Möbius-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Möbius-függvény egy multiplikatív számelméleti függvény, jelölése:\!\,\mu(n).

Fontos szerepet játszik a számelméletben és a kombinatorikában. Nevét August Ferdinand Möbius német matematikusról kapta, aki 1831-ben definiálta.[1]

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

μ(n) minden pozitív egészre definiálva van, értéke a \{ -1, 0, 1 \} halmazból kerül ki. A függvény értéke n prímfelbontásától függ az alábbi módon:

  • μ(n) = 1 ha n négyzetmentes, és a prímtényezők száma páros.
  • μ(n) = ‒1 ha n négyzetmentes, és a prímtényezők száma páratlan.
  • μ(n) = 0 ha n nem négyzetmentes.

Megegyezés szerint μ(1) = 1.

Négyzetmentesnek nevezünk egy számot, ha a prímtényezős felbontásában minden prím kitevője 1, vagyis a szám nem osztható négyzetszámmal.

Az alábbi kép az első 50 pozitív egész esetén mutatja a függvény grafikonját:

Az első 50 függvényérték

Tulajdonságok, felhasználása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Möbius-függvény multiplikatív (tehát μ(ab) = μ(a) μ(b), ha a és b relatív prímek). Egy szám pozitív osztói Möbius-függvényértékeinek összege nulla, kivéve az n = 1 esetet:

\sum_{d | n} \mu(d) = \left\{\begin{matrix}1&\mbox{ ha } n=1\\
0&\mbox{ ha } n>1\end{matrix}\right.

(Ennek az egyik következménye, hogy minden nemüres véges halmaznak ugyanannyi páros számú elemet tartalmazó részhalmaza van, mint páratlan számú elemet tartalmazó.) Ez elvezet a Möbius-féle megfordítási formulához (Möbius-féle inverziós formula), és a fő oka annak, hogy μ szerepet kap a multiplikatív és aritmetikai függvények elméletében.

A μ(n) függvényt a kombinatorikában a Pólya-féle formulával összefüggésben használják.

A számelméletben egy kapcsolódó aritmetikai függvény a Mertens-függvény:

M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k),

minden n természetes számra.

A Mertens-függvény szorosan kapcsolódik a Riemann-sejtéshez.

A Möbius-függvény Lambert-sora:

\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)q^n}{1-q^n} = q.

A Möbius-függvény generátorfüggvényének Dirichlet-sora a Riemann-féle zéta-függvény multiplikatív inverze:

\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta(s)},

ahogy az az Euler-féle szorzatformulából látható:

\frac{1}{\zeta(s)} = \prod_{p\in \mathbb{P}}{\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)}= \left(1-\frac{1}{2^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{5^{s}}\right)\dots.

A Möbius-függvény értéke faktorizálás nélkül is kiszámítható:[2]

\mu(n) = \sum_{\stackrel{1\le k \le n }{ \gcd(k,\,n)=1}} e^{2\pi i \tfrac{k}{n}},

vagyis μ(n) a primitív n-edik egységgyökök összege.

Következik, hogy a Mertens-függvény:

M(n)= \sum_{a\in \mathcal{F}_n} e^{2\pi i a} ahol  \mathcal{F}_n az n-edik Farey-sorozat.

Az n-edik Farey-sorozat a tovább nem egyszerűsíthető legfeljebb n nevezőjű és számlálójú törtek növekvő sorozata.[3]

A képletet a Franel-Landau-tétel bizonyításához is felhasználják.[4]

Gauss bizonyította,[5] hogy egy p prím primitív egységgyökeinek összege kongruens μ(p − 1) -gyel mod p.

Általánosítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Gian-Carlo Rota 1964-ben kiterjesztette a Möbius-függvény fogalmát véges, részbenrendezett halmazokra.

Ha (V,\leq) véges, részbenrendezett halmaz, akkor \mu(x,y) az egyetlen olyan V\times V-n értelmezett függvény, amire teljesül, hogy

\mu(x,x)=1, (x\in V);
\mu(x,y)=0, (x \not\leq y);
\sum_{x\leq y \leq z}\mu(x,y)=0 (x<z).

Inverz reláció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Möbius-függvény inverz relációjában több nevezetes számsorozat is felbukkan:

μ(n) = 0 akkor és csak akkor, ha n osztható legalább egy egytől különböző négyzetszámmal. Az első néhány ilyen szám:

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, …

Ha n prím, akkor μ(n) = −1, fordítva viszont nem igaz. A 30 = 2·3·5 az első olyan szám, amire μ(n) = −1, és nem prím.

Az első néhány, három különböző prímtényező szorzatára bontható szám (szfenikus számok):

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, …

és az első néhány, öt különböző prímtényező szorzatára bomló szám:

2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, …

Mathematica[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Mathematica programban MoebiusMu néven érhető el a függvény.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Lovász László: Kombinatorikai problémák és feladatok. 22-24 old. Typotex Kiadó, 2008. ISBN 978-963-9664-93-7
  2. Hardy & Wright 1980, (16.6.4), p. 239
  3. Reiman István: Geometria és határterületei
  4. Edwards, Ch. 12.2
  5. Gauss, Disquisitiones, Art. 81