Abszolútérték-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az abszolútérték-függvény grafikonja

Az abszolútérték-függvény egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden valós számhoz az abszolút értékét rendeli, azaz önmagát, ha a szám nemnegatív, és az ellentettjét, ha a szám negatív.

Egy x szám abszolút értékét így jelölik:

|x|\,.

Magát az abszolútérték-függvényt, vagyis az

x \mapsto |x|\,

hozzárendelést vagy sehogy se jelölik, vagy az abs szimbólummal, esetleg az analízisben használatos \scriptstyle{|\,.\,|} jelöléssel, ahol a pont a változó helyét jelöli.

Ekvivalens definíciók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az abszolútérték-függvény tehát nem más, mint az

\mathrm{abs}: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R};\;\;x\mapsto |x|

függvény. Tekintve, hogy az abszolút értéknek sokféle ekvivalens megfogalmazása van, az abszolútérték-függvényt is több alakban adhatjuk meg. Tetszőleges x valós szám esetén:

  1. \mathrm{abs}(x) \ = \ |x| \ =  
 \ \begin{cases} \ x, & \mbox{ha }x \ge 0, \\ -x, & \mbox{ha }x<0 \end{cases}
  2.  \mathrm{abs}(x) \ = \ |x| \ = \ x\cdot \sgn (x)
  3.  \mathrm{abs}(x) \ = \ |x| \ = \ \max\{x,-x\}\,


ahol sgn(x) az ún. szignumfüggvény vagy előjelfüggvény, max pedig a mellette álló rendezetlen párból választja ki a nem kisebbet.

Ezen definíciók teljességgel ekvivalensek.

Analitikus tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nemnegativitás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga. Tehát minden x valós számra

|\,|x|\,| = |x|

Ugyanis a nemnegatív számokon identikus, azaz értéke a független változó (argumentum) értékével egyenlő, míg a negatív számokon a független változó értékének ellentettjét, azaz nemnegatív számot vesz föl.

Szubadditivitás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Rendkívül fontos mind a matematikai, mind a fizikai alkalmazások számára az a tulajdonsága, hogy szubadditív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:

|x+y| \leq |x|+|y|

amely kijelentés lényegében a valós számokra vonatkozó háromszög-egyenlőtlenség.

Folytonosság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos, tehát az R-en folytonos függvények C(-∞, +∞) osztályába tartozik.

Derivált[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

R\{0}-en differenciálható és a deriváltja a szignumfüggvény. A 0-ban nem deriválható, ott töréspontja van (balról deriválva -1-et, jobbról deriválva 1-et kapunk, holott a deriválhatóság feltétele, hogy a jobb és bal oldali derivált megegyezzen).

\mathrm{abs}'(x)=\mathrm{sgn}(x)\quad\quad x\ne 0

Definíciója első alakjából és a szignumfüggvény megfelelő definíciójával összehasonlítva, következik; ha x<0, akkor |x| = -x, ezen a tartományon deriválva -1 adódik, ami épp a szignumfüggvény értéke. Hasonlóan ha x>0, akkor |x| = x, tehát deriváltja 1; szintén a szignumfüggvény értékével egyezik.

Algebrai tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Multiplikativitás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

„Erős” értelemben multiplikatív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:

|x\cdot y|=|x||y|\,

Iteráció-invariancia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nemnegativitásából következően az iteráció (önmagára alkalmazás) műveletére nézve fixpontként viselkedik a függvény, azaz bármely pozitív (n-ed) rendű iteráltja önmaga:

\underset{n\;\mathrm{db}}{\underbrace{|\,|...|}}x\underset{n\;\mathrm{db}}{\underbrace{|...|\,|}}=|x|\,

vagy az analízis formalizmusában

\underset{n\;\mathrm{db}}{\underbrace{\mathrm{abs}\circ\mathrm{abs}\circ ...\circ\mathrm{abs}}}=\mathrm{abs}\,

Általánosítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Komplex számok, kvaterniók, sőt bizonyos más algebrák esetén is értelmezik az abszolút érték fogalmát. Ha z = a + b i komplex szám, akkor abszolút értéke a

|z |= \sqrt{a^2+b^2}\,

valós szám, mely lényegében a komplex számot reprezentáló síkvektor hossza.

Általában egy algebrában az abszolútérték olyan norma, mely teljesíti a fent említett erős multiplikatív tulajdonságot.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]