Euler-függvény

Az Euler-féle φ-függvény grafikonja

A $\varphi(n)$ -nel jelölt Euler-függvény (vagy Euler-féle fí-függvény) a matematikában a számelmélet, különösen a moduláris számelmélet egyik igen fontos függvénye, egy egész számokon értelmezett egész értékű ún. számelméleti függvény.

Legelemibb meghatározása, hogy egy adott egész számhoz a nála kisebb relatív prím pozitív egész számok számát adja meg.

Formálisan:

φ(n) = |{ k∈Z | 0<k≤n ∧ (n,k) = 1 }|   (ahol n∈N) .

Egy másik, de fentivel teljességgel azonos függvényt adó értelmezésben e függvény az n-hez redukált maradékosztályok számát adja meg (ez gyakorlatilag ugyanaz, mint az előbbi definíció, elvontabban, a maradékaritmetika kifejezéseivel megfogalmazva).

Félig-meddig explicit (a számelmélet alaptételét használó) képlet is adható e függvény kiszámítására, ld. lentebb.

Értékei kis számokra

$n$ 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 $\phi(n)$ 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 12 10 22 8 20

$n$ 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 $\phi(n)$ 12 18 12 28 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24 16 40 12 42 20 24 22 46 16 42 20

$n$ 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 $\phi(n)$ 32 24 52 18 40 24 36 28 58 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44 24 70 24 72 36 40

$n$ 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 $\phi(n)$ 36 60 24 78 32 54 40 82 24 64 42 56 40 88 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60 40

Legfontosabb tulajdonságai

Multiplikativitás

Talán a legfontosabb tulajdonsága, hogy („gyengén”) multiplikatív, azaz relatív prím számok szorzatán ugyanazt az értéket veszi fel, mint ami a két számon felvett értékének szorzata:

$\forall a,b \in \mathbb{Z}: \ \left( \ \ \left(a,b\right)=1 \ \Rightarrow \ \varphi(ab) = \varphi(a) \cdot \varphi(b) \ \right)$

Például:

• a=7 az prím szám, és $\varphi(7)=6$
• b=11 szintén prím, és $\varphi(11)=10$

(lásd az Értékei kis számokra c. táblázatot)

A két prímszám szorzata: $7\cdot 11=77$, valamint $\varphi(77)=60$, ami pontosan $6\cdot 10$.

Kiszámítása

• Viszonylag könnyű belátni a következőket:
  • Ha $n=p$ prímszám, akkor $\varphi(p) = p-1$ (mert éppen akkor prím egy p egész szám, ha minden nála kisebb pozitív szám relatív prím hozzá, különben lenne önmagánál kisebb prímosztója!) .
  • Ha $n=p^{\alpha} \ \ \ (\alpha \in \mathbb{Z}^{+})$ prímhatvány, akkor $\varphi(p^{\alpha}) = p^{\alpha}-p^{\alpha -1} = p^{\alpha}\left( 1-\frac{1}{p} \right)$

• Általánosabb n-re a multiplikativitás és az előző kis tulajdonság alapján, a számelmélet alaptétele felhasználásával számítható ki;
• Bár talán még elemibb módszer, ha csak a szitaformulát használjuk. Ekkor az így kapott képletből is adódik a multiplikativitás (mindkét módszer persze ugyanazt a képletet eredményezi): ha $n = p_{1}^{\alpha_{1}}p_{2}^{\alpha_{2}}...p_{m}^{\alpha_{m}} = \prod_{i=1}^{m}{p_{i}^{\alpha_{i}}}$, $m \in \mathbb{N}^{+} , \ \forall i \in \left\{ 1,2,.,...,m \right\} : \left( \alpha_{i} \in \mathbb{N}^{+} \right)$, és $p_{i}$ (páronként) különböző prímek, akkor érvényes

$\varphi(n) = n \cdot \prod_{i=1}^m { \left( 1-\frac{1}{p_{i}} \right) } =$ $= p_{1}^{\alpha_{1}}p_{2}^{\alpha_{2}} ... p_{m}^{\alpha_{m}} \left( 1-\frac{1}{p_{1}} \right) \left( 1-\frac{1}{p_{2}} \right) ... \left( 1-\frac{1}{p_{m}} \right)$, feltéve hogy $\left( n>1 \right)$

ahol tehát $m$ az $n$ szám különböző prímtényezőinek száma, $p_{i}$ pedig valamely prímtényezője. A képlet n=0,1-re nem alkalmazható, de mind az elemi, mind a formális definíció szerint φ(0)=0, φ(1)=1.

Például φ(10) = 10×(1-1/2)×(1-1/5) = 10×(1/2)×(4/5)=4; és valóban az 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 számok közt négy darab 10-hez relatív prím van: 1, 3, 7, és 9.

A Möbius-függvény segítségével ez

$\varphi(n)=n\sum_{d\vert n}\frac{\mu(d)}{d}$

alakban írható.

Az osztókra összeadva

$\sum_{d|n}\varphi(d)=n$

Ez bizonyítható az explicit formulából, de így is: vegyük az

$\frac{1}{n},\frac{2}{n},\dots,\frac{n}{n}$

törteket. Ezek száma nyilván n. Írjuk mindegyiket egyszerűsített formában! Ekkor ezek a/d alakú törtek lesznek, ahol d osztója n-nek. Adott d-hez azok az a számlálók adódnak, amelyekkel egyszerűsített törtet alkot, azaz, ha $(a,d)=1$. Innen adódik a kívánt azonosság.

Összegfüggvénye

$\sum_{n=1}^{x}\varphi(n)=\frac{3}{\pi^2}x^2+O(x\log x)$

Egyéb

• Külföldön néha Euler's totient functionnak, azaz kb. „Euler annyiszoros-függvényének” nevezik, itt a totient szó a latin eredetű totiens (annyiszor(os), ahány) szóból származik, állítólag a quotiens („hányszoros”, azaz hányados, kvóciens) mintájára alkotta meg J. J. Sylvester 1879-ben: „The so-called φ function of any number I shall here and hereafter designate as its τ function and call its Totient.” .
• Máig megoldatlan a következő probléma, a Carmichael-sejtés: „Az Euler-függvény minden értéket legalább két helyen vesz fel.”
• Néha a Gamma-függvényt is nevezik Euler-féle gammafüggvénynek.
• A Mathematica programban az EulerPhi függvénnyel számolható ki az értéke.