Mercator-sor

A matematikában a Mercator-sor – más néven Newton–Mercator-sor – a természetes logaritmus Taylor-sora:^[1]

\ln(1+x)\;=\;x\,-\,{\frac {x^{2}}{2}}\,+\,{\frac {x^{3}}{3}}\,-\,{\frac {x^{4}}{4}}\,+\,\cdots .

Összegzéses (szummázás) jelöléssel:

\ln(1+x)\;=\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}.

A sorozat a természetes logaritmushoz (1-gyel eltolva) konvergál, ha –1 < x ≤ 1.

Történet[szerkesztés]

Ezt a sort egymástól függetlenül fedezte fel Nicholas Mercator, Isaac Newton, és Gregory Saint-Vincent. Mercator publikálta először, 1668-ban, a ‘Logarithmo-technica’ című tanulmányában, ezért róla nevezték el a sort.

Deriválás[szerkesztés]

A sor a Taylor-elméletből származtatható, induktívan az lnx függvény n-edik deriválásából, x=1 –nél, melynek kezdete:

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.

vagy kezdődhet egy véges mértani sorozattal ((t ≠ –1):

1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}

melyből:

{\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}.

ezt követi:

\int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\right)\,dt

és tagonkénti integrálással

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}\,dt.

ha –1 < x ≤ 1, és a maradék tag tarta 0-hoz, míg $n\to \infty$ . Ez a kifejezés iteratív módon is integrálható k-szor:

-xA_{k}(x)+B_{k}(x)\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}},

ahol

A_{k}(x)={\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{k}{k \choose m}x^{m}\sum _{l=1}^{k-m}{\frac {(-x)^{l-1}}{l}}

és

B_{k}(x)={\frac {1}{k!}}(1+x)^{k}

melyek x polinomjai

Speciális esetek[szerkesztés]

x=1 esetén a Mercator-sor egy harmonikus sor:

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2.

Komplex sorozat[szerkesztés]

A komplex hatvány sorozat $z\,-\,{\frac {z^{2}}{2}}\,+\,{\frac {z^{3}}{3}}\,-\,{\frac {z^{4}}{4}}\,+\,\cdots$ ln(1 + z) Taylor-sora, ahol ln a komplex logaritmus egy ágára utal. Ez egy konvergáló sorozat egy nyílt tartományon belül $|z|<1$ , és a $|z|=1$ jellemzőjű körön, kivéve a $z=-1$ (Abel-teszt miatt), és a konvergencia egyenletes minden zárt körön, ahol a sugár szigorúan kisebb mint 1.