Harmonikus sor

A matematikában harmonikus sornak nevezzük a $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ divergens sort.

Jelentősége

Az elnevezésnek az a forrása, hogy egy h hullámhosszú hang felhangjának a hullámhosszai h/n (n=2,3,...). A

$\sum_{n=1}^\infty\left(h/n\right)$

sor tehát tartalmazza a hangot az összes felhangjával együtt. Mivel a felhangokat több nyugati nyelven harmonikusoknak is nevezik, így a sor harmonikus.

Konkrétan h/2,h/3,...,h/8 rendre az oktáv, az oktáv és kvint, a második oktáv, a két oktáv és nagy terc, a két oktáv és kvint, a két oktáv és szeptim, valamint a harmadik oktáv hullámhosszai.

A divergencia bizonyítása

Ha a sor n-edik részletösszege s_n, akkor

$s_{2n}-s_n=\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2n}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\right)=\left(\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\right)\ge{n}\cdot\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$

minden n-re. Tegyük fel, hogy a sor konvergens és az összege A. Ekkor $n\rightarrow\infty$ esetén $s_{2n}-s_n\rightarrow A-A=0$, ami lehetetlen.

Következmények

Végtelen sok prímszám létezik

Mivel a harmonikus sor az összes pozitív egész szám reciprokát tartalmazza, várható, hogy a sor viselkedésének számelméleti vonatkozásai is vannak. Ez valóban így van. A harmonikus sor divergenciáját felhasználva új bizonyítást adhatunk arra, hogy végtelen sok prímszám létezik. Tegyük fel ugyanis, hogy csak véges sok prím van, és legyenek ezek $p_1,...,p_k$. Minden i-re és N-re fennállnak az

$1+\frac{1}{p_i}+...+\frac{1}{p_i^N}=\frac{1-p_i^{-\left(N+1\right)}}{1-\frac{1}{p_i}}<\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}$

összefüggéseket. Ezeket összeszorozva azt kapjuk, hogy

$\prod_{i=1}^k\left(1+\frac{1}{p_i}+...+\frac{1}{p_i^N}\right)<\prod_{i=1}^k\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}$

minden N-re. Ha a bal oldalon elvégezzük a szorzást, akkor minden olyan szám reciprokát megkapjuk, amelynek a prímtényezős felbontásában minden prím kitevője legfeljebb N (hiszen az indirek feltevés szerint nincs más prím $p_1,...,p_k$-n kívül). Nyilvánvaló, hogy N-ig minden szám ilyen, tehát

$\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}=s_N<\prod_{i=1}^k\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}$.

Ez azonban lehetetlen, hiszen

$s_N\rightarrow\infty$, ha $N\rightarrow\infty$.

A prímszámok reciprokaiból alkotott sor divergens

Az előző bizonyítást felhasználva, annak jelöléseit használva bizonyíthatjuk azt is, hogy a primszámok reciprokaiból alkotott sor is divergens. Hiszen a fentiek alapján

$\prod_{i=1}^N\left(1+\frac{1}{p_i}+...+\frac{1}{p_i^N}\right)<\prod_{i=1}^N\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}$

is fennál minden N-re. Ha a bal oldalon elvégezzük a szorzást, akkor itt minden olyan szám reciprokát megkapjuk, amelyiknek a prímtényezős felbontásában az első N prím szerepel, és mindegyik kitevője is legfeljebb N. Nyilvánvaló, hogy N-ig minden szám ilyen, tehát

$\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}=s_N<\prod_{i=1}^N\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}=\prod_{i=1}^N\left(1+\frac{1}{p_i-1}\right)$.

Mivel $0<1+\frac{1}{p_i-1}$, vehetjük a két oldan természetes alapu logaritmusát, és becsülhetjük a jobboldalon a tagokat $\ln{x}\le x-1$-el:

$\ln\left(s_N\right)<\sum_{i=1}^N\ln\left(1+\frac{1}{p_i-1}\right)\le \sum_{i=1}^N\frac{1}{p_i-1}=1+\sum_{i=1}^N\frac{1}{p_{i+1}-1}<1+\sum_{i=1}^N\frac{1}{p_i}$

Tehát ha $N\rightarrow\infty$, akkor $s_N\rightarrow\infty$, $\ln\left(s_n\right)\rightarrow\infty$, továbbá $1+\sum_{i=1}^N\frac{1}{p_i}\rightarrow\infty$.

Emiatt a $\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{p_i}$ sor divergens.

Forrás

• Laczkovich Miklós–T. Sós Vera: Analízis II. ISBN 978-963-19-6084-6