Sokszögszámok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában sokszögszámnak nevezzük az olyan természetes számokat, mely (kavicsok, pontok stb. segítségével kirakva) szabályos sokszög alakba rendezhető. A Püthagoreusok vették észre, hogy a számokat kavicsokkal vagy magokkal szemléltetve azokat különféle módokon el tudják rendezni. A 10-es szám például háromszög alakba rendezhető (Háromszögszámok):

   x 
  x x 
 x x x 
x x x x

A 10-et nem lehet négyzetszám alakba rendezni. A 9-et viszont igen:

x x x 
x x x 
x x x

Bizonyos számok, például a 36, négyzet és háromszög alakba is rendezhetők. (háromszögű négyzetszám):

x x x x x x 
x x x x x x 
x x x x x x 
x x x x x x 
x x x x x x 
x x x x x x
       x 
      x x 
     x x x 
    x x x x 
   x x x x x 
  x x x x x x 
 x x x x x x x 
x x x x x x x x

Úgy nagyobbítjuk meg a sokszöget a következő nagyságra, hogy két szomszédos oldalához hozzáadunk egy-egy ikszet majd a két szélső között kiegészítjük a többivel. Az alábbi ábrákon az hozzáadott réteget +-szal jelöljük.

Háromszögszámok

1:

+               x

3:

 x               x
+ +             x x

6:

  x               x
 x x             x x
+ + +           x x x

10:

   x               x
  x x             x x
 x x x           x x x
+ + + +         x x x x

Négyszögszámok

1:

+               x

4:

x +             x x
+ +             x x

9:

x x +           x x x
x x +           x x x
+ + +           x x x

16:

x x x +         x x x x
x x x +         x x x x
x x x +         x x x x
+ + + +         x x x x

A000290 The squares: a(n) = n^2. [1]

Több oldalú sokszögeket, például öt- vagy hatszögeket is le lehet ezen a módon rajzolni. Megállapodás szerint az 1 az első sokszögszám tetszőleges oldalú sokszögekre nézve.

Ötszögszámok:

1:

+                   x

5:

 x                   x
+ +                 x x 
+ +                 x x

12:

   x                   x
  x x                 x x
+ x x +             x x x x
+     +             x     x
+  +  +             x  x  x

22:

     x                   x
    x x                 x x
  x x x x             x x x x
+ x     x +         x x     x x
+ x  x  x +         x x  x  x x
+         +         x         x
+  +   +  +         x  x   x  x

35:

       x                   x
      x x                 x x
    x x x x             x x x x
  x x     x x         x x     x x 
+ x x  x  x x +     x x x  x  x x x
+ x         x +     x x         x x
+ x  x   x  x +     x x  x   x  x x
+             +     x             x
+  +   +   +  +     x  x   x   x  x

A000326 Pentagonal numbers: n(3n-1)/2. [2]

Hatszögszámok

1:

 x

6:

    x               x  
  +   +           x   x 
  +   +           x   x 
    +               x

15:

     x                 x   
   x   x             x   x  
 + x   x +         x x   x x 
 +   x   +         x   x   x 
 +       +         x       x 
   +   +             x   x  
     +                 x

28:

        x                       x    
      x   x                   x   x   
    x x   x x               x x   x x  
  + x   x   x +           x x   x   x x 
  + x       x +           x x       x x 
  +   x   x   +           x   x   x   x 
  +     x     +           x     x     x 
    +       +               x       x  
      +   +                   x   x   
        +                       x

45:

          x                           x
        x   x                       x   x    
      x x   x x                   x x   x x   
    x x   x   x x               x x   x   x x  
  + x x       x x +           x x x       x x x 
  + x   x   x   x +           x x   x   x   x x 
  + x     x     x +           x x     x     x x 
  +   x       x   +           x   x       x   x 
  +     x   x     +           x     x   x     x 
    +     x     +               x     x     x  
      +       +                   x       x   
        +   +                       x   x    
          +                           x

66: (ami háromszögszám és szfenikus szám is egyben)

          x                             x
        x   x                         x   x
      x x   x x                     x x   x x
    x x   x   x x                 x x   x   x x
  x x x       x x x             x x x       x x x
+ x x   x   x   x x +         x x x   x   x   x x x
+ x x     x     x x +         x x x     x     x x x
+ x   x       x   x +         x x   x       x   x x
+ x     x   x     x +         x x     x   x     x x
+   x     x     x   +         x   x     x     x   x
+     x       x     +         x     x       x     x
  +     x   x     +             x     x   x     x
    +     x     +                 x     x     x
      +       +                     x       x
        +   +                         x   x
          +                             x

91:

            x                             x
          x   x                         x   x
        x x   x x                     x x   x x
      x x   x   x x                 x x   x   x x
    x x x       x x x             x x x       x x x
  x x x   x   x   x x x         x x x   x   x   x x x
+ x x x     x     x x x +     x x x x     x     x x x x
+ x x   x       x   x x +     x x x   x       x   x x x
+ x x     x   x     x x +     x x x     x   x     x x x
+ x   x     x     x   x +     x x   x     x     x   x x
+ x     x       x     x +     x x     x       x     x x
+   x     x   x     x   +     x   x     x   x     x   x
+     x     x     x     +     x     x     x     x     x
  +     x       x     +         x     x       x     x
    +     x   x     +             x     x   x     x
      +     x     +                 x     x     x
        +       +                     x       x
          +   +                         x   x
            +                             x

A000384 Hexagonal numbers: n(2n-1). [3]

Ha s a sokszög oldalainak száma, az n-edik s-szögszámot a következő képlet adja: ½n'((s – 2)n – (s – 4)).

Név Képlet n=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Háromszögszám ½n(1n + 1) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91
Négyzetszám ½n(2n – 0) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169
Ötszögszám ½n(3n – 1) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 176 210 247
Hatszögszám ½n(4n – 2) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 231 276 325
Hétszögszám ½n(5n – 3) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 286 342 403
Nyolcszögszám ½n(6n – 4) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 341 408 481
Kilencszögszám ½n(7n – 5) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 396 474 559
Tízszögszám ½n(8n – 6) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 451 540 637
11-szögszám ½n(9n – 7) 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 506 606 715
12-szögszám ½n(10n – 8) 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 561 672 793
13-szögszám ½n(11n – 9) 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 616 738 871
14-szögszám ½n(12n – 10) 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 671 804 949
15-szögszám ½n(13n – 11) 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 726 870 1027
16-szögszám ½n(14n – 12) 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 781 936 1105
17-szögszám ½n(15n – 13) 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 836 1002 1183
18-szögszám ½n(16n – 14) 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 891 1068 1261
19-szögszám ½n(17n – 15) 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 946 1134 1339
20-szögszám ½n(18n – 16) 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 1001 1200 1417
21-szögszám ½n(19n – 17) 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 1056 1266 1495
22-szögszám ½n(20n – 18) 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 1111 1332 1573
23-szögszám ½n(21n – 19) 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 1166 1398 1651
24-szögszám ½n(22n – 20) 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 1221 1464 1729
25-szögszám ½n(23n – 21) 1 25 72 142 235 351 490 652 837 1045 1276 1530 1807
26-szögszám ½n(24n – 22) 1 26 75 148 245 366 511 680 873 1090 1331 1596 1885
27-szögszám ½n(25n – 23) 1 27 78 154 255 381 532 708 909 1135 1386 1662 1963
28-szögszám ½n(26n – 24) 1 28 81 160 265 396 553 736 945 1180 1441 1728 2041
29-szögszám ½n(27n – 25) 1 29 84 166 275 411 574 764 981 1225 1496 1794 2119
30-szögszám ½n(28n – 26) 1 30 87 172 285 426 595 792 1017 1270 1551 1860 2197

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]