Köbszámok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A köbszámok az n3 = n·n·n alakban írható számok, ahol n egész. Elnevezésükben a köb a latin cubus, vagyis kocka szóból származik.

Az első néhány pozitív köbszám az 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000...

A köbszámok tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Végtelen sok köbszám van.
  • Köbszám ellentettje is köbszám.
  • Köbszámok szorzata is köbszám, mert (a·a·a)·(b·b·b)=(a·b)·(a·b)·(a·b), mely köbszám.
  • A köbszámok a négyzetszámok többszörösei, de van olyan négyzetszám, amely köbszám is egyben.
  • Két (nem feltétlenül különböző) pozitív köbszám összege sohasem köbszám. Ez a nagy Fermat-tétel 3 kitevőre vonatkozó speciális esetének következménye. (Többtagú összegek esetében viszont már lehetséges ez: n3-öt önmagával összeadva (n3)2-szer, (n3)3 adódik, ami persze köbszám. De három köbszám összege is lehet köbszám, pl. 216=125+64+27, azaz 63=53+43+33).
\sum_{i=1}^n i^3 = 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2
  • Ha a pozitív páratlan számok sorozatát egy, kettő, három, … hosszú blokkokra osztjuk, akkor az egyes blokkok összege rendre kiadja a pozitív köbszámokat:
\underbrace{1}_{1}\ \underbrace{3\ 5}_{8}\ \underbrace{7\ 9\ 11}_{27}\ \underbrace{13\ 15\ 17\ 19}_{64}\ \underbrace{21\ 23\ 25\ 27\ 29}_{125}\ \ldots
\begin{align}
1 &= 1\\
8 &= 1 + 7\\
27 &= 1 + 7 + 19\\
64 &= 1 + 7 + 19 + 37\\
125 &= 1 + 7 + 19 + 37 + 61\\
 &\ \, \vdots \end{align}

(Az első néhány középpontos hatszögszám: 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271.)

  • Minden természetes szám felírható legfeljebb kilenc nem negatív köbszám összegeként.
  • Minden racionális szám felírható három olyan tört összegeként, amelyekben a számláló és a nevező is köbszám, és ennyire szükség is van.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} = \zeta{(3)} \approx 1,20205

Generátorfüggvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Minden (a_i)_{i\ge 0} valós számsorozathoz formális hatványsor rendelhető, \sum_{i \ge 0} a_i x^i. Ez az adott számsorozat generátorfüggvénye. Ebben az összefüggésben a köbszámok sorozatát nullától kezdik:

0, 1, 8, 27, 64, \ldots

Ezzel a köbszámok generátorfüggvénye

\sum_{i \ge 0} i^3 x^i = x + 8x^2 + 27 x^3 + 64 x^4 + \ldots = \frac{x(x^2+4x+1)}{(x-1)^4},

ahol x \in (-1,\ 1).

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Gyemidovics, B. P.: Matematikai analízis feladatgyűjtemény. Tankönyvkiadó, Bp., 1971. 8. o.
  2. Apéry constant, Mathworld.com. Hiv. beill.: 2012. 05. 19.

Eric W. Weisstein: Köbszámok a MathWorldnál

Hardy, G. H. & Wright, E. M. (1980), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0198531715

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]