Mértani sorozat

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Mértani sorozatnak nevezzük az olyan sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag hányadosa állandó. Ezt a hányadost idegen szóval kvóciensnek nevezzük. Jele: q.

Példák mértani sorozatokra:

  • (a1=3, q=3) 3, 9, 27, 81, …
  • (a1=1, q=2) 1, 2, 4, 8, 16, 32, …
  • (a1=7, q=10) 7, 70, 700, 7000, …

A mértani sorozat n-edik tagja[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen a sorozat n-edik tagja an. Ekkor:

a_n=a_1\cdot q^{n-1}

vagy

|a_n|=\sqrt{a_{n-i}\cdot a_{n+i}} ahol i\in\mathbb{N}

Ez utóbbi azt is jelenti, hogy a mértani sorozat n-edik tagja az n+i-edik és az n-i-edik tagjának a mértani közepe.

A mértani sorozat első n tagjának összege[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

q\ne 1 esetén: Írjuk fel az első n tag összegét tagonként:

S_n=a_1+a_1\cdot q+a_1\cdot q^2 +...+a_1\cdot q^{n-1}.

Szorozzuk be az egyenlet mindkét oldalát q-val:

S_n\cdot q=a_1\cdot q+a_1\cdot q^2 +...+a_1\cdot q^n.

Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt!

S_n\cdot q-S_n=a_1\cdot q^n-a_1

Ebből Sn-t kifejezve:

S_n=\frac{a_1\cdot (q^n-1)}{q-1}

Ha q=1, akkor a mértani sorozat minden tagja egyenlő, így: S_n=a_1\cdot n

Az összeg konvergenciája[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha |q|<1, akkor az összeg konvergál:

\lim_{n \to \infty} (S_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{a_1\cdot (q^n-1)}{q-1} = \frac{a_1}{1-q}

Az S_n sorozatot nevezik mértani sornak is, határértékét nevezik „végtelen összegnek” is és a következőképpen jelölik:

\sum_{i=0}^{\infty} a_1 \cdot q^{i}

A mértani sor általánosítása a Neumann-sor.

A mértani sorozat első n tagjának szorzata[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Írjuk fel tényezőnként ezt a szorzatot: a_1\cdot (a_1\cdot q)\cdot (a_1\cdot q^2)\cdot (a_1\cdot q^3)\cdot...\cdot (a_1\cdot q^{n-1})=a_1^n\cdot q^{1+2+3+...+n-1}.

Mivel: 1+2+3+...+n-1=\frac{n(n-1)}{2} (lásd: számtani sorozat), a mértani sorozat első n tagjának szorzata:

a_1^n\cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}

Történet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A mértani sorozat fogalmát már az ókori egyiptomiak is ismerték, és összegük is érdekelte őket; konkrét feladatok esetén ki is tudták számolni az összeget. Megtalálták ugyanis a Rhind-papiruszon a következő feladat – amely később feladatgyűjteményekben és népi találóskérdésekben is felbukkant – igen tömör megoldását: „Ha 7 ház mindegyikében 7 macska van, mindegyik megfogott 7 egeret, minden egér megevett 7 búzaszemet, minden búzaszemből 7 hekat[1] búza termett volna, hány hekat búza lett volna abból?” A papiruszon maga a feladat nem szerepel, csak a megoldás szűkszavú leírása ("Ház: 7 – macska: 49 – egér: 343 – ..." stb.), de lehetetlen nem rájönni; továbbá a papirusz nem utal az összegképlet ismeretére: végigszámolták a sorozat tagjait, és úgy adták össze.[2]

Hasonló példa szerepel egy XIX. századi angol nonszensz mondókában:

As I was going to St. Ives,
I met a man with seven wives,
Every wife had seven sacks,
Every sack had seven cats,
Every cat had seven kits,
Kits, cats, sacks and wives,
How many were going to St. Ives?[3]

(Ez a példa az Egyiptomitól annyiban tér el, hogy beugratós feladat: csak egyvalaki ment St. Ives-ba, mégpedig a vers elbeszélője, az asszonyos-zsákos kompánia St. Ives felől jött, nem pedig oda ment).

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Egyiptomi űrmértékegység, pontos átváltása mai SI egységekre nem ismert, és tudjuk, hogy a történelem során értéke változott is; egyes források szerint 1 hekat búza kb. 4,7 liter körül lehetett [1].
  2. Sulinet: Az ókori egyiptom matematikája
  3. Klukovits Lajos: Az európai matematika kezdetei (jegyzetvázlat), hivatkozás beillesztése: 2009. augusztus 18.; az idézett vers hozzávetőleges fordítása: "Épp Szentiván felé mentem, s szembe / Egy ember jött, hét asszony követte. / Minden asszony hét zsákot vitt vállán / Mindben hét tyúk egymás hegyén-hátán. / Minden tyúknak volt hét kiscsibéje, / Csibe, tyúk, zsák, asszony - megmondod-e nékem; / Hány ment Szentivánba amaz úton, régen?"