Hányadoskritérium

A Cauchy-kritérium megadja a numerikus sor konvergenciájának pontos feltételét, azonban a gyakorlatban ritkán használható, mert nehéz ellenőrizni. Ezért szükség van egyszerűbben ellenőrizhető kritériumokra is.

Hányadoskritérium: Tegyük fel, hogy $a_n\ne 0$ , ha n elég nagy. Ha van egy olyan 0<q<1 szám, amelyre $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<q$ teljesül minden elég nagy n esetén, akkor a $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ sor abszolút konvergens, vagyis egyúttal konvergens is.

Bizonyítás: A feltételből következik, hogy egy alkalmas $n_0$ indexre $|a_n|\le q^{n-n_0}\cdot |a_{n_0}|$ minden $n>n_0$ -ra. Legyen $c=q^{-n_0}\cdot|a_{n_0}|$ . Mivel a $\sum_{n=1}^{\infty} c\cdot q^n$ sor konvergens, így alkalmazhatjuk a majoráns kritériumot.