Hányadoskritérium

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Cauchy-kritérium megadja a numerikus sor konvergenciájának pontos feltételét, azonban a gyakorlatban ritkán használható, mert nehéz ellenőrizni. Ezért szükség van egyszerűbben ellenőrizhető kritériumokra is.

Hányadoskritérium: Tegyük fel, hogy a_n\ne 0, ha n elég nagy. Ha van egy olyan 0<q<1 szám, amelyre \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<q teljesül minden elég nagy n esetén, akkor a \sum_{n=1}^{\infty} a_n sor abszolút konvergens, vagyis egyúttal konvergens is.

Bizonyítás: A feltételből következik, hogy egy alkalmas n_0 indexre |a_n|\le q^{n-n_0}\cdot |a_{n_0}| minden n>n_0-ra. Legyen c=q^{-n_0}\cdot|a_{n_0}|. Mivel a \sum_{n=1}^{\infty} c\cdot q^n sor konvergens, így alkalmazhatjuk a majoráns kritériumot.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]