Egységgyök

A matematikában n-edik komplex egységgyökök azok a z komplex számok, melyekre igaz, hogy

$z^n = 1. \,$

ahol n = 1,2,3, ... egy pozitív egész szám.

Egy n-edik egységgyök primitív egységgyök, ha semmilyen k<n, k=1,2,...,n-1 pozitív egész szám esetén nem k-adik egységgyök.

Komplex egységgyökök

A komplex számok $\Bbb C$ testében az n-edik egységgyökök pontosan az

$\exp\left({2\pi \mathrm i k\over n}\right),\quad k=0,1,\ldots, n-1$

alakú számok.

Legyen $\varepsilon_n = \exp\left({2\pi \mathrm i \over n}\right)$. Ekkor az n-edik egységgyökök alakja:

$1, \varepsilon_n, \varepsilon_n^2, \dots, \varepsilon_n^{n-1}$.

Ha nyilvánvaló, hogy hányadik egységgyökökről van szó, akkor sokszor elhagyják az alsó indexet.

$\omega$ n-edik primitív egységgyök, ha n-edik hatványa 1, de semmilyen kisebb kitevős hatványa nem az. Az egyik primitív egységgyök

$\varepsilon_n = \exp\left({2\pi \mathrm i \over n}\right)$.

A további primitív egységgyökök $\varepsilon_n$ n-hez relatív prím kitevős hatványai.

Az n-edik egységgyökök száma n, a primitív n-edik egységgyököké $\phi (n)$.

A körosztási testek $\Bbb Q$ bővítései, amelyek tartalmazzák az egységgyököket: az n-edik körosztási test az n-edik egységgyököket.

Az egységgyökök összege

Ha $\varepsilon$ $n$ -edik egységgyök, akkor: $1+\varepsilon+\varepsilon^2+\dots+\varepsilon^{n-1}=\begin{cases} 1, & \mathrm{ha}\ n = 1 \\ 0, & \mathrm{ha}\ n \not= 1. \end{cases}$

Ez a mértani sorozatok összegzési képletéből következik.

Mértani helyük a komplex számsíkon

A komplex egységgyökök annak az egységkörbe írt szabályos n-szögnek a csúcsaiban vannak, amelynek egyik csúcsa az 1.

Így a $\varepsilon_n^k = x_k + \mathrm i\, y_k$ egységgyök valós és képzetes része ezeknek a csúcsoknak a koordinátái, vagyis $k=0,1,\dots,n-1$ -ra

$x_k = \cos (2\pi k/n) = \cos (360^\circ \cdot k/ n )$    és   $y_k = \sin (2\pi k/n) = \sin (360^\circ \cdot k/ n )$.

Példák

A második egységgyökök: 1 és -1.

A harmadik egységgyökök: $\varepsilon_1 = -\frac12+\frac{\mathrm i}2\sqrt3,\quad \varepsilon_2 = -\frac12-\frac{\mathrm i}2\sqrt3,\quad \varepsilon_3 = 1$;

A negyedik egységgyökök alakja ismét egyszerűbb: : $\varepsilon_1 = \mathrm i,\quad \varepsilon_2 = -1,\quad \varepsilon_3 = -\mathrm i,\quad \varepsilon_4= 1$,

Az ötödik egységgyökök

A $0=1+\varepsilon+\varepsilon^2+\varepsilon^3+\varepsilon^4$ egyenlőség alapján

$0=\frac{1}{\varepsilon^2}+\frac{1}{\varepsilon}+1+\varepsilon+\varepsilon^2 = \left({\varepsilon}+\frac{1}{\varepsilon} \right)^2+ \left({\varepsilon}+\frac{1}{\varepsilon} \right)-1 = w^2+w-1$

ahol $w=\varepsilon+\frac{1}{\varepsilon}=\varepsilon+\varepsilon^4=2 \cos (72^\circ )$.

Ezt a negyedfokú egyenletet megoldva $w=-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4}}$ adódik. Mivel a $72^\circ$ szög az 1. negyedben fekszik, azért $w$ pozitív, és így $\cos(72^\circ)=\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$. A valós rész ez alapján nyilvánvaló, a képzetes rész Pitagorasz-tétellel adódik.

Körosztási polinom

Az n-edik primitív egységgyökök az n-edik körosztási polinom gyökei. A körosztási polinom megkapható a következőképpen:

Gyűjtsük össze azokat az x^k-1 alakú polinomokat, ahol k<n osztója n-nek. Vegyük ezek g_n legkisebb közös többszörösét. Ekkor van egy f_n polinom, amit g_n -nel szorozva x^n-1 -et kapunk. Ez az f_n polinom az n-edik körosztási polinom. Ezen az úton absztrakt testekhez, sőt gyűrűkhöz is definiálható körosztási polinom azokra az n-ekre, amelyek nem oszthatók a test (gyűrű) karakterisztikájával. Az absztrakt körosztási polinomok nem feltétlenül irreducibilisek, de a racionális számok teste fölöttiek igen.

Egységgyökök absztrakt értelmezése

Legyen $R$ egységelemes kommutatív gyűrű, és $n\geq 1$ természetes szám. Egy $\zeta\in R$ egységgyök, ha eleget tesz a következő, egymással ekvivalens definíciónak:

• $\zeta^n = 1$;
• $\zeta$ a $X^n-1$ polinom gyöke.

Az n-edik $R$ -beli egységgyökök részcsoportot alkotnak a gyűrű multiplikatív csoportjában.

Testekben

A $K$ testben az n-edik egységgyökök ciklikus részcsoportot alkotnak. Számuk mindig osztója n-nek. Ha egyenlő vele, akkor a test tartalmazza az n-edik egységgyököket. Ekkor a primitív egységgyökök egyike generálja az n-edik egységgyökök ciklikus részcsoportját. Az n-edik primitív egységgyökök a fenti előállítás szerinti körosztási polinom gyökei.

Források

• Szele Tibor: Bevezetés az algebrába
• Fried Ervin: Algebra I-II.