k ≡ 3 (mod 4), p ≡ −1 (mod q), p ≢ −1 (mod q3) és q rendje modulo k is \tfrac{k-1}{2}. Tegyük fel továbbá, hogy q osztója h+-nak, ami a \mathbb{Q} \big( \zeta\,\!_p + \zeta\,\!_p^{-1} \big) valós körosztási test osztályszáma. Ekkor q Wieferich-prím.[47] Ez akkor is teljesül, ha a p ≡ −1 (mod q) és a p ≢ −1 (mod q3) feltételeket p ≡ −3 (mod q) és p ≢ −3 (mod q3) helyettesíti, vagy ha p ≡ −1 (mod q) helyett p ≡ −5 (mod q), amikor is q Wall−Sun−Sun prím, és az inkogruencia helyett p ≢ −5 (mod q3) teljesül.[48]

Periódusuk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha x egész szám, akkor legyen a b alapú periódusa reciprokának periódusának hossza! Például a 3 10-es alapú periódusa 1, mivel 1/3 = 0.3; 2-es alapú periódusa viszont 2, merthogy 3 = 0.01 a kettes számrendszerben. Általában igaz, hogy ha x egész, akkor periódusa megegyezik b multiplikatív rendjével modulo x.[49] Ha x Wieferich-prím, akkor bx−1 ≡ 1 (mod x2). Ha x2 osztója bp − 1-nek, akkor x2 periódushossza megegyezik x periódusával.[49] Garza és Young azt állította, hogy 1093 periódusa 1092, és hogy ugyanez 10932 periódusa is,[49] de 2 multiplikatív rendje modulo 10932 364, ami rácáfol erre az állításra.

A Wieferich-prímek hatványainak rendje modulo 2[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egészen 4 x 1012-ig csak két prímre teljesül az ordp2 2 = ordp 2 állítás, és ezek az 1093 és a 3511. Ismert továbbá, hogy ord1093 2 = 364 és ord3511 2 = 1755.[50][51]

H. S. Vandiver belátta, hogy 2p-1 ≡ 1 (mod p3) akkor és csak akkor, ha 1 + \tfrac{1}{3} + \dots + \tfrac{1}{p-2} \equiv 0 \pmod{p^2}.[52]

Általánosítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Majdnem Wieferich-prímek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A majdnem Wieferich-prímek éppen azok a prímek, amelyeket p-be helyettesítve 2(p−1)/2 ≡ ±1 + Ap (mod p2), ahol |A| abszolútértéke kicsi. (A195988 sorozat az OEIS-ben).[53][54] Az A = 0 majdnem Wieferich-prímek éppen a Wieferich-prímek. A Wieferich-prímeket kereső kutatások majdnem Wieferich-prímeket is keresnek.[17][55] Az alábbi táblázat felsorolja az [1·109, 3·1015] intervallumba eső majdnem Wieferich-prímeket.[56] Ezt a határt P. Carlisle, R. Crandall és M. Rodenkirch közös kutatással érték el.[16][57]

p 1 vagy −1 A
3520624567 +1 −6
46262476201 +1 +5
47004625957 −1 +1
58481216789 −1 +5
76843523891 −1 +1
1180032105761 +1 −6
12456646902457 +1 +2
134257821895921 +1 +10
339258218134349 −1 +2
2276306935816523 −1 −3

Dorais és Klyve[17] egy másik definíciót adott a majdnem Wieferich-prímekre. Ha p prím, pontosan akkor lesz majdnem Wieferich-prím, ha \left|\tfrac{\omega(p)}{p}\right| ahol \omega(p)=\tfrac{2^{p-1}-1}{p}\,\bmod\,p kis abszolútértékű, és megegyezik 2 Fermat-hányadosa p-re modulo p, ahol a modulo maradék a legkisebb abszolútértékű reprezentánst adja. A következő táblázat a p ≤ 6.7 × 1015 prímeket tartalmazza, amelyekre \left|\tfrac{\omega(p)}p\right|\leq 10^{-14}.

p \omega(p) \left|\tfrac{\omega(p)}{p}\right|\times 10^{14}
1093 0 0
3511 0 0
2276306935816523 +6 0.264
3167939147662997 −17 0.537
3723113065138349 −36 0.967
5131427559624857 −36 0.702
5294488110626977 −31 0.586
6517506365514181 +58 0.890

Az a alapú Wieferich-prímek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy prímszám, p a alapú Wieferich-prím, ha

ap − 1 ≡ 1 (mod p2).[4]

Egy ilyen prím nem lehet az a alap osztója, mert akkor 1 osztójának is kellene lennie.

Wieferich-párok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két prímszám, p és q Wieferich-párt alkot, ha:

pq − 1 ≡ 1 (mod q2) and qp − 1 ≡ 1 (mod p2)

Egy Wieferich-prím Wieferich-párt alkot a 2-vel, ha p-be helyettesítve p ≡ 1 (mod 4). Jelenleg csak egyetlen ilyen példát ismerünk, a p = 1093-at. Összesen 6 Wieferich-párt ismerünk.[58]

Wieferich-számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A w ≥ 3 páratlan egész Wieferich-szám, ha teljesül rá, hogy 2φ(w) ≡ 1 (mod w2), ahol φ(·) az Euler-függvény. Ha w Wieferich-szám és prím, akkor Wieferich-prím. A legkisebb Wieferich-számok:

1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, … (A077816 sorozat az OEIS-ben)

Belátható, hogy ha véges sok Wieferich-prím van, akkor a Wieferich-számok száma is véges. Pontosabban, ha az összes Wieferich-prím 1093 és 3511, akkor pontosan 104 Wieferich-szám van, és ezek azok, amelyeket mind ismerünk.[59]

Általánosabban, w a alapú Wieferich-szám, ha egész, és aφ(w) ≡ 1 (mod w2).[60]

Egy másik definíció szerint q Wieferich-szám, ha páratlan egész, és nem relatív prím \tfrac{2^m-1}{q}-hoz, ahol m a 2 multiplikatív rendje modulo q. Az első néhány ilyen szám: [61]

21, 39, 55, 57, 105, 111, 147, 155, 165, 171, 183, … (A182297 sorozat az OEIS-ben)

Eszerint a definíció szerint is, ha egy Wieferich-szám prím, akkor Wieferich-prím.

Lucas–Wieferich-prímek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha (P, Q) egész számokból alkotott számpár, akkor p hozzájuk asszociált Lucas–Wieferich-prím, ha Up-ε(P, Q) ≡ 0 (mod p2), ahol Un(P, Q) a Lucas-sorozat, és ε a P2 - 4Q Legendre-szimbóluma modulo p. A Wieferich-prímek egyben a (3, 2) párhoza asszociált Lucas–Wieferich-prímek.[62]

Wieferich-helyek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen K számtest, vagy egy változós függvénytest egy véges test fölött, és legyen E elliptikus görbe! Ha v nem arkhimédészi helye a K test qv normájának, és az a ∈ K elemre v(a) = 0, akkor v(aqv-1-1) ≥ 1. v a alapú Wieferich-hely, ha v(aqv-1-1) > 1. P alapú Wieferich-hely, ha PE, és NvPE2. Erős P alapú Wieferich-hely, ha PE, és nvPE2, ahol nv a P pont rendje modulo v, és Nv az E görbe redukciójának racionális pontjainak száma modulo v.[63]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. ^ a b The Prime Glossary: Wieferich prime, <http://primes.utm.edu/glossary/xpage/WieferichPrime.html>
  2. Israel Kleiner (2000), "From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem", Elem. Math. 55: 21, doi:10.1007/PL00000079, <http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/kleiner.pdf>Sablon:WebCite
  3. Leonhard Euler (1736), "Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio", Novi Comm. Acad. Sci. Petropol. 8: 33–37, <http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/translations/E054tr.pdf>
  4. ^ a b Wilfrid Keller; Jörg Richstein (2005), "Solutions of the congruence ap−1 ≡ 1 (mod pr)", Math. Comp. 74 (250): 927–936, doi:10.1090/S0025-5718-04-01666-7, <http://www.ams.org/journals/mcom/2005-74-250/S0025-5718-04-01666-7/S0025-5718-04-01666-7.pdf>
  5. Bachmann, P. (1913.). „Über den Rest von \tfrac{2^{p-1}-1}{p}\,\bmod\,p” (German nyelven). Journal für Mathematik 142 (1), 41–50. o.  
  6. ^ a b Meissner, W. (1913), "Über die Teilbarkeit von 2p − 2 durch das Quadrat der Primzahl p=1093", Sitzungsber. D. Königl. Preuss. Akad. D. Wiss. (Berlin) Zweiter Halbband. Juli bis Dezember: 663–667
  7. Haentzschel, E. (1926), "Über die Kongruenz 21092 ≡ 1 (mod 10932)", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 34: 284, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN00212534X>
  8. Haentzschel, E. (1925), "Über die Kongruenz 21092 ≡ 1 (mod 10932)", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 34: 184, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002127695>
  9. Ribenboim, P. (1983), "1093", The Mathematical Intelligencer 5 (2): 28–34, DOI 10.1007/BF03023623
  10. Beeger, N. G. W. H. (1922), "On a new case of the congruence 2p − 1 ≡ 1 (mod p2)", Messenger of Mathematics 51: 149–150, <http://www.archive.org/stream/messengerofmathe5051cambuoft#page/148/mode/2up>Sablon:WebCite
  11. Guy, R. K. (1965), "A property of the prime 3511", The Mathematical Gazette 49 (367): 78–79, <http://www.jstor.org/stable/3614249>
  12. Kravitz, S. (1960.). „The Congruence 2p-1 ≡ 1 (mod p2) for p < 100,000”. Math. Comp. 14, 378. o. DOI:10.1090/S0025-5718-1960-0121334-7.  
  13. Fröberg C. E. (1958.). „Some Computations of Wilson and Fermat Remainders”. Math. Comp. 12, 281. o. DOI:10.1090/S0025-5718-58-99270-6.  
  14. Riesel, H. (1964.). „Note on the Congruence ap-1 ≡ 1 (mod p2)”. Math. Comp. 18, 149–150. o. DOI:10.1090/S0025-5718-1964-0157928-6.  
  15. Lehmer, D. H.. „On Fermat's quotient, base two”. Math. Comp. 36 (153), 289–290. o. DOI:10.1090/S0025-5718-1981-0595064-5.  
  16. ^ a b Ribenboim, Paulo (2004), Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde, New York: Springer, p. 237, ISBN 3-540-34283-4, <http://books.google.de/books?id=-nEM9ZVr4CsC&pg=PA237>
  17. ^ a b c Dorais, F. G., Klyve, D. (2011.). „A Wieferich Prime Search Up to 6.7·1015”. Journal of Integer Sequences 14 (9). Hozzáférés ideje: 2011. október 23.  
  18. PrimeGrid Announcement of Wieferich and Wall-Sun-Sun searches
  19. PrimeGrid Wieferich prime search server statistics
  20. Franco, Z. & Pomerance, C. (1995), "On a conjecture of Crandall concerning the qx+1 problem", Math. Of Comput. (American Mathematical Society) 64 (211): 1333–1336, doi:10.2307/2153499, <http://www.math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper101.pdf>
  21. Wieferich, A. (1909), "Zum letzten Fermat'schen Theorem", Journal für die reine und angewandte Mathematik 136 (136): 293–302, doi:10.1515/crll.1909.136.293, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002166968>
  22. Coppersmith, D. (1990), "Fermat's Last Theorem (Case I) and the Wieferich Criterion", Math. Comp. (AMS) 54 (190): 895–902, <http://www.ams.org/journals/mcom/1990-54-190/S0025-5718-1990-1010598-2/S0025-5718-1990-1010598-2.pdf>
  23. Cikánek, P. (1994), "A Special Extension of Wieferich's Criterion", Math. Comp. (AMS) 62 (206): 923–930, <http://www.ams.org/journals/mcom/1994-62-206/S0025-5718-1994-1216257-9/S0025-5718-1994-1216257-9.pdf>
  24. ^ a b Dilcher, K. & Skula, L. (1995), "A new criterion for the first case of Fermat's last theorem", Math. Comp. (AMS) 64 (209): 363–392, <http://www.ams.org/journals/mcom/1995-64-209/S0025-5718-1995-1248969-6/S0025-5718-1995-1248969-6.pdf>
  25. Mirimanoff, D. (1910), "Sur le dernier théorème de Fermat", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences 150: 293–206
  26. ^ a b c d Granville, A. & Monagan, M. B. (1988), "The First Case of Fermat's Last Theorem is true for all prime exponents up to 714,591,416,091,389", Transactions of the American Mathematical Society 306 (1): 329–359, DOI 10.1090/S0002-9947-1988-0927694-5
  27. Suzuki, Jiro (1994), "On the generalized Wieferich criteria", Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 70: 230–234, <http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.pja/1195510946>
  28. Charles, D. X. On Wieferich primes
  29. Silverman, J. H. (1988), "Wieferich's criterion and the abc-conjecture", Journal of Number Theory 30 (2): 226–237, DOI 10.1016/0022-314X(88)90019-4
  30. DeKoninck, J.-M. & Doyon, N. (2007), "On the set of Wieferich primes and of its complement", Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp. 27: 3–13, <http://ac.inf.elte.hu/Vol_027_2007/003.pdf>
  31. Broughan, K. (2006), "Relaxations of the ABC Conjecture using integer k 'th roots", New Zealand J. Math. 35 (2): 121–136, <http://www.math.waikato.ac.nz/~kab/papers/abc01.pdf>
  32. Ribenboim, P.. 13 Lectures on Fermat's Last Theorem. New York: Springer (1979). ISBN 0-387-90432-8 
  33. Mersenne Primes: Conjectures and Unsolved Problems, <http://primes.utm.edu/mersenne/index.html#unknown>
  34. Rotkiewicz, A. (1965.). „Sur les nombres de Mersenne dépourvus de diviseurs carrés et sur les nombres naturels n, tels que n2∣2n-2” (French nyelven). Mat. Vesnik 2 (17), 78–80. o.  
  35. Ribenboim, Paulo (1991), The little book of big primes, New York: Springer, p. 64, ISBN 0-387-97508-X, <http://books.google.com/?id=zUCK7FT4xgAC&pg=PA64>
  36. Bray, H. G. & Warren, L. J. (1967), "On the square-freeness of Fermat and Mersenne numbers", Pacific J. Math. 22 (3): 563–564, <http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102992105>
  37. Scott, R., Styer, R. (2004. április 1.). „On px-qy=c and related three term exponential Diophantine equations with prime bases”. Journal of Number Theory 105 (2), 212–234. o, Kiadó: Elsevier. DOI:10.1016/j.jnt.2003.11.008.  
  38. Scott, R., Styer, R. (2006.). „On the generalized Pillai equation ±ax±by=c”. Journal of Number Theory 118 (2), 236–265. o. DOI:10.1016/j.jnt.2005.09.001.  
  39. Wells Johnson (1977), "On the nonvanishing of Fermat quotients (mod p)", J. Reine angew. Math. 292: 196–200, <http://www.digizeitschriften.de/index.php?id=resolveppn&PPN=GDZPPN002193698>
  40. Dobeš, Jan & Kureš, Miroslav (2010), "Search for Wieferich primes through the use of periodic binary strings", Serdica Journal of Computing 4: 293–300, <http://sci-gems.math.bas.bg/jspui/bitstream/10525/1595/1/sjc104-vol4-num3-2010.pdf>
  41. ^ a b Kiss, E., Sándor, J. (2004.). „On a congruence by János Bolyai, connected with pseudoprimes”. Mathematica Pannonica 15 (2), 283–288. o.  
  42. Ribenboim, P. (2004), "Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime", The Little Book of Bigger Primes, New York: Springer-Verlag New York, Inc., p. 99, ISBN 0-387-20169-6 Sablon:WebCite
  43. Pinch, R. G. E. (2000.). „The Pseudoprimes up to 1013”. Lecture Notes in Computer Science 1838, 459–473. o. DOI:10.1007/10722028_30.  
  44. (2008.) „Catalan numbers, primes and twin primes”. Elemente der Mathematik 63 (4), 153–164. o. DOI:10.4171/EM/103.  
  45. ^ a b Ehrlich, A. (1994), "Cycles in Doubling Diagrams mod m", The Fibonacci Quarterly 32 (1): 74–78, <http://www.fq.math.ca/Scanned/32-1/ehrlich.pdf>
  46. Byeon, D. (2006), "Class numbers, Iwasawa invariants and modular forms", Trends in Mathematics 9 (1): 25–29, <http://basilo.kaist.ac.kr/mathnet/kms_tex/985999.pdf>
  47. Jakubec, S. (1995), "Connection between the Wieferich congruence and divisibility of h+", Acta Arithmetica 71 (1): 55–64, <http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa71/aa7114.pdf>
  48. Jakubec, S. (1998), "On divisibility of the class number h+ of the real cyclotomic fields of prime degree l", Mathematics of Computation 67 (221): 369–398, <http://www.ams.org/journals/mcom/1998-67-221/S0025-5718-98-00916-8/S0025-5718-98-00916-8.pdf>
  49. ^ a b c Garza, G. & Young, J. (2004), "Wieferich Primes and Period Lengths for the Expansions of Fractions", Math. Mag. 77 (4): 314–319, DOI 10.2307/3219294
  50. Martínez-Pérez, C., Willems, W. (2006.). „Is the Class of Cyclic Codes Asymptotically Good?”. IEEE Transactions on information theory 52 (2), 696–700. o, Kiadó: IEEE. DOI:10.1109/TIT.2005.862123.  
  51. Stevens, W. H. (19 June 1995), Periodicity for the Z/pr-homology of cyclic covers of knots and Z-homology circles, <https://www.math.lsu.edu/~gilmer/waynestevenspaper.pdf>. Retrieved on 29 September 2012
  52. Dickson, L. E. (1917), "Fermat's Last Theorem and the Origin and Nature of the Theory of Algebraic Numbers", Annals of Mathematics 18 (4): 161–187, <http://www.jstor.org/stable/pdfplus/2007234>
  53. Crandall, Richard E.; Dilcher, Karl & Pomerance, Carl (1997), "A search for Wieferich and Wilson primes", Math. Comput. 66 (217): 433–449, doi:10.1090/S0025-5718-97-00791-6, <http://gauss.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper111.pdf>
  54. Joshua Knauer; Jörg Richstein (2005), "The continuing search for Wieferich primes", Math. Comp. 74 (251): 1559–1563, doi:10.1090/S0025-5718-05-01723-0, <http://www.ams.org/journals/mcom/2005-74-251/S0025-5718-05-01723-0/S0025-5718-05-01723-0.pdf>
  55. About project Wieferich@Home
  56. PrimeGrid, Wieferich & near Wieferich primes p < 11e15
  57. Ribenboim, Paulo (2000), My numbers, my friends: popular lectures on number theory, New York: Springer, pp. 213–229, ISBN 978-0-387-98911-2
  58. Weisstein, Eric W.: Double Wieferich Prime Pair. MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/DoubleWieferichPrimePair.html (angolul)
  59. Banks, W. D.; Luca, F. & Shparlinski, I. E. (2007), "Estimates for Wieferich numbers", The Ramanujan Journal (Springer) 14 (3): 361–378, doi:10.1007/s11139-007-9030-z, <http://web.science.mq.edu.au/~igor/Wieferich.pdf>
  60. Agoh, T.; Dilcher, K. & Skula, L. (1997), "Fermat Quotients for Composite Moduli", Journal of Number Theory 66 (1): 29–50, DOI 10.1006/jnth.1997.2162
  61. Müller, H. (2009.). „{{{title}}}” (German nyelven). Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg 28, 121–130. o, Kiadó: Mathematische Gesellschaft in Hamburg.  
  62. McIntosh, R. J. & Roettger, E. L. (2007), "A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes", Mathematics of Computation (AMS) 76 (260): 2087–2094, doi:10.1090/S0025-5718-07-01955-2, <http://www.ams.org/journals/mcom/2007-76-260/S0025-5718-07-01955-2/S0025-5718-07-01955-2.pdf>
  63. Voloch, J. F. (2000), "Elliptic Wieferich Primes", Journal of Number Theory 81: 205–209, DOI 10.1006/jnth.1999.2471