Számtani sorozat

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A számtani sorozat (más néven aritmetikai sorozat, régies néven számtani vagy aritmetikai haladvány) egy elemi matematikai fogalom, mely a matematika sok részterületén előfordul. Egy legalább három számból álló – akár véges, akár végtelen – sorozatot akkor nevezünk számtani sorozatnak, ha a szomszédos elemek különbsége – differenciája – (a sorozatra jellemző) állandó.

Triviális példák a csupa azonos elemből álló konstans sorozatok, hiszen ezekben két szomszédos elem különbsége mindig 0; a legegyszerűbb nem triviális példák a természetes számok sorozata (0, 1, 2, 3, 4, 5, …) vagy a páros számok sorozata (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …). A számtani sorozat a kontinuum felett értelmezett valós függvények elméletében definiálható egyváltozós lineáris függvény fogalmának diszkrét megfelelője, ahol e függvény értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (D{an} ∈ N).[1]

Definíciói[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Különbségsorozattal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Számtani sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag különbsége állandó, vagyis

a_n - a_{n-1} = d , ha n > 1

A sorozat (fent d-vel jelölt) különbségét differenciának nevezzük, szokásos jelölése általában is d.

Tehát a_1, a_2, a_3 \dots a_n, a_{n+1} \dots akkor és csak akkor számtani sorozat, ha a_{n+1}-a_n=d állandó, minden olyan n∈N+-ra, amelyre van a sorozatnak n-edik tagja (ha esetleg a sorozat véges lenne).

A különbségsorozat fogalma segítségével a számtani sorozat definíciója így hangzik: egy sorozat akkor és csak akkor számtani sorozat, ha különbségsorozata állandó (konstans) sorozat.

Teljesen formalizálva, (an) akkor és csak akkor számtani sorozat, ha

(∃C∈R)(∀n∈N+): Δan := an+1-an = C

.

Ha véges, mondjuk az Nn :={1,2,…,n} indexekkel sorszámozott tagú sorozatokról van szó, akkor persze a formalizált állításban N+ helyett Nn írandó.

Rekurzív definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fentiekből következik a számtani sorozat rekurzív képlete:

a_{n+1}=a_n+d, \forall n \in N^+

Ez azt jelenti, hogy a sorozat következő elemét mindig úgy kapjuk, hogy hozzáadjuk az előző taghoz a differenciát. Ez tényleg pontosan azt jelenti, hogy a sorozat szomszédos tagjainak különbsége állandó.

A képletből következően a számtani sorozatok halmaza egy rekurzív sorozat-család, minimális rekurziós rendje 1, rekurziós szabálya(i) pedig a φd: RR; φd(x) := x+d függvénycsalád, ahol d a sorozat(ok)ra jellemző állandó.

„Általános taggal”[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az első taggal kifejezve[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A sorozat n-edik elemére nem csak rekurzív, hanem explicit képlet is adható. Mivel a sorozat minden lépésben d-vel változik, ezért

a_n = a_1 + (n-1)\cdot d.

Bővebben,

  • a2 = a1+d;
  • a3 = a2+d = (a1+d)+d = a1+2d;
  • a4 = a3+d = (a1+2d)+d = a1+3d;
  • s. í. t. …

Hasonlóan haladva és teljes indukcióval bizonyíthatóan,

  • an = an-1+d = (a1+(n-2)d)+d = a1+(n-1)d;

A szomszédos tagokkal kifejezve[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ugyanezen okból – a lépésről lépésre d-vel való növekedés miatt – vezethető le az a tulajdonság, amelyről a számtani sorozatok nevüket nyerték. U.is véve a sorozat n-edik (de legalább második) elemét, a megelőző elem d-vel kisebb (an-1 = an-d), a rákövetkező elem d-vel nagyobb (an+1 = an+d).

Tehát (összeadva a fenti egyenlőségeket) an-1 + an+1 = (an-d)+(an+d) = 2an.

Vagyis az n-edik elem a két szomszédos elem számtani közepe („átlaga”):

a_n=\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}.

De érvényes – hasonló okok miatt – az ennél általánosabb

a_n=\frac {a_{n-i}+a_{n+i}}{2}.

egyenlőség is minden i<n-re. Azaz egy sorozat akkor és csak akkor számtani sorozat, ha bármely eleme számtani közepe a sorozatban tőle azonos index-távolságra lévő tagoknak. A fenti gondolatmenet egyébként nem igazolja, hogy bármely, a fenti tulajdonsággal jellemezhető sorozat szükségképp számtani, noha az is igaz, ld. Számtani közép/Számtani sorozatok.

Analitikus szemléletű definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az n-edik tagra vonatkozó képletben csoportosítva az állandó és a változó mennyiségeket:

a_{n} = dn+(a_{1}-d).

Így látható, hogy a számtani sorozatok épp azok a sorozatok, melyek az n független változójuk „lineáris” függvényei, azaz az

f(n) = mn+c

alakú sorozatok, ahol m,c olyan valós állandók, melyekre m=d és c=a1-d.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

első tag különbség a sorozat pár tagja n-edik tag
(n∈N)
0 1 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … n
0 2 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, … 2n
1 0 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, … 1
1 2 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … 2n+1
101 -20 101, 81, 61, 41, 21, 1, -19, … -20n+101 = 20(5-n)+1
– 2,1 -1,01 -3,11; -4,12; -5,13; -6,14; -7,15; -8,16; -1,01n-2,1
  • Legyen az (an) számtani sorozatban: a_1=0, a differencia: d=3, akkor a sorozat: 0; 3; 6; 9; 12; 15, …, és a sorozatot az an = 3n+0 = 3n (n∈N) képlet adja meg.
  • Az \textstyle a_n = {n \choose 1} képlettel definiált sorozat is számtani sorozat (a Pascal-háromszög "második ferde sora"), egyébként (an) = (n) (itt n∈N+).

Összegzési képlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A sorozat első n tagjának összegét (S_n) a következő ötlettel határozhatjuk meg. Vegyük az első n tagot, ezek: a_1, a_2, \ldots, a_n. Majd írjuk fel ez alá a tagokat fordított sorrendben, vagyis a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1. Számítsuk ki ennek a 2n darab számnak az összegét. Ez egyrészt a keresett összeg kétszerese, hiszen az első n tag mindegyike pontosan kétszer szerepel. Másrészt pedig az egymás alatt lévő számok összege éppen a_1 + a_n. Összesen n egymás alatti pár van, vagyis az összeg éppen (a_1+a_n) \cdot n. De ez az általunk keresett összeg (azaz az első n tag összegének) kétszerese, vagyis a helyes eredmény:

S_n=\frac{(a_1+a_n) \cdot n}2

Ha még azt is felhasználjuk, hogy a_n=a_1 + (n-1)d, akkor

S_n=\frac{[2a_1+(n-1)d] \cdot n}2

Ezt a képletet alkalmazva a_1=1 és d=1 esetben, megkapjuk az első n pozitív egész szám összegét, azaz \frac{(n+1)\cdot n}2-t vagy leegyszerűsítve: \frac{n^2 + n}2.

E formula lényegében már a XIII. szd.-ban is ismert volt, persze leírása a kornak megfelelően történt; az összegzés módszerét mindenesetre már Leonardo Pisano (ismertebb nevén Fibonacci) is leírta (Liber Abaci; 1202, ch. II.12).

További tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Növekedési tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A számtani sorozat monoton növekvő, és alulról korlátos, ha d>0
  • A számtani sorozat monoton csökkenő, és felülről korlátos, ha d<0
  • A számtani sorozat nemnövekvő, nemcsökkenő, azaz állandó, ha d=0

Algebrai tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két számtani sorozat összege és különbsége, továbbá egy számtani sorozat valós számszorosa (mint például ellentettje) is számtani sorozat.

Konkrétan: ha (an) = (a1+(n-1)d) és (bn) = (b1+(n-1)e) két számtani sorozat, akkor ((a+b)n) = (an+bn) = (a1+b1+(n-1)(d+e)) is számtani sorozat, melynek első tagja a tagok első tagjai összege, azaz a1+b1, és differenciája a tagok differenciáinak összege, azaz d+e.

Továbbá ha α∈R tetszőleges valós szám, akkor α(an) = (αa1+(n-1)αd) is számtani sorozat, első tagja az eredeti sorozat első tagjának α-szorosa; differenciája az eredeti sorozat differenciájának α-szorosa.

Ez azt jelenti, hogy a valós számtani sorozatok az összeadással kommutatív csoportot, illetve a számmal szorzást is hozzávéve, lineáris teret alkotnak. Tetszőleges csoport elemeiből képezett számtani sorozatokra szintén elmondható ugyanez.

Igazolható, hogy két számtani sorozat szorzata mindig másodrendű számtani sorozat, hiszen ha an = a1+(n-1)d és bn = b1+(n-1)e, akkor anbn = [a1+(n-1)d]·[b1+(n-1)e] = a1b1+(n-1)(d+e)+(n-1)2de = (a1b1-d-e+de)+(d+e-2de)n+(de)n2, ami megfelel a Másodrendű számtani sorozatok analitikus szemléletű definíciójának, továbbá az ott írtak alapján az is megállapítható, hogy a szorzatsorozat 1). különbségsorozatának differenciája a tényezők differenciáinak kétszeres szorzata; (D=2de) 2). különbségsorozatának első tagja az 1-gyel megnövelt differenciák szorzatánál eggyel kisebb (Δ(ab)1 = (d+1)(e+1)-1); és . ami a tagonkénti szorzat definíciójának is egyszerű következménye – első tagja természetesen a tényezők első tagjainak szorzata.

Lineáris algebrai leírás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A valós számsorozatok RN+ halmaza a tagonkénti összeadás és a tagonkénti ellentettképzés műveletével kommutatív csoportot alkotnak (nullelem a (0) := (0,0,0,…) sorozat). A számal való tagonkénti szorzás műveletét hozzávéve pedig vektorteret kapunk. Ezen a téren belül a számtani sorozatok családja egy kétdimenziós generált alteret alkot, amelyet az {1} := {1,1,1,…} és az (n) := (1,2,3,4,5…) sorozatok generálnak, hiszen tetszőleges n>-0-ra (an) = (a1+(n-1)d) = (a1+nd-d) = a1·(1)+d(n)+(-d)·(1). Tehát a számtani sorozatok halmaza a <(0), (n)> generált altér.

Érdekesség[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Egy híres történet, amely a szájhagyomány útján átalakult, arról szól, hogy Gauss általános iskolai tanára, J. G. Büttner diákjait azzal akarta lefoglalni, hogy 1-től 100-ig adják össze az egész számokat. A fiatal Gauss mindenki megdöbbenésére másodpercek alatt előrukkolt a helyes megoldással, megvillantva matematikai éleselméjűségét. Gauss észrevette, hogy a sor ellenkező végein lévő számok párokba állításával azonos összegeket kap: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 stb., ami összesen 50\cdot 101 = 5050-et eredményez (lásd az összegzési képletet). Több információ a témában itt található:[1].

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. A számtani sorozat és lineáris függvények kapcsolatának részleteit ld. itt.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]