Neumann-sor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Neumann-sor alatt a következő alakú sorokat értik:

 \sum_{n=0}^\infty T^n

ahol T egy operátor. Ez a mértani sorozat összegének, az úgynevezett mértani sornak az általánosítása.

Az ilyen sorokat Carl Neumann matematikusról nevezték el, aki 1877-ben használta fel a potenciálelméletben. A Neumann-sort használják a funkcionálanalízisben is és szintén hasznos korlátos operátorok spektrálanalízisénél. A Fredholm-integrálegyenletek megoldásának alapját szolgáló Liouville-Neumann-sor is a Neumann-sorra alapul.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tegyük fel, hogy T egy korlátos operátor az X normált téren. Ha a Neumann-sor konvergens az operátornormában, akkor Id – T invertálható, és az inverz maga a sor összege:

 (\mathrm{Id} - T)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty T^n.

A konvergencia garantált, ha X Banach-tér és |T| < 1 az operátornormában. Vannak viszont további eredmények is, amelyek gyengébb feltételek mellett is garantálják a konvergenciát. Például elég, ha T a \;\| T^n \| < 1\; feltételt teljesíti. Ekkor

\begin{align}
(I-T)^{-1}
=&\left(I+T+T^2+\dots+T^{n-1}\right)\cdot \left(I-T^n\right)^{-1}\\
=&\left(I+T+T^2+\dots+T^{n-1}\right)\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty T^{kn}
\end{align}

A lineáris operátorok invertálhatósága[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen V Banach-tér, például V:=\R^n, és A:V\to V korlátos operátor, például az A\in\R^{n\times n} négyzetes mátrixszal megadott lineáris leképezés. Tudjuk, hogy A minden \gamma>0 skálázási tényezőre felírható, mint

A=\tfrac1\gamma(I-T_\gamma)\;, ahol \;T_\gamma :=I-\gamma\,A.

Ha most van olyan skálázási tényező, hogy \|T_\gamma\|_{{}_{V\to V}}<1 az indukált operátornormában, akkor A invertálható, és inverze megadható a Neumann-sor felhasználásával:


  A^{-1}=\gamma\left(I+\sum_{k=1}^\infty T_\gamma{}^k\right)
        =\gamma\left(I+\sum_{k=1}^\infty (I-\gamma\,A)^k\right).

Az invertálható operátorok halmazának nyíltsága[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyenek B,B' Banach-terek, és legyen S:B\to B' invertálható operátor. Ekkor minden más operátorra, T-re:

Ha S és T távolsága az operátornormában becsülhető úgy, hogy \|T-S\|=q\,\|S^{-1}\|^{-1}, ahol 0 < q < 1, akkor T szintén invertálható, és inverzének operátornormája ::\|T^{-1}\|\le\tfrac1{1-q}\|S^{-1}\|.
Bizonyítás: Felbontjuk T-t a következőképpen:
T=S(I-(I-S^{-1}T))
Alkalmazzuk a második tényezőre a Neumann-sort. A konvergenciát a
\|I-S^{-1}T\|\le\|S^{-1}\|\,\|S-T\|\le q<1
feltétel biztosítja.

Következik, hogy az invertálható operátorok halmaza nyílt az operátornormára vonatkozóan.

Bibliográfia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Werner, Dirk. Funktionalanalysis (német nyelven). Springer Verlag (2005). ISBN 3-540-43586-7